В гиперболической геометрии , A орицикл ( греческий : ὅριον + κύκλος - граница + круг, иногда называемый орицикл , oricircle , или предельный кругом ) является кривым, нормальным или перпендикулярными геодезическими всеми асимптотически сходятся в том же направлении. Это двумерный пример орисферы (или орисферы ).
Центр орицикла - это идеальная точка, в которой асимптотически сходятся все нормальные геодезические. Два орицикла с одним и тем же центром концентрически . Хотя кажется, что два концентрических орицикла не могут иметь одинаковую длину или кривизну, на самом деле любые два орицикла конгруэнтны .
Орицикл также можно описать как предел кругов, имеющих общую касательную в данной точке, поскольку их радиусы стремятся к бесконечности . В евклидовой геометрии такой «круг бесконечного радиуса» был бы прямой линией, но в гиперболической геометрии это орицикл (кривая).
С выпуклой стороны орицикл аппроксимируется гиперциклами , расстояния от оси которых уходят в бесконечность.
Свойства [ править ]
- Через каждую пару точек проходит по 2 орицикла. Центры орициклов - идеальные точки серединного перпендикуляра отрезка между ними.
- Никакие три точки орицикла не лежат на прямой, окружности или гиперцикле.
- Прямая линия , круг , Гиперцикл или другие сокращения орицикла орициклом в двух точках.
- Серединный перпендикуляр хорды орицикла является нормалью к орициклу и делит пополам дугу, образуемую хордой.
- Длина дуги орикруга между двумя точками:
- длиннее, чем длина отрезка между этими двумя точками,
- длиннее, чем длина дуги гиперцикла между этими двумя точками и
- короче, чем длина любой дуги окружности между этими двумя точками.
- Расстояние от орицикла до его центра бесконечно, и хотя в некоторых моделях гиперболической геометрии кажется, что два «конца» орицикла становятся все ближе и ближе друг к другу и ближе к его центру, это неверно; два «конца» орицикла удаляются все дальше и дальше друг от друга.
- Обычный апейрогон ограничен либо орициклом, либо гиперциклом.
- Если C - центр орицикла, а A и B - точки на орицикле, то углы CAB и CBA равны. [1]
- Площадь сектора орицикла (область между двумя радиусами и орициклом) конечна. [2]
Стандартизированная гауссова кривизна [ править ]
Когда гиперболическая плоскость имеет стандартизованную гауссову кривизну K, равную −1:
- Длина ˙s дуги орикруга между двумя точками:
- где d - расстояние между двумя точками, а sh и ch - гиперболические функции . [3]
- Длина дуги орицикла такая, что касательная на одном конце ограничивает параллель с радиусом, проходящим через другой конец, равна 1. [4] площадь, заключенная между этим орициклом и радиусами, равна 1. [5]
- Отношение длин дуги между двумя радиусами двух концентрических орициклов, где орициклы находятся на расстоянии 1 друг от друга, равно e : 1. [6]
Представления в моделях гиперболической геометрии [ править ]
Модель диска Пуанкаре [ править ]
В модели диска Пуанкаре гиперболической плоскости орициклы представлены окружностями, касающимися граничной окружности, центр орицикла - это идеальная точка, в которой орицикл касается граничной окружности.
Конструкция циркуля и линейки двух орициклов, проходящих через две точки, является той же конструкцией конструкции CPP для особых случаев задачи Аполлония, когда обе точки находятся внутри окружности.
Модель полуплоскости Пуанкаре [ править ]
В модели полуплоскости Пуанкаре орициклы представлены окружностями, касающимися линии границы, и в этом случае их центр является идеальной точкой, в которой окружность касается линии границы.
Когда центр орицикла является идеальной точкой, тогда орицикл представляет собой линию, параллельную линии границы.
Конструкция циркуля и линейки в первом случае является той же конструкцией, что и конструкция LPP для Частных случаев задачи Аполлония .
Модель гиперболоида [ править ]
В модели гиперболоида они представлены пересечениями гиперболоида с плоскостями, нормаль которых лежит в асимптотическом конусе.
Метрика [ править ]
Если метрика нормирована на гауссову кривизну −1, то орицикл является кривой геодезической кривизны 1 в каждой точке.
См. Также [ править ]
- Horosphere
- Гиперцикл (геометрия)
Ссылки [ править ]
- ^ Сосинский, А.Б. (2012). Геометрии . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. 141–2. ISBN 9780821875711.
- ^ Косетер, HSM (1998). Неевклидова геометрия (6. изд.). Вашингтон, округ Колумбия: доц. Математики. Америки. стр. 243 -244. ISBN 978-0-88385-522-5.
- ^ Smogorzhevsky (1976). Геометрия Лобачевского . Москва: Мир. п. 65.
- ^ Соммервилль, ДМГ (2005). Элементы неевклидовой геометрии (Unabr. И неизмененное переизд. Ред.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. п. 58. ISBN 0-486-44222-5.
- ^ Косетер, HSM (1998). Неевклидова геометрия (6. изд.). Вашингтон, округ Колумбия: доц. Математики. Америки. п. 250 . ISBN 978-0-88385-522-5.
- ^ Соммервилль, ДМГ (2005). Элементы неевклидовой геометрии (Unabr. И неизмененное переизд. Ред.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. п. 58. ISBN 0-486-44222-5.
- HSM Coxeter (1961) Введение в геометрию , §16.6: «Круги, орициклы и эквидистантные кривые», стр. 300, 1, John Wiley & Sons .
- Четыре столпа геометрии с. 198