Метрика Кэли – Клейна

Метрическое расстояние между двумя точками внутри абсолюта - это логарифм поперечного отношения, образованного этими двумя точками и двумя пересечениями их линии с абсолютным значением.

В математике метрика Кэли – Клейна - это метрика в дополнении фиксированной квадрики в проективном пространстве, которая определяется с помощью перекрестного отношения . Конструкция возникла из эссе Артура Кэли «К теории расстояния» ^[1], где он называет квадрику абсолютом . Более подробно конструкция была разработана Феликсом Кляйном в статьях 1871 и 1873 годов, а также в последующих книгах и статьях. ^[2] Метрики Кэли – Клейна являются объединяющей идеей в геометрии, поскольку этот метод используется для обеспечения метрик в гиперболической геометрии , эллиптической геометрии., и евклидова геометрия . Область неевклидовой геометрии в значительной степени опирается на метрику Кэли – Клейна.

Фонды [ править ]

Алгебра бросает на Карла фон Staudt (1847) представляет собой подход к геометрии , которая не зависит от метрики . Идея заключалась в том, чтобы использовать отношение проективных гармонических сопряжений и перекрестных отношений как фундаментальное для измерения на прямой. ^[3] Еще одно важного понимания было формула лагерра по Лагерру (1853), который показал , что евклидово угла между двумя линиями может быть выражен в виде логарифмов в поперечном соотношении. ^[4] В конце концов, Кэли (1859) сформулировал соотношения для выражения расстояния в терминах проективной метрики и связал их с общими квадриками или кониками.служащий абсолютом геометрии. ^{[5] [6]} Кляйн (1871, 1873) удалил последние остатки метрических концепций из работы фон Штаудта и объединил их с теорией Кэли, чтобы основать новую метрику Кэли на логарифме и перекрестном отношении как числе, порожденном геометрическое расположение четырех точек. ^[7] Эта процедура необходима, чтобы избежать кругового определения расстояния, если поперечное отношение - это просто двойное отношение ранее определенных расстояний. ^[8] В частности, он показал, что неевклидовы геометрии могут быть основаны на метрике Кэли – Клейна. ^[9]

Геометрия Кэли – Клейна - это исследование группы движений, которые оставляют метрический инвариант Кэли – Клейна . Это зависит от выбора квадрики или коники, которая становится абсолютом пространства. Эта группа получается как коллинеации, для которых абсолют устойчив . Действительно, перекрестное отношение инвариантно при любой коллинеации, а стабильный абсолют позволяет проводить сравнение показателей, которое будет равенством. Например, единичная окружность - это абсолют модели диска Пуанкаре и модели Бельтрами – Клейна в гиперболической геометрии . Аналогично реальная линияявляется абсолютом модели полуплоскости Пуанкаре .

Степень применения геометрии Кэли-Клейна была резюмирована Хорстом и Рольфом Струве в 2004 г .: ^[10]

Есть три абсолюта в реальной проективной линии, семь в реальной проективной плоскости и 18 в реальном проективном пространстве. Таким образом можно определить все классические неевклидовы проективные пространства как гиперболические, эллиптические, галилеевы и минковские и их двойственные.

Диаграммы Кэли-Клейна Вороного - это аффинные диаграммы с линейными биссектрисами гиперплоскости . ^[11]

Поперечное соотношение и расстояние [ править ]

Предположим, что Q - фиксированная квадрика в проективном пространстве, которая становится абсолютом этой геометрии. Если a и b - 2 точки, то прямая, проходящая через a и b, пересекает квадрику Q еще в двух точках p и q . Расстояние Кэли – Клейна d ( a , b ) от a до b пропорционально логарифму перекрестного отношения : ^[12]

${\ displaystyle d (a, b) = C \ log {\ frac {| bp || qa |} {| ap || qb |}}}$для некоторых фиксированных постоянная C .

