Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В геометрии , заболеваемость соотношение является гетерогенным отношение , которое захватывает идея выражается , когда такие фразы, как «точка лежит на линии» или «линия , содержащихся в плоскости» используются. Самая основная связь инцидентности - это отношение между точкой P и линией l , иногда обозначаемой P I l . Если P I l, то пара ( P , l ) называется флагом . В обыденном языке есть много выражений для описания случаев (например, линияпроходит через точку, точка лежит в плоскости и т. д.), но термин «инцидентность» предпочтителен, потому что он не имеет дополнительных коннотаций, которые имеют эти другие термины, и его можно использовать симметрично. Такие утверждения, как «линия l 1 пересекает линию l 2 », также являются утверждениями об отношениях инцидентности, но в данном случае это потому, что это сокращенный способ сказать, что «существует точка P, которая инцидентна как прямой l 1, так и линия l 2 ". Когда один тип объекта может рассматриваться как набор другого типа объекта ( а именно., плоскость - это набор точек), то отношение инцидентности может рассматриваться как включение .

Такие утверждения, как «любые две прямые на плоскости встречаются», называются утверждениями инцидентности . Это конкретное утверждение верно для проективной плоскости , но неверно для евклидовой плоскости, где прямые могут быть параллельны . Исторически проективная геометрия была разработана для того, чтобы сделать утверждения инцидентности истинными без исключений, например, вызванных существованием параллелей. С точки зрения синтетической геометрии , проективная геометрия должна развиваться с использованием таких положений, как аксиомы . Это наиболее важно для проективных плоскостей из-за универсальной справедливости теоремы Дезарга. в высших измерениях.

Напротив, аналитический подход заключается в определении проективного пространства на основе линейной алгебры и использовании однородных координат . Утверждения инцидентности выводятся из следующего основного результата о векторных пространствах : для заданных подпространств U и W (конечномерного) векторного пространства V размерность их пересечения равна dim U + dim W - dim ( U + W ) . Принимая во внимание, что геометрическая размерность проективного пространства P ( V ), связанная сV является тусклым V - 1 и что геометрическая размерность любого подпространства положительно, то основное положение падения в этой ситуации может принять форму: линейные подпространства L и M проективных пространства P встречаютсяусловии тусклого L + тусклые М ≥ тусклый Р . [1]

В следующих разделах ограничиваются проективных плоскостей , определенных над полями , часто обозначаемых PG (2, F ) , где F является полем, или P 2 F . Однако эти вычисления могут быть естественным образом распространены на проективные пространства более высокой размерности, и поле может быть заменено телом (или телом) при условии, что следует обратить внимание на тот факт, что в этом случае умножение не коммутативно .

PG (2, F ) [ править ]

Основная статья: Однородные координаты

Пусть V будет три-мерное векторное пространство , определенное над полем F . Проективная плоскость P ( V ) = PG (2, F ) состоит из одномерных векторных подпространств V , называемых точками , и двумерных векторных подпространств V , называемых прямыми . Случайность точки и линии задается включением одномерного подпространства в двумерное подпространство.

Зафиксируем базис для V, чтобы мы могли описать его векторы как тройки координат (относительно этого базиса). Одномерное векторное подпространство состоит из ненулевого вектора и всех его скалярных кратных. Ненулевые скалярные кратные, записанные как тройки координат, являются однородными координатами данной точки, называемыми координатами точки . Относительно этого базиса пространство решений одного линейного уравнения {( x , y , z ) | ax + by + cz = 0 } - двумерное подпространство в V , а значит, прямая в P ( V ). Эта линия может быть обозначена координатами линии [ a , b , c ] , которые также являются однородными координатами, поскольку ненулевые скалярные кратные давали бы ту же линию. Также широко используются другие обозначения. Координаты точек могут быть записаны в виде векторов - столбцов, ( х , у , г ) Т , с двоеточием, ( х  : у  : г ) , или с индексом, ( х , у , г ) Р . Соответственно, координаты линии могут быть записаны как векторы-строки,( , Ь , с ) , с двоеточием, [  : Ь  : с ] или с нижним индексом, ( , Ь , гр ) L . Возможны и другие варианты.

Алгебраически выраженная заболеваемость [ править ]

Дана точка P = ( x , y , z ) и линия l = [ a , b , c ] , записанные в терминах координат точки и линии, точка инцидентна прямой (часто обозначаемой как P I l ), если и только если,

ах + по + cz = 0 .

