В геометрии и топологии , то линия на бесконечности является проективной прямой , которая добавляется к реальной (аффинной) плоскости для того , чтобы дать замыкание к, и удалить исключительные случаи от, падения свойств полученного проективной плоскости . Линия на бесконечности также называется идеальной линией . [1]
Геометрическая формулировка
В проективной геометрии любая пара прямых всегда пересекается в некоторой точке, но параллельные прямые не пересекаются в реальной плоскости. Линия на бесконечности добавляется к реальной плоскости. Это завершает плоскость, потому что теперь параллельные прямые пересекаются в точке, лежащей на бесконечно удаленной прямой. Кроме того, если любая пара прямых пересекается в точке на бесконечности, то пара прямых параллельна.
Каждая линия в какой-то момент пересекает линию на бесконечности. Точка, в которой пересекаются параллельные прямые, зависит только от наклона прямых, а вовсе не от их пересечения по оси y .
На аффинной плоскости прямая тянется в двух противоположных направлениях. В проективной плоскости два противоположных направления линии пересекаются в точке на бесконечности. Следовательно, прямые на проективной плоскости являются замкнутыми кривыми , т. Е. Они циклические, а не линейные. Это верно для самой линии на бесконечности; он встречается в двух своих конечных точках (которые, следовательно, на самом деле вообще не являются конечными точками) и поэтому на самом деле является циклическим.
Топологическая перспектива
Линия на бесконечности может быть визуализирована как круг, окружающий аффинную плоскость. Однако диаметрально противоположные точки окружности эквивалентны - это одна и та же точка. Комбинация аффинной плоскости и бесконечно удаленной прямой составляет реальную проективную плоскость ,.
Гиперболы можно рассматривать как замкнутую кривую , которая пересекает линию на бесконечности в двух различных точках. Эти две точки задаются наклонами двух асимптот гиперболы. Точно так же параболу можно рассматривать как замкнутую кривую, которая пересекает линию на бесконечности в одной точке. Эта точка определяется наклоном оси параболы. Если парабола разрезана своей вершиной на симметричную пару «рогов», то эти два рога становятся более параллельными друг другу при удалении от вершины и фактически параллельны оси и друг другу на бесконечности, так что они пересекаются на бесконечно удаленной прямой.
Аналогом комплексной проективной плоскости является бесконечно удаленная «линия», которая (естественно) является комплексной проективной прямой . Топологически это совсем другое, поскольку это сфера Римана , которая, следовательно, является двумерной сферой , добавляемой к сложному аффинному пространству двух измерений над C (то есть четырем действительным измерениям), что приводит к четырехмерному компактному многообразию . Результат ориентируем , а реальная проективная плоскость - нет.
История
Сложная линия на бесконечности широко использовалась в геометрии девятнадцатого века. Фактически, одним из наиболее применяемых приемов было рассмотрение круга как коники, вынужденной проходить через две бесконечно удаленные точки.
- Х 2 + Y 2 = 0.
Это уравнение является форма , которую принимает у любого круга , когда мы опускаем члены низшего порядка в X и Y . Более формально мы должны использовать однородные координаты
- [ X: Y: Z ]
и обратите внимание, что линия на бесконечности задается установкой
- Z = 0.
Делая уравнения однородными, вводя степени Z , а затем устанавливая Z = 0, точно исключают члены более низкого порядка.
Таким образом, решая уравнение, мы обнаруживаем, что все круги «проходят через» круговые точки на бесконечности.
- I = [1: i : 0] и J = [1: - i : 0].
Это, конечно, сложные точки для любого представляющего набора однородных координат. Но поскольку проективная плоскость имеет достаточно большую группу симметрий , они никоим образом не являются особенными. Вывод о том , что семейство трехпараметрических окружностей можно рассматривать как частный случай линейной системы коника , проходящий через два заданных различные точек P и Q .
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Линия в бесконечности" . mathworld.wolfram.com . Wolfram Research . Проверено 28 декабря +2016 .