Когда C реально, оно представляет собой гиперболическое расстояние гиперболической геометрии , когда мнимое - это эллиптическая геометрия . Абсолют также может быть выражен в терминах произвольных квадрик или коник, имеющих форму в однородных координатах :

${\ displaystyle \ Omega = \ sum \ omega _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} x _ {\ beta} = 0, \ \ left (\ omega _ {\ alpha \ beta} = \ omega _ {\ beta \ alpha} \ right)}$

(где α , β = 1,2,3 относится к плоскости, а α , β = 1,2,3,4 - к пространству), таким образом: ^[13]

${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{aligned}d&=C\log {\frac {\Omega _{xy}+{\sqrt {\Omega _{xy}^{2}-\Omega _{xx}\Omega _{yy}}}}{\Omega _{xy}-{\sqrt {\Omega _{xy}^{2}-\Omega _{xx}\Omega _{yy}}}}}\\&=2iC\cdot \operatorname {acos} {\frac {\Omega _{xy}}{\sqrt {\Omega _{xx}\cdot \Omega _{yy}}}}\end{aligned}}\\\hline {\begin{matrix}\Omega _{xx}=\sum \omega _{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0\\\Omega _{yy}=\sum \omega _{\alpha \beta }y_{\alpha }y_{\beta }=0\\\Omega _{xy}=\sum \omega _{\alpha \beta }x_{\alpha }y_{\beta }\end{matrix}}\end{matrix}}}$

Соответствующее гиперболическое расстояние (с C = 1/2 для упрощения): ^[14]

${\displaystyle d=\operatorname {acosh} {\frac {\Omega _{xy}}{\sqrt {\Omega _{xx}\cdot \Omega _{yy}}}}}$

или в эллиптической геометрии (с C = i / 2 для упрощения) ^[15]

${\displaystyle d=\operatorname {acos} {\frac {\Omega _{xy}}{\sqrt {\Omega _{xx}\cdot \Omega _{yy}}}}}$

Нормальные формы абсолютного [ править ]

Любая квадрика (или поверхность второго порядка) с действительными коэффициентами вида может быть преобразована в нормальные или канонические формы в терминах сумм квадратов, при этом разница в количестве положительных и отрицательных знаков не меняется при реальном однородном преобразовании определителя ≠ 0 по закону инерции Сильвестра со следующей классификацией («нулевая часть» означает действительное уравнение квадрики, но без вещественных точек): ^[16]${\textstyle \Omega =\sum \omega _{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0}$

1. Правильные поверхности второго порядка .
   1. ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=0}$. Поверхность с нулевыми частями.
   2. ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}=0}$. Овальная поверхность.
      1. Эллипсоид
      2. Эллиптический параболоид
      3. Двухлистный гиперболоид
   3. ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}-x_{4}^{2}=0}$. Поверхность кольца.
      1. Однолистовой гиперболоид
      2. Гиперболический параболоид
2. Конические поверхности второго порядка .
   1. ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=0}$. Конус с нулевой детализацией.
      1. Конус с нулевой детализацией
      2. Цилиндр с нулевым содержанием деталей
   2. ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=0}$. Обычный конус.
      1. Конус
      2. Эллиптический цилиндр
      3. Параболический цилиндр
      4. Гиперболический цилиндр
3. Плоские пары .
   1. ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=0}$. Сопряженные пары воображаемых плоскостей.
      1. Взаимно пересекающиеся воображаемые плоскости.
      2. Параллельные воображаемые плоскости.
   2. ${\displaystyle x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=0}$. Реальные пары самолетов.
      1. Взаимно пересекающиеся плоскости.
      2. Параллельные плоскости.
      3. Одна плоскость конечна, другая бесконечно удалена, поэтому с аффинной точки зрения не существует.
4. Двойной счет самолетов .
   1. ${\displaystyle x_{1}^{2}=0}$.
      1. Конечная плоскость с двойным счетом.
      2. Двойной счет бесконечно удаленной плоскости, не существующей в аффинной геометрии.

В коллинеации оставляя инвариантную эти формы может быть связана с дробно - линейными преобразованиями или преобразованиями Мёбиуса . ^[17] Такие формы и их преобразования теперь могут быть применены к нескольким типам пространств, которые могут быть объединены с помощью параметра ε (где ε = 0 для евклидовой геометрии, ε = 1 для эллиптической геометрии, ε = −1 для гиперболической геометрии). ), так что уравнение на плоскости принимает вид ^[18], а в пространстве . ^[19] Например, абсолют для евклидовой плоскости теперь может быть представлен как . ^[20]${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+{\tfrac {1}{\varepsilon }}x_{3}^{2}=0}$${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+{\tfrac {1}{\varepsilon }}x_{4}^{2}=0}$${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=0,\ x_{3}=0}$

