Horosphere

Орисфера в модели диска Пуанкаре, касательная к краям шестиугольной мозаичной ячейки шестиугольной мозаичной соты

Упаковку аполлонических сфер можно рассматривать как отображение орисфер, которые касаются внешней сферы модели диска Пуанкаре.

В гиперболической геометрии , A орисфера (или parasphere ) является специфическим гиперповерхность в гиперболической п - пространстве . Это граница оробола , предел последовательности увеличивающихся шаров, разделяющих (с одной стороны) касательную гиперплоскость и точку касания. При n = 2 орисфера называется орициклом .

Ориосфера также может быть описана как предел гиперсфер, которые разделяют касательную гиперплоскость в данной точке, поскольку их радиусы стремятся к бесконечности. В евклидовой геометрии такая «гиперсфера бесконечного радиуса» была бы гиперплоскостью, но в гиперболической геометрии это орисфера (искривленная поверхность).

История [ править ]

Эта концепция уходит корнями в идею, высказанную Ф.Л. Вахтером в 1816 году в письме своему учителю Гауссу . Отмечая, что в евклидовой геометрии предел сферы, радиус которой стремится к бесконечности, является плоскостью, Вахтер утверждал, что даже если бы пятый постулат был ложным, тем не менее на поверхности была бы геометрия, идентичная геометрии обычной плоскости. ^[1] Термины орисферы и орицикл обусловлен Лобачевский , который установил различные результаты , показывающие , что геометрия орициклов и орисфера в пространстве гиперболического была эквивалентны таковыми линии и плоскость в евклидове пространства. ^[2] Термин «хоробол» принадлежит Уильяму Терстону , который использовал его в своей работе над трехмерными гиперболическими многообразиями . Термины ориосфера и horoball часто используются в трехмерной гиперболической геометрии.

Модели [ править ]

В модели конформного шара орисфера представлена ​​сферой, касательной к сфере горизонта. В модели верхнего полупространства орисфера может выглядеть либо как сфера, касательная к плоскости горизонта, либо как плоскость, параллельная плоскости горизонта. В модели гиперболоида орисфера представлена ​​плоскостью, нормаль которой лежит в асимптотическом конусе.

Кривизна [ править ]

Орисфера имеет критическую величину (изотропной) кривизны: если бы кривизна была больше, поверхность могла бы закрыться, давая сферу, а если бы кривизна была меньше, поверхность была бы ( N  - 1) - размерный гиперцикл .

Ссылки [ править ]

• Приложение, теория космоса Янош Бойяи, 1987, с.143