Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Рациональная кривая Безье - полиномиальная кривая, заданная в однородных координатах (синий цвет) и ее проекция на плоскость - рациональная кривая (красный цвет)

В математике , однородных координат или проекционных координат , введенных в августе Ferdinand Möbius в его 1827 работы Der barycentrische Calcul , [1] [2] [3] представляют собой систему координат , используемых в проективной геометрии , так как декартовы координаты используются в евклидовой геометрии . Их преимущество в том, что координаты точек, включая точки на бесконечности, могут быть представлены с использованием конечных координат. Формулы с однородными координатами часто проще и симметричнее, чем их декартовы аналоги. Однородные координаты имеют ряд применений, в том числекомпьютерная графика и 3D компьютерное зрение , где они позволяют легко представить аффинные преобразования и, в целом, проективные преобразования в виде матрицы.

Если однородные координаты точки умножаются на ненулевой скаляр, то полученные координаты представляют ту же точку. Поскольку однородные координаты также задаются точкам, находящимся на бесконечности , количество координат, необходимых для такого расширения, на единицу больше, чем размерность рассматриваемого проективного пространства . Например, две однородные координаты требуются для определения точки на проективной прямой, а три однородных координаты требуются для определения точки на проективной плоскости.

Введение [ править ]

Вещественная проективная плоскость можно рассматривать как евклидовой плоскости с дополнительными точками добавленными, которые называются точки на бесконечности , и считающихся лежат на новой линии, линия на бесконечности . Существует точка на бесконечности, соответствующая каждому направлению (численно заданному наклоном линии), неформально определяемая как предел точки, которая движется в этом направлении от начала координат. Говорят, что параллельные прямые на евклидовой плоскости пересекаются в бесконечно удаленной точке, соответствующей их общему направлению. Для точки ( x , y ) на евклидовой плоскости для любого ненулевого действительного числа Z тройка ( xZ, yZ , Z ) называется набором однородных координат точки. Согласно этому определению, умножение трех однородных координат на общий ненулевой коэффициент дает новый набор однородных координат для той же точки. В частности, ( x , y , 1) является такой системой однородных координат для точки ( x , y ) . Например, декартова точка (1, 2) может быть представлена ​​в однородных координатах как (1, 2, 1) или (2, 4, 2). Исходные декартовы координаты восстанавливаются путем деления первых двух позиций на третью. Таким образом, в отличие от декартовых координат, одна точка может быть представлена ​​бесконечным числом однородных координат.

Уравнение прямой, проходящей через начало координат (0, 0), можно записать как nx + my = 0, где n и m не равны 0. В параметрической форме это можно записать как x = mt , y = - nt . Пусть Z = 1 / t , поэтому координаты точки на прямой можно записать ( m / Z , - n / Z ) . В однородных координатах это становится ( m , - n , Z ). В пределе, когда t приближается к бесконечности, другими словами, когда точка удаляется от начала координат, Z приближается к 0, и однородные координаты точки становятся ( m , - n , 0) . Таким образом, мы определяем ( m , - n , 0) как однородные координаты бесконечно удаленной точки, соответствующие направлению прямой nx + my = 0 . Поскольку любая линия евклидовой плоскости параллельна прямой, проходящей через начало координат, и поскольку параллельные прямые имеют одну и ту же точку на бесконечности, бесконечной точке на каждой прямой евклидовой плоскости даны однородные координаты.

Подвести итоги:

  • Любая точка на проективной плоскости представлена ​​тройкой ( X , Y , Z ) , называемой однородными координатами или проективными координатами точки, где X , Y и Z не равны 0.
  • Точка, представленная заданным набором однородных координат, не изменяется, если координаты умножаются на общий множитель.
  • И наоборот, два набора однородных координат представляют одну и ту же точку тогда и только тогда, когда одна получается из другой путем умножения всех координат на одну и ту же ненулевую константу.
  • Когда Z не равно 0, представленная точка является точкой ( X / Z , Y / Z ) на евклидовой плоскости.
  • Когда Z равно 0, представленная точка - это бесконечно удаленная точка.

