В выпуклой геометрии , A spectrahedron является формой , которая может быть представлена в виде линейного матричного неравенства . В качестве альтернативы, набор положительных полуопределенных матриц размера n × n образует выпуклый конус в R n × n , а спектраэдр - это форма, которая может быть сформирована путем пересечения этого конуса с линейным аффинным подпространством .
Spectrahedra являются возможными регионами из полуопределенных программ . [1] Изображения спектраэдров при линейных или аффинных преобразованиях называются проецируемыми спектраэдрами или спектраэдрическими тенями . Каждая спектраэдральная тень - это выпуклое множество , которое также является полуалгебраическим , но обратное (предположительно верное до 2017 года) неверно. [2]
Примером спектраэдра является спектраплекс , определяемый как
где - множество положительных полуопределенных матриц размера n × n иявляется следом матрицы. [3] Спектраплекс - это компакт, и его можно рассматривать как «полуопределенный» аналог симплекса .
Смотрите также
- N-эллипс - частный случай спектраэдров.
Рекомендации
- ^ Рамана, Мотакури; Голдман, AJ (1995), "Некоторые геометрические результаты в полуопределенном программировании", Журнал глобальной оптимизации , 7 (1): 33–50, CiteSeerX 10.1.1.44.1804 , doi : 10.1007 / BF01100204.
- ^ Шайдерер, К. (01.01.2018). «Спектраэдрические тени» . Журнал SIAM по прикладной алгебре и геометрии . 2 : 26–44. DOI : 10.1137 / 17m1118981 .
- ^ Гертнер, Бернд; Матушек, Иржи (2012). Аппроксимационные алгоритмы и полуопределенное программирование . Springer Science and Business Media. С. 76 . ISBN 978-3642220159.