Эллиптическая плоскость или пространство связаны с поверхностями нулевой части в однородных координатах: ^[21]

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}\Omega =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=0&\Omega =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=0\\\hline d=\operatorname {acos} {\frac {x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}}{{\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}}{\sqrt {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}}}}}&d=\operatorname {acos} {\frac {x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}+x_{4}y_{4}}{{\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}}}{\sqrt {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+x_{4}^{2}}}}}\end{array}}}$

или с использованием неоднородных координат, с помощью которых абсолют становится воображаемой единичной окружностью или единичной сферой: ^[22]${\displaystyle \left[{\mathfrak {x}},{\mathfrak {y}},\dots ,1\right]=\left[{\tfrac {x_{1}}{x_{n}}},{\tfrac {x_{2}}{x_{n}}},\dots ,{\tfrac {x_{n}}{x_{n}}}\right]}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}\Omega ={\mathfrak {x}}^{2}+{\mathfrak {y}}^{2}+1=0&\Omega ={\mathfrak {x}}^{2}+{\mathfrak {y}}^{2}+{\mathfrak {z}}^{2}+1=0\\\hline d=\operatorname {acos} {\frac {{\mathfrak {x}}_{1}{\mathfrak {x}}_{2}+{\mathfrak {y}}_{1}{\mathfrak {y}}_{2}+1}{{\sqrt {{\mathfrak {x}}_{1}^{2}+{\mathfrak {y}}_{1}^{2}+1}}{\sqrt {{\mathfrak {x}}_{2}^{2}+{\mathfrak {y}}_{2}^{2}+1}}}}&d=\operatorname {acos} {\frac {{\mathfrak {x}}_{1}{\mathfrak {x}}_{2}+{\mathfrak {y}}_{1}{\mathfrak {y}}_{2}+{\mathfrak {z}}_{1}{\mathfrak {z}}_{2}+1}{{\sqrt {{\mathfrak {x}}_{1}^{2}+{\mathfrak {y}}_{1}^{2}+{\mathfrak {z}}_{1}^{2}+1}}{\sqrt {{\mathfrak {x}}_{2}^{2}+{\mathfrak {y}}_{2}^{2}+{\mathfrak {y}}_{1}^{2}+1}}}}\end{array}}}$

или выражая однородные координаты в терминах условия (координаты Вейерштрасса), расстояние упрощается до: ^[23]${\displaystyle x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}=y_{1}^{2}+\dots +y_{n}^{2}=1}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}d=\operatorname {acos} \left(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}\right)&d=\operatorname {acos} \left(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}+x_{4}y_{4}\right)\end{array}}}$

Гиперболическая плоскость или пространство связаны с овальной поверхностью в однородных координатах: ^[24]

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}\Omega =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=0&\Omega =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}=0\\\hline d=\operatorname {acosh} {\frac {x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}-x_{3}y_{3}}{{\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}}}{\sqrt {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}}}}}&d=\operatorname {acosh} {\frac {x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}}{{\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}}}{\sqrt {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}-x_{4}^{2}}}}}\end{array}}}$

или с использованием неоднородных координат, по которым абсолют становится единичным кругом или единичной сферой: ^[25]${\displaystyle \left[{\mathfrak {x}},{\mathfrak {y}},\dots ,1\right]=\left[{\tfrac {x_{1}}{x_{n}}},{\tfrac {x_{2}}{x_{n}}},\dots ,{\tfrac {x_{n}}{x_{n}}}\right]}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}\Omega ={\mathfrak {x}}^{2}+{\mathfrak {y}}^{2}-1=0&\Omega ={\mathfrak {x}}^{2}+{\mathfrak {y}}^{2}+{\mathfrak {z}}^{2}-1=0\\\hline d=\operatorname {acosh} {\frac {{\mathfrak {x}}_{1}{\mathfrak {x}}_{2}+{\mathfrak {y}}_{1}{\mathfrak {y}}_{2}-1}{{\sqrt {{\mathfrak {x}}_{1}^{2}+{\mathfrak {y}}_{1}^{2}-1}}{\sqrt {{\mathfrak {x}}_{2}^{2}+{\mathfrak {y}}_{2}^{2}-1}}}}&d=\operatorname {acosh} {\frac {{\mathfrak {x}}_{1}{\mathfrak {x}}_{2}+{\mathfrak {y}}_{1}{\mathfrak {y}}_{2}+{\mathfrak {z}}_{1}{\mathfrak {z}}_{2}-1}{{\sqrt {{\mathfrak {x}}_{1}^{2}+{\mathfrak {y}}_{1}^{2}+{\mathfrak {z}}_{1}^{2}-1}}{\sqrt {{\mathfrak {x}}_{2}^{2}+{\mathfrak {y}}_{2}^{2}+{\mathfrak {y}}_{1}^{2}-1}}}}\end{array}}}$