Обратите внимание, что тройка (0, 0, 0) опущена и не представляет никакой точки. Начало координат представлено (0, 0, 1) . [4]

Обозначение [ править ]

Некоторые авторы используют разные обозначения для однородных координат, которые помогают отличить их от декартовых координат. Использование двоеточий вместо запятых, например ( x : y : z ) вместо ( x , y , z ) , подчеркивает, что координаты следует рассматривать как отношения. [5] Квадратные скобки, такие как [ x , y , z ], подчеркивают, что несколько наборов координат связаны с одной точкой. [6] Некоторые авторы используют комбинацию двоеточий и квадратных скобок, например [ x : y :z ]. [7]

Другие размеры [ править ]

Обсуждение в предыдущем разделе аналогично применимо к проективным пространствам, отличным от плоскости. Таким образом, точки на проективной прямой могут быть представлены парами координат ( x , y ) , а не обеими нулевыми. В этом случае бесконечно удаленная точка - это (1, 0) . Точно так же точки в проективном n -пространстве представлены ( n  + 1) -наборами. [8]

Другие проективные пространства [ править ]

Использование действительных чисел дает однородные координаты точек в классическом случае реальных проективных пространств, однако может использоваться любое поле , в частности, комплексные числа могут использоваться для комплексного проективного пространства . Например, комплексная проективная линия использует две однородные комплексные координаты и известна как сфера Римана . Могут использоваться другие поля, в том числе конечные .

Однородные координаты для проективных пространств также могут быть созданы с элементами из деления кольца (skewfield). Однако в этом случае необходимо учитывать тот факт, что умножение не может быть коммутативным . [9]

Для общего кольца A , A проективное прямая над А может быть определена с однородными факторов , действующих на левой и проективной линейной группы , действующей справа.

Альтернативное определение [ править ]

Другое определение реальной проективной плоскости может быть дано в терминах классов эквивалентности . Для ненулевых элементов R 3 определите ( x 1 , y 1 , z 1 ) ~ ( x 2 , y 2 , z 2 ), чтобы обозначить, что существует ненулевое λ, так что ( x 1 , y 1 , z 1 ) = ( λx 2 , λy 2 , λz 2 ). Тогда ~ - отношение эквивалентности, и проективную плоскость можно определить как классы эквивалентности R 3 ∖ {0}. Если ( x , y , z ) - один из элементов класса эквивалентности p, то они считаются однородными координатами p .

Линии в этом пространстве определяются как наборы решений уравнений вида ax + by + cz = 0, где не все a , b и c равны нулю. Выполнение условия ax + by + cz = 0 зависит только от класса эквивалентности ( x , y , z ), поэтому уравнение определяет набор точек на проективной плоскости. Отображение ( x , y ) → ( x , y , 1)определяет включение из евклидовой плоскости в проективную плоскость, а дополнением изображения является множество точек с z = 0 . Уравнение z = 0 является уравнением прямой в проективной плоскости ( см. Определение прямой в проективной плоскости ) и называется линией на бесконечности .

Классы эквивалентности p - это линии, проходящие через начало координат с удаленным началом. Источник на самом деле не играет существенной роли в предыдущем обсуждении, поэтому его можно добавить обратно без изменения свойств проективной плоскости. Это приводит к изменению определения, а именно, проективная плоскость определяется как набор прямых в R 3, которые проходят через начало координат, а координаты ненулевого элемента ( x , y , z ) линии считаются равными однородные координаты линии. Эти прямые теперь интерпретируются как точки на проективной плоскости.

Опять же, это обсуждение аналогично применимо к другим измерениям. Таким образом, проективное пространство размерности n можно определить как множество прямых, проходящих через начало координат в R n +1 . [10]

Однородность [ править ]

Однородные координаты не определяются однозначно точкой, поэтому функция, определенная на координатах, скажем, f ( x , y , z ) , не определяет функцию, определенную на точках, как с декартовыми координатами. Но условие f ( x , y , z ) = 0, определенное для координат, которое могло бы использоваться для описания кривой, определяет условие для точек, если функция однородна . В частности, предположим, что существует k такое, что

Если набор координат представляет ту же точку, что и ( x , y , z ), то его можно записать (λ x , λ y , λ z ) для некоторого ненулевого значения λ. потом

Полином г ( х , у ) степени к можно превратить в однородный полином , заменив х с х / г , у с у / г и умножением на г к , другими словами , путем определения

Полученная функция f является полиномом, поэтому имеет смысл расширить ее область определения до троек, где z = 0 . Процесс можно обратить, установив z = 1 или

Уравнение f ( x , y , z ) = 0 затем можно рассматривать как однородную форму g ( x , y ) = 0, и оно определяет ту же кривую, когда оно ограничено евклидовой плоскостью. Например, однородная форма уравнения прямой ax + by + c = 0 есть ax + by + cz = 0. [11]

