Гиперболическое 3-многообразие

В математике , точнее в топологии и дифференциальной геометрии , гиперболическое 3-многообразие - это многообразие размерности 3, снабженное гиперболической метрикой , то есть римановой метрикой , все секционные кривизны которой равны -1. Обычно требуется, чтобы эта метрика была также полной : в этом случае многообразие может быть реализовано как фактор трехмерного гиперболического пространства по дискретной группе изометрий ( клейновой группе ).

Гиперболические трехмерные многообразия конечного объема имеют особое значение в трехмерной топологии, как следует из гипотезы Терстона о геометризации, доказанной Перельманом. Изучение клейновых групп также является важной темой геометрической теории групп .

Важность топологии [ править ]

Гиперболическая геометрия является наиболее богатой и наименее понятной из восьми геометрий в размерности 3 (например, для всех других геометрий нетрудно дать явный перечень многообразий конечного объема с этой геометрией, хотя это далеко не так. случай для гиперболических многообразий ). Таким образом, после доказательства гипотезы о геометризации понимание топологических свойств гиперболических трехмерных многообразий является основной целью трехмерной топологии. Недавние открытия Кана-Марковича, Уайза, Агола и других дали ответы на большинство давно существующих открытых вопросов по этой теме, но есть еще много менее важных, которые не решены. ^[1]

В размерности 2 почти все замкнутые поверхности гиперболичны (все, кроме сферы, проективной плоскости, тора и бутылки Клейна). В размерности 3 это далеко не так: существует множество способов построить бесконечно много негиперболических замкнутых многообразий. С другой стороны, эвристическое утверждение о том, что «типичное трехмерное многообразие имеет тенденцию к гиперболичности», проверяется во многих контекстах. Например, любой узел , который не является либо спутниковым узлом или торическим узлом является гиперболическим. ^[2] Более того, почти все операции Дена на гиперболическом узле дают гиперболическое многообразие. Аналогичный результат верен и для ссылок ( гиперболическая операция Дена Терстонатеорема), и поскольку все 3-многообразия получаются как перестройки на зацеплении в 3-сфере, это придает более точный смысл неформальному утверждению. Другой смысл, в котором «почти все» многообразия являются гиперболическими в размерности 3, - это случайные модели. Например, случайные разбиения Хегора рода не менее 2 почти наверняка являются гиперболическими (когда сложность карты склейки стремится к бесконечности). ^[3]

Актуальность гиперболической геометрии трехмерного многообразия для его топологии также исходит из теоремы о жесткости Мостова , которая утверждает, что гиперболическая структура трехмерного гиперболического многообразия конечного объема однозначно определяется его гомотопическим типом. В частности, геометрический инвариант, такой как объем, может использоваться для определения новых топологических инвариантов.

Структура [ править ]

Многообразия конечного объема [ править ]

В этом случае одним из важных инструментов для понимания геометрии многообразия является разложение « толстый-тонкий» . Он утверждает, что трехмерное гиперболическое многообразие конечного объема имеет разбиение на две части:

• толстая часть, где радиус приемистости больше абсолютной постоянной;
• и его дополнение, тонкая часть, которая представляет собой несвязное объединение полноторий и точек возврата .

Геометрически конечные многообразия [ править ]

Разложение толстого на тонкое справедливо для всех гиперболических трехмерных многообразий, хотя в целом тонкая часть не такая, как описано выше. Гиперболическое 3-многообразие называется геометрически конечным, если оно содержит выпуклое подмногообразие (его выпуклую сердцевину ), на которое оно втягивается, и толстая часть которого компактна (обратите внимание, что все многообразия имеют выпуклую сердцевину, но в целом оно не компактно. ). ^[4] Самый простой случай - это когда многообразие не имеет «куспидов» (т. Е. Фундаментальная группа не содержит параболических элементов), и в этом случае многообразие геометрически конечно тогда и только тогда, когда оно является фактором замкнутого выпуклого подмножества гиперболического пространства группой, кокомпактно действующей на этом подмножестве.

Многообразия с конечно порожденной фундаментальной группой [ править ]

Это более широкий класс трехмерных гиперболических многообразий, для которых существует удовлетворительная структурная теория. Он основан на двух теоремах:

• Теорема ручности, утверждающая, что такое многообразие гомеоморфно внутренности компактного многообразия с краем;
• Теорема об окончании ламинирования , которая обеспечивает классификацию гиперболической структуры на внутренней части компактного многообразия ее «конечные инварианты».

