В гиперболической геометрии , идеальная точка , омега - точка [1] , или бесконечно удаленная точка является хорошо определена точка вне гиперболической плоскости или в пространстве. Для прямой l и точки P, не лежащих на l , правые и левые предельные параллели к l через P сходятся к l в идеальных точках .
В отличие от проективного случая идеальные точки образуют границу , а не подмногообразие. Таким образом, эти прямые не пересекаются в идеальной точке, и такие точки, хотя и хорошо определены , не принадлежат самому гиперболическому пространству.
Идеальные точки вместе образуют абсолют Кэли или границу гиперболической геометрии . Например, единичная окружность образует абсолют Кэли модели диска Пуанкаре и модели диска Клейна . В то время как действительная прямая образует абсолют Кэли модели полуплоскости Пуанкаре . [2]
Аксиома Паша и теорема о внешнем угле все еще верны для омега-треугольника, определяемого двумя точками в гиперболическом пространстве и омега-точкой. [3]
Свойства [ править ]
- Гиперболическое расстояние между идеальной точкой и любой другой точкой или идеальной точкой бесконечно.
- Центры орициклов и оришаров являются идеальными точками; два орициклы являются концентрическими , когда они имеют один и тот же центр.
Полигоны с идеальными вершинами [ править ]
Идеальные треугольники [ править ]
если все вершины треугольника - идеальные точки, то треугольник - идеальный треугольник .
Идеальные треугольники обладают рядом интересных свойств:
- Все идеальные треугольники конгруэнтны.
- Все внутренние углы идеального треугольника равны нулю.
- Любой идеальный треугольник имеет бесконечный периметр.
- Любой идеальный треугольник имеет площадь, где K - (отрицательная) кривизна плоскости. [4]
Идеальные четырехугольники [ править ]
если все вершины четырехугольника идеальные точки, четырехугольник является идеальным четырехугольником.
Хотя все идеальные треугольники конгруэнтны, но не все четырехугольники, диагонали могут образовывать разные углы друг с другом, что приводит к неконгруэнтным четырехугольникам:
- Все внутренние углы идеального четырехугольника равны нулю.
- Любой идеальный четырехугольник имеет бесконечный периметр.
- Любой идеальный (выпуклый непересекающийся) четырехугольник имеет площадь, где K - (отрицательная) кривизна плоскости.
Идеальный квадрат [ править ]
Идеальный четырехугольник, в котором две диагонали перпендикулярны друг другу, образуют идеальный квадрат.
Его использовал Фердинанд Карл Швейкарт в своем меморандуме о том, что он назвал «астральной геометрией», одной из первых публикаций, признающих возможность гиперболической геометрии . [5]
Идеальные n -угольники [ править ]
Идеальный n -угольник можно разделить на ( n - 2) идеальных треугольников, площадь которых ( n - 2) умножена на площадь идеального треугольника.
Представления в моделях гиперболической геометрии [ править ]
В модели диска Клейна и модели диска Пуанкаре гиперболической плоскости. В обеих дисковых моделях идеальные точки находятся на единичной окружности (гиперболическая плоскость) или единичной сфере (более высокие измерения), которая является недостижимой границей гиперболической плоскости.
При проецировании одной и той же гиперболической линии на модель диска Клейна и модель диска Пуанкаре обе линии проходят через одни и те же две идеальные точки (идеальные точки в обеих моделях находятся в одном месте).
Модель диска Клейна [ править ]
Для двух различных точек p и q в открытом единичном круге единственная прямая, соединяющая их, пересекает единичную окружность в двух идеальных точках , a и b , помеченных так, чтобы точки были в порядке a , p , q , b, так что | водн | > | ap | и | pb | > | qb |. Тогда гиперболическое расстояние между p и q выражается как
Модель диска Пуанкаре [ править ]
Если даны две различные точки p и q в открытом единичном круге, то единственная дуга окружности, ортогональная границе, соединяющей их, пересекает единичную окружность в двух идеальных точках , a и b , помеченных так, чтобы точки были в порядке a , p , q , b, так что | aq | > | ap | и | pb | > | qb |. Тогда гиперболическое расстояние между p и q выражается как
Где расстояния измеряются по (прямой) отрезкам aq, ap, pb и qb.
Модель полуплоскости Пуанкаре [ править ]
В полуплоскости модели Пуанкаре в идеальные точки являются точками на границе оси. Есть еще одна идеальная точка, которая не представлена в модели полуплоскости (но к ней приближаются лучи, параллельные положительной оси y).
Модель гиперболоида [ править ]
В модели гиперболоида нет идеальных точек .
См. Также [ править ]
- Идеальный треугольник
- Идеальный многогранник
- Точка на бесконечность для использования в других геометриях.
Ссылки [ править ]
- Перейти ↑ Sibley, Thomas Q. (1998). Геометрическая точка зрения: обзор геометрии . Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. п. 109 . ISBN 0-201-87450-4.
- ^ Струве, Хорст; Струве, Рольф (2010), "неевклидовых геометрий: Кэли-Клейна подход", Журнал геометрии , 89 (1): 151-170, DOI : 10.1007 / s00022-010-0053-Z , ISSN 0047-2468 , Руководство по ремонту 2739193
- ^ Хвидстен, Майкл (2005). Геометрия с помощью Geometry Explorer . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 276–283. ISBN 0-07-312990-9.
- ^ Терстон, Дилан (осень 2012). «274 кривых на поверхностях, лекция 5» (PDF) . Проверено 23 июля 2013 года . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- ^ Bonola, Роберто (1955). Неевклидова геометрия: критическое и историческое исследование ее развития (Несокращенная и неизменная переиздание 1. Английский перевод 1912 г., изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Дувр. С. 75–77 . ISBN 0486600270.