Координаты линии и двойственность [ править ]

Основная статья: Двойственность (проективная геометрия)

Уравнение прямой в проективной плоскости может быть задано как sx + ty + uz = 0, где s , t и u - константы. Каждая тройка ( s , t , u ) определяет строку, определенная строка остается неизменной, если она умножается на ненулевой скаляр, и по крайней мере одно из s , t и u должно быть ненулевым. Таким образом, тройку ( s , t , u ) можно рассматривать как однородные координаты прямой на проективной плоскости, т. Е.координаты линии, а не координаты точки. Если в sx  +  ty  +  uz  = 0 буквы s , t и u взяты как переменные, а x , y и z приняты как константы, то уравнение становится уравнением набора прямых в пространстве всех прямых на плоскости . Геометрически он представляет собой набор линий, проходящих через точку ( x , y , z ).и может интерпретироваться как уравнение точки в линейных координатах. Таким же образом, плоскости в 3-м пространстве могут иметь наборы из четырех однородных координат, и так далее для более высоких измерений. [12]

То же самое соотношение sx + ty + uz = 0 можно рассматривать либо как уравнение прямой, либо как уравнение точки. В общем, нет никакой разницы ни алгебраически, ни логически между однородными координатами точек и прямых. Таким образом, плоская геометрия с точками в качестве основных элементов и плоская геометрия с линиями в качестве основных элементов эквивалентны, за исключением интерпретации. Это приводит к концепции двойственностив проективной геометрии принцип, согласно которому роли точек и прямых можно менять местами, в теореме проективной геометрии, и результат также будет теоремой. Аналогично, теория точек в проективном 3-пространстве двойственна теории плоскостей в проективном 3-пространстве, и так далее для более высоких измерений. [13]

Координаты Плюккера [ править ]

Основная статья: координаты Плюккера

Присвоение координат линиям в проективном 3-мерном пространстве сложнее, так как может показаться, что требуется всего 8 координат, либо координаты двух точек, лежащих на линии, либо двух плоскостей, пересекающихся с линией. Полезный метод, разработанный Юлиусом Плюккером , создает набор из шести координат в качестве определителей x i y j - x j y i (1 ≤ i < j ≤ 4) из однородных координат двух точек ( x 1 , x 2 , х 3 , х 4 ) и( y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) на линии. Вложение Плюккерово является обобщением этого , чтобы создать однородные координаты элементов любой размерности т в проективном пространстве размерности п . [14] [15]

Применение к теореме Безу [ править ]

Теорема Безу предсказывает, что количество точек пересечения двух кривых равно произведению их степеней (в предположении алгебраически замкнутого поля и с некоторыми соглашениями, которые следуют для подсчета кратностей пересечений). Теорема Безу предсказывает, что существует одна точка пересечения двух прямых, и в целом это верно, но когда прямые параллельны, точка пересечения бесконечна. В этом случае для определения точки пересечения используются однородные координаты. Точно так же теорема Безу предсказывает, что линия будет пересекать конику в двух точках, но в некоторых случаях одна или обе точки бесконечны, и для их определения необходимо использовать однородные координаты. Например, y = x 2 и x = 0имеют только одну точку пересечения в конечной (аффинной) плоскости. Чтобы найти другую точку пересечения, преобразуйте уравнения в однородную форму, yz = x 2 и x = 0 . Это дает x = yz = 0 и, предполагая, что не все x , y и z равны 0, решения следующие: x = y = 0, z 0 и x = z = 0, y ≠ 0 . Это первое решение - точка (0, 0)в декартовых координатах - конечная точка пересечения. Второе решение дает однородные координаты (0, 1, 0), которые соответствуют направлению оси y . Для уравнений xy = 1 и x = 0 нет конечных точек пересечения. Преобразование уравнений в однородную форму дает xy = z 2 и x = 0 . Решение дает уравнение z 2 = 0, которое имеет двойной корень при z = 0 . Из исходного уравнения x = 0 , поэтому y ≠ 0так как хотя бы одна координата должна быть ненулевой. Следовательно, (0, 1, 0) - точка пересечения, считая с кратностью 2 в соответствии с теоремой. [16]

Круговые точки [ править ]