Построение трехмерных гиперболических многообразий конечного объема [ править ]

Гиперболические многогранники, группы отражений [ править ]

Самая старая конструкция гиперболических многообразий, восходящая по крайней мере к Пуанкаре, выглядит следующим образом: начните с конечного набора трехмерных гиперболических конечных многогранников . Предположим, что между двумерными гранями этих многогранников существует граница (т.е. каждая такая грань соединена с другой, отличной, одной, так что они изометричны друг другу как двумерные гиперболические многоугольники), и рассмотрим пространство получается склейкой парных граней (формально получается как фактор-пространство ). Он несет гиперболическую метрику, которая четко определена вне образа 1-скелетов многогранников. Эта метрика продолжается до гиперболической метрики на всем пространстве, если выполняются два следующих условия: ^[5]

• для каждой (неидеальной) вершины склейки сумма телесных углов многогранников, которым она принадлежит, равна ;${\ displaystyle 4 \ pi}$
• для каждого ребра в склейке сумма двугранных углов многогранников, которым оно принадлежит, равна .${\ displaystyle 2 \ pi}$

Ярким примером этой конструкции является пространство Зейферта – Вебера, которое получается склейкой противоположных граней правильного додекаэдра .

Разновидностью этой конструкции является использование гиперболических многогранников Кокстера (многогранников, двугранные углы которых имеют форму ). Такой многогранник порождает клейнову группу отражений , которая является дискретной подгруппой изометрий гиперболического пространства. Взяв подгруппу конечного индекса без кручения, мы получаем гиперболическое многообразие (которое можно восстановить с помощью предыдущей конструкции, склеивая копии исходного многогранника Кокстера способом, предписанным подходящим графом смежных классов Шрайера ).${\ displaystyle \ pi / m, m \ in \ mathbb {N}}$

Склейка идеальных тетраэдров и гиперболическая хирургия Дена [ править ]

В предыдущей конструкции полученные многообразия всегда компактны. Чтобы получить многообразия с каспами, нужно использовать многогранники с идеальными вершинами (то есть вершинами, лежащими на бесконечно удаленной сфере). В этом случае конструкция склейки не всегда дает полное многообразие. Полнота определяется системой уравнений, включающей двугранные углы вокруг ребер, примыкающих к идеальной вершине, которые обычно называют уравнениями склейки Терстона. В случае завершения склейки идеальные вершины становятся каспами на многообразии. Примером некомпактного гиперболического многообразия конечного объема, полученного таким образом, является многообразие Гизекинга, которое строится путем склеивания граней правильного идеального гиперболического тетраэдра вместе.

Также возможно построить полное гиперболическое многообразие конечного объема, когда склейка не завершена. В этом случае пополнение полученного метрического пространства представляет собой многообразие с торической границей, и при некоторых (не общих) условиях можно приклеить гиперболический полноторий к каждой граничной компоненте так, чтобы получившееся пространство имело полную гиперболическую метрику. Топологически многообразие получается гиперболической перестройкой Дена на полном гиперболическом многообразии, которая была бы результатом полной склейки.

Неизвестно, все ли гиперболические трехмерные многообразия конечного объема могут быть построены таким образом. ^[6] На практике, однако, именно так вычислительные программы (такие как SnapPea или Regina ) хранят гиперболические многообразия. ^[7]

Арифметические конструкции [ править ]

Построение арифметических клейновых групп из алгебр кватернионов порождает особенно интересные гиперболические многообразия. С другой стороны, они в некотором смысле «редки» среди гиперболических трехмерных многообразий (например, гиперболическая перестройка Дена на фиксированном многообразии приводит к неарифметическому многообразию почти для всех параметров).

Теорема гиперболизации [ править ]

В отличие от явных построений, приведенных выше, можно вывести существование полной гиперболической структуры на трехмерном многообразии исключительно из топологической информации. Это следствие гипотезы геометризации и может быть сформулировано следующим образом (утверждение, которое иногда называют «теоремой гиперболизации», которая была доказана Терстоном в частном случае многообразий Хакена):

Если компактное трехмерное многообразие с торическим краем неприводимо и алгебраически атороидально (что означает, что каждый -инъективно погруженный тор гомотопен граничной компоненте), то его внутренность несет полную гиперболическую метрику конечного объема.${\ displaystyle \ pi _ {1}}$

Частным случаем является поверхностное расслоение над окружностью : такие многообразия всегда неприводимы и несут полную гиперболическую метрику тогда и только тогда, когда монодромия является псевдоаносовским отображением .

Другое следствие гипотезы геометризации состоит в том, что любое замкнутое трехмерное многообразие, допускающее риманову метрику с отрицательной секционной кривизной, на самом деле допускает риманову метрику с постоянной секционной кривизной -1. Это не так в высших измерениях. ^[8]

Виртуальные свойства [ править ]

Топологические свойства трехмерных многообразий достаточно сложны, поэтому во многих случаях интересно знать, что свойство выполняется виртуально для класса многообразий, то есть для любого многообразия в классе существует конечное накрывающее пространство многообразия со свойством . Виртуальные свойства трехмерных гиперболических многообразий являются объектами ряда гипотез Вальдхаузена и Терстона, которые недавно были доказаны Яном Аголом после работ Джереми Кана, Влада Марковича, Фредерика Хаглунда, Дэни Вайз и других. Первая часть предположений была логически связана с гипотезой Хакена . В порядке силы они следующие: ^[9]

1. ( гипотеза о подгруппах поверхностей ) Фундаментальная группа любого гиперболического многообразия конечного объема содержит (несвободную) группу поверхностей (фундаментальную группу замкнутой поверхности ).
2. ( гипотеза виртуального Хакена ) Любое гиперболическое 3-многообразие конечного объема виртуально Хакену; то есть он содержит вложенную замкнутую поверхность, такую ​​что вложение индуцирует инъективное отображение между фундаментальными группами.
3. Любое гиперболическое 3-многообразие конечного объема имеет конечное покрытие с ненулевым первым числом Бетти .
4. Любое гиперболическое 3-многообразие конечного объема имеет конечное покрытие, фундаментальная группа которого сюрпризируется на неабелеву свободную группу (такие группы обычно называют большими ).

