В математике выражение называется четко определенным или недвусмысленным, если его определение придает ему уникальную интерпретацию или значение. В противном случае говорят, что выражение не является четко определенным , неточным или неоднозначным . [1] Функция хорошо определена, если она дает тот же результат, когда представление ввода изменяется без изменения значения ввода. Например, если f принимает действительные числа в качестве входных данных, и если f (0.5) не равно f (1/2), то f не является четко определенным (и, следовательно, не является функцией). [2] СрокЧетко определенное также может использоваться, чтобы указать, что логическое выражение однозначно или непротиворечиво. [3]
Неопределенная функция - это не то же самое, что неопределенная функция . Например, если Р ( х ) = 1 / х , то тот факт , что F (0) не определен , не означает , что F является не хорошо определен - но это-просто не в области от F .
Пример [ править ]
Пусть будут множествами, пусть и «определяют» как будто и если .
Тогда хорошо определено, если . Например, если и , то будут четко определены и равны .
Однако, если , то не будет четко определен, потому что это "неоднозначно" для . Например, если и , тогда должны быть и 0, и 1, что делает его неоднозначным. В результате последний не является четко определенным и, следовательно, не является функцией.
«Определение» как ожидание определения [ править ]
Чтобы избежать апострофов вокруг слова «определить» в предыдущем простом примере, «определение» можно разбить на два простых логических шага:
- Определение из бинарного отношения : В примере ,
- ,
- Утверждение : бинарное отношение - это функция; в примере
- .
Хотя определение на шаге 1 сформулировано со свободой любого определения и, безусловно, эффективно (без необходимости классифицировать его как «хорошо определенное»), утверждение шага 2 должно быть доказано. То есть является функцией тогда и только тогда , когда и в этом случае - как функция - четко определена. С другой стороны, если , то для an у нас будет это и , что делает бинарное отношение не функциональным (как определено в Бинарном отношении # Специальные типы бинарных отношений ) и, следовательно, не может быть определено как функция. В просторечии «функция» также называется неоднозначной в определенной точке (хотя согласно определению никогда не является «неоднозначной функцией»), а исходное «определение» бессмысленно. Несмотря на эти тонкие логические проблемы, довольно часто заранее используется термин «определение» (без апострофов) для «определений» такого рода - по трем причинам:
- Это удобное сокращение двухэтапного подхода.
- Соответствующие математические рассуждения (например, шаг 2) одинаковы в обоих случаях.
- В математических текстах утверждение истинно «до 100%».
Независимость представителя [ править ]
Вопрос о корректности определения функции классически возникает, когда определяющее уравнение функции относится не (только) к самим аргументам, но (также) к элементам аргументов. Это иногда неизбежно, когда аргументы являются смежными классами, а уравнение относится к представителям смежных классов.
Функции с одним аргументом [ править ]
Например, рассмотрим следующую функцию
где и являются целыми числами по модулю т , и обозначает класс конгруэнции из п по модулю т .
NB: ссылка на элемент и аргумент .
Функция четко определена, потому что
В качестве встречного примера обратное определение
не приводит к четко определенной функции, так как, например, равно in , но первый будет отображаться в , а второй будет отображаться в , и и не равны .
Операции [ править ]
В частности, термин хорошо определенный используется в отношении (бинарных) операций над смежными классами. В этом случае можно рассматривать операцию как функцию двух переменных, и свойство быть четко определенным такое же, как и для функции. Например, сложение целых чисел по модулю некоторого n можно естественным образом определить в терминах сложения целых чисел.
Тот факт, что это правильно определено, следует из того факта, что мы можем написать любой представитель as , где - целое число. Следовательно,
и аналогично для любого представителя , тем самым делая то же самое, независимо от выбора представителя. [3]
Четкое обозначение [ править ]
Для действительных чисел произведение однозначно, потому что (и, следовательно, обозначение считается хорошо определенным ). [1] Это свойство, также известное как ассоциативность умножения, гарантирует, что результат не зависит от последовательности умножений, так что определение последовательности может быть опущено.
С другой стороны, операция вычитания не ассоциативна. Тем не менее, существует соглашение , что является сокращением , таким образом , он «хорошо определен».
Деление также неассоциативно. Однако в случае с условными обозначениями в круглых скобках не так хорошо установлено, поэтому это выражение часто считается некорректным .
В отличие от функций, неоднозначность обозначений можно более или менее легко преодолеть с помощью дополнительных определений (например, правил приоритета , ассоциативности оператора). Например, в языке программирования C оператор -
вычитания ассоциативен слева направо , что означает, что a-b-c
он определяется как (a-b)-c
, а оператор =
присваивания является ассоциативным справа налево , что означает, что a=b=c
он определяется как a=(b=c)
. [4] В языке программирования APL есть только одно правило: справа налево, но сначала скобки.
Другие варианты использования термина [ править ]
Решение уравнения в частных производных называется хорошо определенным, если оно непрерывно определяется граничными условиями по мере изменения граничных условий. [1]
См. Также [ править ]
- Отношение эквивалентности § Правильно определенная по отношению эквивалентности
- Дефиниционизм
- Существование
- Уникальность
- Количественная оценка уникальности
- Неопределенный
Ссылки [ править ]
Заметки [ править ]
- ^ a b c Вайсштейн, Эрик У. "Хорошо определенный" . Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram . Проверено 2 января 2013 года .
- ^ Джозеф Дж. Ротман, Теория групп: введение , стр. 287 «... функция« однозначна »или, как мы предпочитаем говорить ... функция хорошо определена », Allyn and Bacon, 1965.
- ^ а б «Окончательный словарь высшего математического жаргона» . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 18 октября 2019 .
- ^ «Приоритет операторов и ассоциативность в C» . GeeksforGeeks . 2014-02-07 . Проверено 18 октября 2019 .
Источники [ править ]
- Современная абстрактная алгебра , Джозеф А. Галлиан, 6-е издание, Houghlin Mifflin, 2006, ISBN 0-618-51471-6 .
- Алгебра: Глава 0 , Паоло Алуффи, ISBN 978-0821847817 . Стр.16.
- Абстрактная алгебра , Даммит и Фут, 3-е издание, ISBN 978-0471433347 . Страница 1.