Основная статья: Круговые точки на бесконечности

Однородная форма уравнения окружности в вещественной или комплексной проективной плоскости: x 2 + y 2 + 2 axz + 2 byz + c z 2 = 0 . Пересечение этой кривой с линией на бесконечности можно найти, задав z = 0 . Это дает уравнение x 2 + y 2 = 0, которое имеет два решения над комплексными числами, что дает точки с однородными координатами (1, i , 0) и (1, - i , 0)в комплексной проективной плоскости. Эти точки называются круговыми точками на бесконечности и могут рассматриваться как общие точки пересечения всех кругов. Это можно обобщить на кривые более высокого порядка как круговые алгебраические кривые . [17]

Смена систем координат [ править ]

Подобно тому, как выбор осей в декартовой системе координат является в некоторой степени произвольным, выбор единой системы однородных координат из всех возможных систем в некоторой степени произвольный. Поэтому полезно знать, как разные системы связаны друг с другом.

Пусть ( x , y , z ) - однородные координаты точки на проективной плоскости. Фиксированная матрица

с ненулевым определителем , определяет новую систему координат ( X , Y , Z ) уравнением

Умножение ( x , y , z ) на скаляр приводит к умножению ( X , Y , Z ) на тот же скаляр, и X , Y и Z не могут быть все 0, если x , y и z не равны нулю, поскольку A неособое. Итак, ( X , Y , Z ) - новая система однородных координат для одной и той же точки проективной плоскости.

Барицентрические координаты [ править ]

Основная статья: барицентрические координаты (математика)

Первоначальная формулировка однородных координат Мёбиуса определяла положение точки как центра масс (или барицентра) системы трех точечных масс, размещенных в вершинах фиксированного треугольника. Точки внутри треугольника представлены положительными массами, а точки за пределами треугольника представлены допускающими отрицательными массами. Умножение масс в системе на скаляр не влияет на центр масс, так что это частный случай системы однородных координат.

Трилинейные координаты [ править ]

Основная статья: Трилинейные координаты

Пусть l , m , n - три прямые на плоскости, и определим набор координат X , Y и Z точки p как расстояния со знаком от p до этих трех прямых. Они называются трилинейные координаты по р относительно треугольника, вершинами которого являются попарные пересечения линий. Строго говоря, они не однородны, поскольку значения X , Y и Zопределены точно, а не только с точностью до пропорциональности. Однако между ними существует линейная связь, поэтому эти координаты можно сделать однородными, позволив множествам ( X , Y , Z ) представлять одну и ту же точку. В более общем смысле, X , Y и Z могут быть определены как константы p , r и q, умноженные на расстояния до l , m и n., что приводит к другой системе однородных координат с одним и тем же опорным треугольником. Фактически, это наиболее общий тип системы однородных координат для точек на плоскости, если ни одна из прямых не является линией на бесконечности. [18]

Использование в компьютерной графике и компьютерном зрении [ править ]

См. Также: Матрица преобразования

Однородные координаты повсеместно используются в компьютерной графике, потому что они позволяют представить общие векторные операции, такие как перенос , поворот , масштабирование и перспективную проекцию , в виде матрицы, на которую вектор умножается. По правилу цепочки любую последовательность таких операций можно перемножить в единую матрицу, что обеспечит простую и эффективную обработку. Напротив, использование декартовых координат, трансляции и перспективной проекции не может быть выражено как матричное умножение, хотя другие операции могут. Современные видеокарты OpenGL и Direct3D используют однородные координаты для реализации вершинного шейдера.эффективно использовать векторные процессоры с 4-элементными регистрами. [19] [20]

Например, в перспективной проекции положение в пространстве связано с линией от нее до фиксированной точки, называемой центром проекции . Затем точка сопоставляется с плоскостью путем нахождения точки пересечения этой плоскости и линии. Это дает точное представление о том, как трехмерный объект кажется глазу. В простейшей ситуации центр проекции является началом координат, а точки отображаются на плоскость z = 1 , работая на данный момент в декартовых координатах. Для данной точки в пространстве ( x , y , z ) точка пересечения прямой и плоскости равна ( x / z , y/ z , 1) . Отбрасывая теперь лишнюю координату z , она становится ( x / z , y / z ) . В однородных координатах точка ( x , y , z ) представлена ( xw , yw , zw , w ), а точка, которой она сопоставляется на плоскости, представлена ( xw , yw , zw ) , поэтому проекция может быть представлена в матричной форме как [требуется разъяснение ]