Другая гипотеза (также доказанная Аголом), которая подразумевает 1-3 выше, но априори не имеет отношения к 4, заключается в следующем:

5. ( виртуально расслоенная гипотеза ) Любое гиперболическое 3-многообразие конечного объема имеет конечное покрытие, которое является поверхностным расслоением над окружностью.

Пространство всех трехмерных гиперболических многообразий [ править ]

Геометрическая конвергенция [ править ]

Последовательность клейновых групп называется геометрически сходящейся, если она сходится в топологии Шабо . Для многообразий, полученных как факторные, это означает, что они сходятся в точечной метрике Громова-Хаусдорфа .

Теория Йоргенсена-Терстона [ править ]

Гиперболический объем можно использовать для упорядочивания пространства всего гиперболического многообразия. Множество многообразий, соответствующих данному объему, не более чем конечно, а множество объемов хорошо упорядочено и имеет порядковый тип . Более точно, из гиперболической теоремы Дена о перестройке Терстона следует, что многообразие с каспами является пределом последовательности многообразий с каспами для любого , так что изолированные точки являются объемами компактных многообразий, а многообразия с ровно одним каспом являются пределами компактных многообразий, и так далее. Вместе с результатами Йоргенсена теорема также доказывает, что любая сходящаяся последовательность должна быть получена с помощью перестроек Дена на предельном многообразии. ^[10]${\ displaystyle \ omega ^ {\ omega}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle l}$${\ Displaystyle 0 \ Leq L <м}$

Квази-фуксовы группы [ править ]

Последовательности квазифуксовых поверхностных групп данного рода могут сходиться к дважды вырожденной поверхностной группе, как в двойной предельной теореме .

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Ашенбреннер, Матиас; Фридл, Стефан; Уилтон, Генри (2015). Группы 3-многообразий . Серия лекций по математике EMS. Европейская математика. Soc.
• Каллахан, Патрик Дж .; Хильдебранд, Мартин V .; Недели, Джеффри Р. (1999). «Перепись трехмерных гиперболических многообразий с каспами» . Математика. Комп . 68 (225): 321–332. DOI : 10.1090 / s0025-5718-99-01036-4 . MR  1620219 .
• Громов, Михаил (1981). «Гиперболические многообразия по Терстону и Йоргенсену» . Семинайр Н. Бурбаки, 1979-1980 гг . Конспект лекций по математике. 842 . Springer. С. 40–53. Руководство по ремонту  0636516 . Архивировано из оригинала на 2016-01-10.
• Громов Михаил; Терстон, Уильям (1987). «Константы защемления для гиперболических многообразий». Inventiones Mathematicae . 89 : 1–12. Bibcode : 1987InMat..89 .... 1G . DOI : 10.1007 / bf01404671 . S2CID  119850633 .
• Махер, Джозеф (2010). «Случайные расколы Хегора». J. Topol . 3 (4): 997–1025. arXiv : 0809.4881 . DOI : 10,1112 / jtopol / jtq031 . S2CID  14179122 .
• Нойман, Уолтер; Загир, Дон (1985). «Объемы трехмерных гиперболических многообразий». Топология . 24 (3): 307–332. DOI : 10.1016 / 0040-9383 (85) 90004-7 .
• Петронио, Карло; Порти, Джоан (2000). "Отрицательно ориентированные идеальные триангуляции и доказательство гиперболической теоремы Дена о заполнении Терстона". Экспо. Математика . 18 : 1–35. arXiv : math / 9901045 . Bibcode : 1999math ...... 1045P .
• Рэтклифф, Джон Г. (2006) [1994]. Основания гиперболических многообразий . Тексты для выпускников по математике. 149 (2-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . DOI : 10.1007 / 978-0-387-47322-2 . ISBN 978-0-387-33197-3. Руководство по ремонту  2249478 .
• Терстон, Уильям (1980). Геометрия и топология трехмерных многообразий . Конспект лекций в Принстоне - через ИИГС [1] .
• Терстон, Уильям (1982). «Трехмерные многообразия, клейновы группы и гиперболическая геометрия» . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 6 (3): 357–381. DOI : 10.1090 / S0273-0979-1982-15003-0 . ISSN  0002-9904 . Руководство по ремонту  0648524 .
• Терстон, Уильям (1997). Трехмерная геометрия и топология . Издательство Принстонского университета.