или выражая однородные координаты в терминах условия (координаты Вейерштрасса модели гиперболоида ), расстояние упрощается до: ^[26]${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots -x_{n}^{2}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\dots -y_{n}^{2}=-1}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}d=\operatorname {acosh} \left(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}-x_{3}y_{3}\right)&d=\operatorname {acosh} \left(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}\right)\end{array}}}$

Специальная теория относительности [ править ]

В своих лекциях по истории математики 1919/20, опубликованных посмертно в 1926 году, Кляйн писал: ^[27]

Случай в четырехмерном мире или (оставаться в трех измерениях и использовать однородные координаты ) недавно приобрел особое значение благодаря теории относительности в физике.${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}=0}$${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-dt^{2}=0}$

То есть абсолюты или в гиперболической геометрии (как обсуждалось выше) соответствуют интервалам или в пространстве-времени , и их преобразование, оставляющее абсолютный инвариант, может быть связано с преобразованиями Лоренца . Точно так же уравнения единичного круга или единичной сферы в гиперболической геометрии соответствуют физическим скоростям или в теории относительности, которые ограничены скоростью света c , так что для любой физической скорости v отношение v / c ограничено внутренним пространством. единичной сферы, а поверхность сферы образует абсолют Кэли для геометрии.${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=0}$${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}=0}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}-t^{2}=0}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}=0}$${\textstyle \left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}=1}$${\displaystyle \left({\tfrac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\tfrac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\tfrac {dz}{dt}}\right)^{2}=1}$ 

Дополнительные подробности о связи между метрикой Кэли – Клейна для гиперболического пространства и пространством Минковского специальной теории относительности были указаны Клейном в 1910 г. ^[28], а также в издании 1928 г. его лекций по неевклидовой геометрии. ^[29]

Аффинная CK-геометрия [ править ]

В 2008 году Хорст Мартини и Маргарита Спирова обобщили первую из теорем Клиффорда о круге и другую евклидову геометрию, используя аффинную геометрию, связанную с абсолютом Кэли:

Если абсолют содержит линию, то получается подсемейство аффинных геометрий Кэли-Клейна . Если абсолют состоит из прямой f и точки F на f , то мы имеем изотропную геометрию . Изотропный круг является коническими трогательными е в F . ^[30]

Используйте однородные координаты ( x, y, z ). Линия f на бесконечности равна z = 0. Если F = (0,1,0), то парабола с диаметром, параллельным оси y, является изотропной окружностью.

Пусть P = (1,0,0) и Q = (0,1,0) находится на абсолюте, поэтому f такое же, как указано выше. Считается, что прямоугольная гипербола в плоскости ( x, y ) проходит через точки P и Q на бесконечно удаленной прямой. Эти кривые представляют собой псевдоевклидовы окружности.

В трактовке Мартини и Спировой используются двойственные числа для изотропной геометрии и расщепленные комплексные числа для псевдоевклидовой геометрии. Эти обобщенные комплексные числа связаны со своей геометрией, как обычные комплексные числа с евклидовой геометрией.

История [ править ]

Кэли [ править ]

Артур Кэли (1859) определил «абсолют», на котором он основал свою проективную метрику, как общее уравнение поверхности второй степени в терминах однородных координат : ^[1]

оригинал	современный
${\displaystyle (a,b,c)(x,y)^{2}=0}$	${\displaystyle {\begin{array}{c}\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0\\\left(\alpha ,\beta =1,2\right)\end{array}}}$

Расстояние между двумя точками тогда определяется как

оригинал	современный
${\displaystyle \cos ^{-1}{\frac {(a,b,c)(x,y)\left(x',y'\right)}{{\sqrt {(a,b,c)(x,y)^{2}}}{\sqrt {(a,b,c)(x',y')^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\begin{array}{c}\cos ^{-1}{\dfrac {\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }y_{\beta }}{{\sqrt {\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }}}{\sqrt {\sum a_{\alpha \beta }y_{\alpha }y_{\beta }}}}}\\\left[\alpha ,\beta =1,2\right]\end{array}}}$

