 | Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . ( июль 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон ) |
В геометрии , A точка на бесконечность или идеальной точке является идеализированной предельной точкой на «конце» каждую строку.
В случае аффинной плоскости (включая евклидову плоскость ) существует одна идеальная точка для каждого пучка параллельных прямых плоскости. Смешение этих точек дает проективную плоскость , на которой нельзя выделить ни одной точки, если мы «забываем», какие точки были добавлены. Это верно для геометрии над любым полем и, в более общем смысле, над любым телом . [1]
В реальном случае бесконечно удаленная точка превращает прямую в топологически замкнутую кривую. В более высоких измерениях все бесконечно удаленные точки образуют проективное подпространство на одно измерение меньше, чем у всего проективного пространства, которому они принадлежат. Бесконечная точка также может быть добавлена к комплексной прямой (которую можно рассматривать как комплексную плоскость), тем самым превратив ее в замкнутую поверхность, известную как комплексная проективная линия C P 1 , также называемая сферой Римана (когда комплексная номера сопоставлены с каждой точкой).
В случае гиперболического пространства каждая прямая имеет две различные идеальные точки . Здесь множество идеальных точек принимает форму квадрики .
Аффинная геометрия [ править ]
В аффинном или евклидовом пространстве более высокой размерности бесконечно удаленные точки - это точки, которые добавляются к пространству, чтобы получить проективное завершение . Набор точек на бесконечности называется, в зависимости от размерности пространства, прямой на бесконечности , плоскостью на бесконечности или гиперплоскостью на бесконечности , во всех случаях проективным пространством на одно измерение меньше.
Поскольку проективное пространство над полем является гладким алгебраическим многообразием , то же самое верно и для множества бесконечно удаленных точек. Точно так же, если основное поле является действительным или комплексным полем, множество бесконечно удаленных точек является многообразием .
Перспектива [ править ]
В художественном рисовании и технической перспективе проекция на плоскость изображения бесконечно удаленной точки класса параллельных линий называется их точкой схода .
Гиперболическая геометрия [ править ]
В гиперболической геометрии , указывает на бесконечность , как правило , названы идеальными точками . В отличие от евклидовой и эллиптической геометрий, каждая прямая имеет две бесконечно удаленные точки: если прямая l и точка P не на l , правые и левые ограничивающие параллели асимптотически сходятся к разным бесконечно удаленным точкам.
Все бесконечно удаленные точки вместе образуют абсолют Кэли или границу гиперболической плоскости .
Проективная геометрия [ править ]
В проективной плоскости возникает симметрия точек и линий: как пара точек определяет линию, так пара прямых определяет точку. Существование параллельных прямых приводит к установлению бесконечно удаленной точки, которая представляет собой пересечение этих параллелей. Эта аксиоматическая симметрия выросла из исследования графической перспективы, где параллельная проекция возникает как центральная проекция, где центр C является точкой на бесконечности или образной точкой . [2] Аксиоматическая симметрия точек и прямых называется двойственностью .
Хотя бесконечно удаленная точка рассматривается наравне с любой другой точкой проективного диапазона , при представлении точек с проективными координатами отмечается различие: конечные точки представлены с 1 в конечной координате, а точка на бесконечности имеет 0 там. Необходимость представления бесконечно удаленных точек требует наличия одной дополнительной координаты за пределами пространства конечных точек.
Другие обобщения [ править ]
Эту конструкцию можно обобщить на топологические пространства . Различные компактификации могут существовать для данного пространства, но произвольное топологическое пространство допускает расширение Александрова , также называемое одноточечной компактификацией, когда исходное пространство само не является компактным . Проективная линия (над произвольным полем) - это Александровское расширение соответствующего поля. Таким образом, круг является компактификацией одной точки реальной прямой , а сфера - компактификацией одной точки плоскости. Проективные пространства P n для n > 1 не одноточечныекомпактификации соответствующих аффинных пространств по причине, упомянутой выше в § Аффинная геометрия , и пополнения гиперболических пространств идеальными точками также не являются одноточечными компактификациями.
См. Также [ править ]
- Деление на ноль
- Сфера в бесконечности
- Середина § Обобщения
- Асимптота § Алгебраические кривые
Ссылки [ править ]
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Точка в бесконечности" . mathworld.wolfram.com . Wolfram Research . Проверено 28 декабря 2016 .
- ^ GB Halsted (1906) Синтетическая проективная геометрия , страница 7