Это может быть выражено в других обозначениях как:

Независимо от того, какие обозначения используются, когда однородные координаты точки и линии просто рассматриваются как упорядоченные тройки, их случайность выражается как то, что их скалярное произведение равно 0.

Линия инцидент с парой различных точек [ править ]

Пусть P 1 и P 2 - пара различных точек с однородными координатами ( x 1 , y 1 , z 1 ) и ( x 2 , y 2 , z 2 ) соответственно. Эти точки определяют единственную прямую l с уравнением вида ax + by + cz = 0 и должны удовлетворять уравнениям:

ax 1 + на 1 + cz 1 = 0 и
ах 2 + на 2 + cz 2 = 0 .

В матричной форме эта система одновременных линейных уравнений может быть выражена как:

Эта система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель ,

Расширение этого детерминантного уравнения дает однородное линейное уравнение, которое должно быть уравнением прямой l . Следовательно, с точностью до обычного ненулевого постоянного множителя l = [ a , b , c ], где:

а = у 1 z 2 - у 2 z 1 ,
b = x 2 z 1 - x 1 z 2 и
с знак равно х 1 у 2 - х 2 у 1 .

В терминах обозначения скалярного тройного произведения векторов уравнение этой прямой можно записать как:

P ⋅ P 1 × P 2 = 0 ,

где P = ( x , y , z ) - точка общего положения.

Коллинеарность [ править ]

Основная статья: Коллинеарность

Точки, входящие в одну линию, называются коллинеарными . Набор всех точек, приходящихся на одну и ту же линию, называется диапазоном .

Если P 1 = ( x 1 , y 1 , z 1 ), P 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 ) и P 3 = ( x 3 , y 3 , z 3 ) , то эти точки коллинеарны, если и только если

т. е. тогда и только тогда, когда определитель однородных координат точек равен нулю.

Пересечение пары линий [ править ]

Пусть l 1 = [ a 1 , b 1 , c 1 ] и l 2 = [ a 2 , b 2 , c 2 ] - пара различных прямых. Тогда пересечение прямых l 1 и l 2 есть точка a P = ( x 0 , y 0 , z 0 ), которая является одновременным решением (с точностью до скалярного множителя) системы линейных уравнений:

a 1 x + b 1 y + c 1 z = 0 и
а 2 Икс + б 2 у + с 2 Z знак равно 0 .

Решение этой системы дает:

х 0 = б 1 с 2 - б 2 с 1 ,
y 0 = a 2 c 1 - a 1 c 2 , и
z 0 = а 1 б 2 - а 2 б 1 .

В качестве альтернативы, рассмотрим другую линию l = [ a , b , c ], проходящую через точку P , то есть однородные координаты точки P удовлетворяют уравнению:

ах + по + cz = 0 .

Комбинируя это уравнение с двумя, которые определяют P , мы можем найти нетривиальное решение матричного уравнения:

Такое решение существует при условии, что определитель

Коэффициенты в , б и с в этом уравнении дают однородные координаты P .

Уравнение общей прямой, проходящей через точку P в записи скалярного тройного произведения, имеет следующий вид:

л ⋅ л 1 × л 2 знак равно 0 .

Concurrence [ править ]

Строки, которые встречаются в одной точке, называются параллельными . Набор всех прямых на плоскости, пересекающих одну и ту же точку, называется пучком прямых с центром в этой точке. Вычисление пересечения двух прямых показывает, что весь пучок прямых с центром в точке определяется любыми двумя линиями, пересекающимися в этой точке. Отсюда сразу следует, что алгебраическое условие для трех прямых, [ a 1 , b 1 , c 1 ], [ a 2 , b 2 , c 2 ], [ a 3 , b 3 , c3 ], чтобы быть параллельным, заключается в том, что определитель,

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Джоэл Г. Broida и С. Гилл Williamson (1998) Всестороннее Введение в линейную алгебру , теоремы 2.11, р 86, Addison-Wesley ISBN  0-201-50065-5 . Теорема утверждает, что dim ( L + M ) = dim L + dim M - dim ( L ∩ M ) . Таким образом, dim L + dim M > dim P влечет dim ( L ∩ M )> 0 .
  • Гарольд Л. Дорварт (1966) Геометрия инцидентности , Прентис Холл .