В двух измерениях

оригинал	современный
${\displaystyle (a,b,c,f,g,h)(x,y,z)^{2}=0}$	${\displaystyle {\begin{array}{c}\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0,\\\left(\alpha ,\beta =1,2,3\right)\end{array}}}$

с расстояния

оригинал	современный
${\displaystyle \cos ^{-1}{\frac {(a,\dots )(x,y,z)\left(x',y',z'\right)}{{\sqrt {(a,\dots )(x,y,z)^{2}}}{\sqrt {(a,\dots )(x',y',z')^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\begin{array}{c}\cos ^{-1}{\dfrac {\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }y_{\beta }}{{\sqrt {\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }}}{\sqrt {\sum a_{\alpha \beta }y_{\alpha }y_{\beta }}}}},\ \\\left(\alpha ,\beta =1,2,3\right)\end{array}}}$

из которых он обсудил частный случай с расстоянием${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=0}$

${\displaystyle \cos ^{-1}{\frac {xx'+yy'+zz'}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\sqrt {x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}}}}}}$

Он также сослался на случай (единичная сфера).${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$

Кляйн [ править ]

Феликс Кляйн (1871) переформулировал выражения Кэли следующим образом: он записал абсолют (который он назвал фундаментальным коническим сечением) в терминах однородных координат: ^[31]

оригинал	современный
${\displaystyle \Omega =ax_{1}^{2}+2bx_{1}x_{2}+cx_{2}^{2}=0}$	${\displaystyle {\begin{array}{c}\Omega =\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0\\\left(\alpha ,\beta =1,2\right)\end{array}}}$

и, образуя абсолюты и для двух элементов, он определил метрическое расстояние между ними в терминах поперечного отношения:${\displaystyle \Omega _{xx}}$${\displaystyle \Omega _{yy}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}c\log {\frac {\Omega _{xy}+{\sqrt {\Omega _{xy}^{2}-\Omega _{xx}\Omega _{yy}}}}{\Omega _{xy}-{\sqrt {\Omega _{xy}^{2}-\Omega _{xx}\Omega _{yy}}}}}=2ic\cdot \operatorname {arccos} {\frac {\Omega _{xy}}{\sqrt {\Omega _{xx}\cdot \Omega _{yy}}}}\\\hline {\begin{array}{c|c}{\begin{matrix}{\text{original}}\\\Omega _{xx}=ax_{1}^{2}+2bx_{1}x_{2}+cx_{2}^{2}\\\Omega _{yy}=ay_{1}^{2}+2by_{1}y_{2}+cy_{2}^{2}\\\Omega _{xy}=ax_{1}y_{1}+b\left(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right)+cx_{2}y_{2}\\\\\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\text{modern}}\\\Omega _{xx}=\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0\\\Omega _{yy}=\sum a_{\alpha \beta }y_{\alpha }y_{\beta }=0\\\Omega _{xy}=\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }y_{\beta }\\\left(\alpha ,\beta =1,2\right)\end{matrix}}\end{array}}\end{matrix}}}$

На плоскости сохраняются те же соотношения для метрических расстояний, за исключением того, что и теперь связаны с тремя координатами каждая. В качестве основного конического раздела он обсудил особый случай , который относится к гиперболической геометрии, когда она действительна, и к эллиптической геометрии, когда она мнима. ^[32] Преобразования, оставляющие эту форму неизменной, представляют движения в соответствующем неевклидовом пространстве. В качестве альтернативы он использовал уравнение круга в форме , которая относится к гиперболической геометрии, когда она положительна (модель Бельтрами – Клейна), или к эллиптической геометрии, когда она отрицательна. ^[33]${\displaystyle \Omega _{xx}}$${\displaystyle \Omega _{yy}}$${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle \Omega _{xx}=z_{1}z_{2}-z_{3}^{2}=0}$${\displaystyle \Omega _{xx}=x^{2}+y^{2}-4c^{2}=0}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$В космосе он обсуждал фундаментальные поверхности второй степени, согласно которым мнимые поверхности относятся к эллиптической геометрии, реальные и прямолинейные соответствуют однополостному гиперболоиду, не имеющему отношения к одной из трех основных геометрий, а реальные и непрямолинейные. относятся к гиперболическому пространству.

