n -эллипс

Примеры 3-эллипсов для заданных 3 фокусов. Прогрессирование расстояний не линейное.

В геометрии , то п -ellipse является обобщением эллипса , позволяя более двух фокусов. ^[1] n -эллипсы имеют множество других названий, включая мультифокальный эллипс , ^[2] полиэллипс , ^[3] egglipse , ^[4] k -эллипс , ^[5] и Tschirnhaus'sche Eikurve (в честь Эренфрида Вальтера фон Чирнхауса ). Впервые они были исследованы Джеймсом Клерком Максвеллом в 1846 году ^[6].

Для n точек ( u _i , v _i ) (называемых фокусами ) на плоскости, n -эллипс - это геометрическое место всех точек плоскости, сумма расстояний до n фокусов которых является постоянной d . В формулах это множество

{\ displaystyle \ left \ {(x, y) \ in \ mathbf {R} ^ {2}: \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ sqrt {(x-u_ {i}) ^ { 2} + (y-v_ {i}) ^ {2}}} = d \ right \}.}

1-эллипс - это круг . 2-эллипс - это классический эллипс. Оба алгебраические кривые от степени 2.

Для любого числа п фокусов, то п -ellipse является замкнутой , выпуклой кривой. ^[2]^{: (стр. 90)} Кривая будет плавной, если она не проходит через фокус. ^[5]^{: стр.7}

П -ellipse в общем подмножество точек , удовлетворяющих конкретного алгебраическое уравнение . ^[5]^{: Рис. 2 и 4; п. 7} Если n нечетно, алгебраическая степень кривой равна , а если n четно, степень равна . ^[5]^:^{(Thm. 1.1)} ${\ Displaystyle 2 ^ {п}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {n} - {\ binom {n} {n / 2}}}$

n -эллипсы - это частные случаи спектраэдров .

См. Также [ править ]

Обобщенная коническая

Ссылки [ править ]

^ Дж. Секино (1999): « n- эллипсы и задача о сумме минимальных расстояний», American Mathematical Monthly 106 # 3 (март 1999), 193–202. MR 1682340 ; Zbl 986.51040 .
^ ^а ^б Эрдёш, Пол ; Винче, Иштван (1982). "Об аппроксимации выпуклых замкнутых плоских кривых мультифокальными эллипсами" (PDF) . Журнал прикладной теории вероятностей . 19 : 89–96. DOI : 10.2307 / 3213552 . JSTOR 3213552 . Архивировано из оригинального (PDF) 28 сентября 2016 года . Проверено 22 февраля 2015 года . CS1 maint: discouraged parameter (link)
^ ZA Melzak и JS Forsyth (1977): "Поликоника 1. Полиэллипсы и оптимизация", Q. of Appl. Математика. , страницы 239–255, 1977.
^ П. В. Сахадеван (1987): «Теория яйцеклетки - новая кривая с тремя фокусами», Международный журнал математического образования в науке и технике 18 (1987), 29–39. MR 872599 ; Zbl 613.51030 .
^ a b c d Дж. Ни, П. А. Паррило, Б. Штурмфельс: « Дж. Ни, П. Паррило, Б. Ст .:« Полупонятное представление k-эллипса », в Алгоритмах в алгебраической геометрии , Тома IMA по математике and its Applications, 146, Springer, New York, 2008, pp. 117-132.
^ Джеймс Клерк Максвелл (1846): " Статья об описании овальных кривых , февраль 1846 года, из научных писем и статей Джеймса Клерка Максвелла: 1846-1862 гг."

Дальнейшее чтение [ править ]

П.Л. Канифоль: « О построении овалов ».
Б. Штурмфельс: " Геометрия полуопределенного программирования ", стр. 9–16.

[Sekino-1] Дж. Секино (1999): « n- эллипсы и задача о сумме минимальных расстояний», American Mathematical Monthly 106 # 3 (март 1999), 193–202. MR 1682340 ; Zbl 986.51040 .

[erdos-2] а ^б Эрдёш, Пол ; Винче, Иштван (1982). "Об аппроксимации выпуклых замкнутых плоских кривых мультифокальными эллипсами" (PDF) . Журнал прикладной теории вероятностей . 19 : 89–96. DOI : 10.2307 / 3213552 . JSTOR 3213552 . Архивировано из оригинального (PDF) 28 сентября 2016 года . Проверено 22 февраля 2015 года . CS1 maint: discouraged parameter (link)

[Melzak-3] ZA Melzak и JS Forsyth (1977): "Поликоника 1. Полиэллипсы и оптимизация", Q. of Appl. Математика. , страницы 239–255, 1977.

[Sahadevan-4] П. В. Сахадеван (1987): «Теория яйцеклетки - новая кривая с тремя фокусами», Международный журнал математического образования в науке и технике 18 (1987), 29–39. MR 872599 ; Zbl 613.51030 .

[NPS-5] Дж. Ни, П. А. Паррило, Б. Штурмфельс: « Дж. Ни, П. Паррило, Б. Ст .:« Полупонятное представление k-эллипса », в Алгоритмах в алгебраической геометрии , Тома IMA по математике and its Applications, 146, Springer, New York, 2008, pp. 117-132.

[Maxwell-6] Джеймс Клерк Максвелл (1846): " Статья об описании овальных кривых , февраль 1846 года, из научных писем и статей Джеймса Клерка Максвелла: 1846-1862 гг."

[1]