Матрицы, представляющие другие геометрические преобразования, могут быть объединены с этим и друг с другом путем умножения матриц. В результате любую перспективную проекцию пространства можно представить в виде единой матрицы. [21] [22]

Заметки [ править ]

  1. ↑ Август Фердинанд Мёбиус: Der barycentrische Calcul , Verlag von Johann Ambrosius Barth, Лейпциг, 1827.
  2. ^ О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Август Фердинанд Мёбиус» , архив истории математики MacTutor , Сент-Эндрюсский университет.
  3. ^ Смит, Дэвид Юджин (1906). История современной математики . J. Wiley & Sons. п. 53 .
  4. ↑ Для раздела: Jones 1912 , стр. 120–122.
  5. ^ Вудс 1922
  6. ^ Гарнер 1981
  7. ^ Миранда 1995
  8. ^ Bocher 1907 , стр. 13-14
  9. ↑ Гарнер, 1981 , стр. 32–33.
  10. ↑ Для раздела: Cox, Little & O'Shea 2007 , pp. 360–362.
  11. ^ Для раздела: Миранда 1995 , стр. 14 и Jones 1912 , стр. 120
  12. ^ Bocher 1907 , стр. 107-108 (адаптировано к плоскости согласно сноске на стр. 108)
  13. Перейти ↑ Woods 1922 , pp. 2, 40
  14. ^ Вильчинский 1906 , стр. 50
  15. ^ Bocher 1907 , стр. 110
  16. ^ Jones 1912 , стр. 117–118, 122 с упрощенными примерами.
  17. ^ Джонс 1912 , стр. 204
  18. Перейти ↑ Jones, 1912 , pp. 452 ff
  19. ^ «Окна просмотра и отсечение (Direct3D 9) (Windows)» . msdn.microsoft.com . Проверено 10 апреля 2018 года .
  20. ^ Шрейнер, Дэйв; Ву, Мейсон; Нейдер, Джеки; Дэвис, Том; «Руководство по программированию OpenGL», 4-е издание, ISBN 978-0-321-17348-5 , опубликовано в декабре 2004 г. Стр. 38 и Приложение F (стр. 697-702) Обсудите, как OpenGL использует однородные координаты в конвейере рендеринга. Страница 2 указывает на то, что OpenGL - это программный интерфейс для графического оборудования . 
  21. ^ Мортенсон, Майкл Э. (1999). Математика для приложений компьютерной графики . Industrial Press Inc. стр. 318 . ISBN 0-8311-3111-X.
  22. ^ Макконнелл, Джеффри Дж. (2006). Компьютерная графика: теория на практике . Джонс и Бартлетт Обучение. п. 120 . ISBN 0-7637-2250-2.

Ссылки [ править ]

  • Бохер, Максим (1907). Введение в высшую алгебру . Макмиллан. стр. 11ff.
  • Брио, Чарльз; Букет, Жан Клод (1896). Элементы аналитической геометрии двух измерений . пер. Дж. Х. Бойд. Книжная компания школы Вернера. п. 380 .
  • Кокс, Дэвид А .; Литтл, Джон Б.; О'Ши, Донал (2007). Идеалы, разновидности и алгоритмы . Springer. п. 357. ISBN. 978-0-387-35650-1.
  • Гарнер, Линн Э. (1981), Очерк проективной геометрии , Северная Голландия, ISBN 0-444-00423-8
  • Джонс, Альфред Клемент (1912). Введение в алгебраическую геометрию . Кларендон.
  • Миранда, Рик (1995). Алгебраические кривые и римановы поверхности . Книжный магазин AMS. п. 13. ISBN 0-8218-0268-2.
  • Вильчинский, Эрнест Юлиус (1906). Проективная дифференциальная геометрия кривых и линейчатых поверхностей . Б.Г. Тойбнер.
  • Вудс, Фредерик С. (1922). Высшая геометрия . Ginn and Co., стр. 27 и далее.

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Стиллвелл, Джон (2002). Математика и ее история . Springer. стр. 134 и далее. ISBN 0-387-95336-1.
  • Роджерс, Дэвид Ф. (1976). Математические элементы для компьютерной графики . Макгроу Хилл. ISBN 0070535272.

Внешние ссылки [ править ]

  • Жюль Блументаль и Джон Рокне, Однородные координаты [1]
  • Чинг-Куанг Шэнэ, Однородные координаты [2]
  • Вольфрам MathWorld