В своей статье 1873 года он указал на связь между метрикой Кэли и группами преобразований. ^[34] В частности, квадратные уравнения с действительными коэффициентами, соответствующие поверхностям второй степени, могут быть преобразованы в сумму квадратов, в которой разность между числом положительных и отрицательных знаков остается равной (теперь это называется законом Сильвестра. инерция ). Если знак у всех квадратов одинаковый, поверхность мнимая с положительной кривизной. Если один знак отличается от других, поверхность становится эллипсоидом или двухлистным гиперболоидом с отрицательной кривизной.

В первом томе своих лекций по неевклидовой геометрии в зимнем семестре 1889/90 (опубликовано 1892/1893) он обсуждал неевклидову плоскость, используя следующие выражения для абсолюта: ^[35]

${\displaystyle {\begin{matrix}\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0\\\left[\alpha ,\beta =1,2,3\right]\end{matrix}}\rightarrow {\begin{matrix}x^{2}+y^{2}+4k^{2}t^{2}=0&\mathrm {(elliptic)} \\x^{2}+y^{2}-4k^{2}t^{2}=0&\mathrm {(hyperbolic)} \end{matrix}}}$

и обсудили их инвариантность относительно коллинеаций и преобразований Мёбиуса, представляющих движения в неевклидовых пространствах.

Во втором томе, содержащем лекции летнего семестра 1890 г. (также опубликованные в 1892/1893 гг.), Кляйн обсуждал неевклидово пространство с метрикой Кэли ^[36]

${\displaystyle \sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0,\ \left[\alpha ,\beta =1,2,3,4\right]}$

и продолжил, чтобы показать, что варианты этой четвертичной квадратичной формы могут быть приведены к одной из следующих пяти форм вещественными линейными преобразованиями ^[37]

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2}&{\text{(zero part)}}\\z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}&{\text{(oval)}}\\z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{3}^{2}-z_{4}^{2}&{\text{(ring)}}\\-z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}+z_{4}^{2}\\-z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}-z_{4}^{2}\end{aligned}}}$

Форма была использована Кляйном как абсолют Кэли эллиптической геометрии ^{[38], в} то время как с гиперболической геометрией он связал и, альтернативно, уравнение единичной сферы . ^[39] В конце концов он обсудил их инвариантность относительно коллинеаций и преобразований Мёбиуса, представляющих движения в неевклидовых пространствах.${\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2}=0}$${\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}=0}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0}$

Роберт Фрике и Кляйн суммировали все это во введении к первому тому лекций по автоморфным функциям 1897 года, в которых они использовали абсолют в плоской геометрии, а также в гиперболическом пространстве. ^[40] Лекции Кляйна по неевклидовой геометрии были посмертно переизданы в виде одного тома и значительно отредактированы Вальтером Роземаном в 1928 году. ^[41] Исторический анализ работы Клейна по неевклидовой геометрии был дан А'Кампо и Пападопулосом (2014) . ^[9]${\displaystyle e\left(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\right)-z_{3}^{2}=0}$${\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}=0}$${\displaystyle X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=1}$

См. Также [ править ]

• Метрика Гильберта

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Исторический

• фон Штаудт, К. (1847). Geometrie der Lage . Нюрнберг: Нюрнберг Ф. Корн.
• Лагер, Э. (1853). "Note sur la théorie des foyers" . Nouvelles annales de mathématiques . 12 : 57–66.
• Кэли, А. (1859). «Шестые воспоминания о квантике» . Философские труды Лондонского королевского общества . 149 : 61–90. DOI : 10,1098 / rstl.1859.0004 .
• Кляйн, Ф. (1871). "Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie" . Mathematische Annalen . 4 (4): 573–625. DOI : 10.1007 / BF02100583 .
• Кляйн, Ф. (1873). "Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie" . Mathematische Annalen . 6 (2): 112–145. DOI : 10.1007 / BF01443189 .
• Кляйн, Ф. (1893a). Шиллинг, о. (ред.). Nicht-Euklidische Geometrie I, Vorlesung gehalten während des Wintersemesters 1889–90 . Гёттинген. (второй отпечаток, первый отпечаток 1892 г.)
• Кляйн, Ф. (1893b). Шиллинг, о. (ред.). Nicht-Euklidische Geometrie II, Vorlesung gehalten während des Sommersemesters 1890 . Гёттинген. (второй отпечаток, первый отпечаток 1892 г.)

Вторичные источники

• Киллинг, W. (1885). Die nicht-euklidischen Raumformen . Лейпциг: Тойбнер.
• Fricke, R .; Кляйн, Ф. (1897). Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen - Erster Band: Die gruppentheoretischen Grundlagen . Лейпциг: Тойбнер.
• Бертран Рассел (1898) «Очерк основ геометрии» , переизданный в 1956 г. компанией Dover Books
• Альфред Норт Уайтхед (1898) Универсальная алгебра , Книга VI Глава 1: Теория расстояния, стр. 347–70, особенно раздел 199 Теория расстояния Кэли.
• Хаусдорф, Ф. (1899). "Аналитиче Байтраге цур nichteuklidischen Geometrie" . Leipziger Math.-Phys. Берихте . 51 : 161–214.
• Дункан Соммервилл (1910/11) "Метрики Кэли – Клейна в n -мерном пространстве", Труды Эдинбургского математического общества 28: 25–41.
• Кляйн, Феликс (1910). "Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe"  . Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 19 : 533–552. DOI : 10.1007 / 978-3-642-51960-4_31 . ISBN 978-3-642-51898-0.Перепечатано в Klein, Felix (1921). Gesammelte Mathematische Abhandlungen . 1 . С. 533–552. DOI : 10.1007 / 978-3-642-51960-4_31 .Английский перевод Дэвида Дельфениха: О геометрических основах группы Лоренца
• Веблен О. и Янг Дж. В. (1918). Проективная геометрия . Бостон: Джинн.
• Либманн, Х. (1923). Nichteuklidische Geometrie . Берлин и Лейпциг: Берлин В. де Грюйтер.
• Кляйн, Ф. (1926). Courant, R .; Нойгебауэр, О. (ред.). Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert . Берлин: Springer.; Английский перевод: М. Акерман, « Развитие математики в XIX веке », Math Sci Press
• Кляйн, Ф. (1928). Роземанн, В. (ред.). Vorlesungen über nicht-Euklidische Geometrie . Берлин: Springer.
• Пьерпон, Дж. (1930). «Неевклидова геометрия, ретроспектива». Бюллетень Американского математического общества . 36 (2): 66–76. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1930-04885-5 .
• Литтлвуд, JE (1986) [1953], сборник Литтлвуда , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-33058-9, Руководство по ремонту  0872858
• Харви Липкин (1985) Метрическая геометрия из Технологического института Джорджии
• Струве, Хорст; Струве, Рольф (2004), "Проективные пространства с метрикой Кэли-Клейна", журнал геометрии , 81 (1): 155-167, DOI : 10.1007 / s00022-004-1679-5 , ISSN  0047-2468 , МР  2134074
• Мартини Хорст, Спирова Маргарита (2008). "Геометрия окружности в аффинных плоскостях Кэли-Клейна". Periodica Mathematica Hungarica . 57 (2): 197–206. DOI : 10.1007 / s10998-008-8197-5 .
• Струве, Хорст; Струве, Рольф (2010), "неевклидовых геометрий: Кэли-Клейна подход", Журнал геометрии , 89 (1): 151-170, DOI : 10.1007 / s00022-010-0053-Z , ISSN  0047-2468 , Руководство по ремонту  2739193
• A'Campo, N .; Пападопулос, А. (2014). «О так называемой неевклидовой геометрии Клейна». In Ji, L .; Пападопулос А. (ред.). Софус Ли и Феликс Кляйн: программа Эрлангена и ее влияние на математику и физику . С. 91–136. arXiv : 1406,7309 . DOI : 10,4171 / 148-1 / 5 . ISBN 978-3-03719-148-4.
• Нильсен, Франк; Музеллец, Борис; Нок, Ричард (2016), «Классификация со смесями изогнутых метрик Махаланобиса», Международная конференция IEEE по обработке изображений (ICIP) , 2016 г. , стр. 241–245, doi : 10.1109 / ICIP.2016.7532355 , ISBN 978-1-4673-9961-6

Дальнейшее чтение [ править ]

• Ян Дрёслер (1979) «Основы многомерного метрического масштабирования в геометриях Кэли-Клейна», Британский журнал математической и статистической психологии 32 (2); 185–211