Гиперболическое многообразие

В математике , гиперболическое многообразие является пространством , где каждая точка выглядит локально как гиперболическое пространство некоторой размерности. Они особенно изучаются в размерностях 2 и 3, где они называются гиперболическими поверхностями и трехмерными гиперболическими многообразиями соответственно. В этих измерениях они важны, потому что большинство многообразий можно превратить в гиперболическое многообразие с помощью гомеоморфизма . Это следствие теоремы об униформизации для поверхностей и теоремы о геометризации для трехмерных многообразий, доказанных Перельманом .

Перспективная проекция додекаэдрической мозаики в H ³ . Это пример того, что наблюдатель может увидеть внутри трехмерного гиперболического многообразия.

Псевдосфера . Каждая половина этой формы представляет собой гиперболическое двумерное многообразие (т.е. поверхность) с краем.

Строгое определение [ править ]

Гиперболической -многообразием${\ displaystyle n}$ является полным риманова -многообразием${\ displaystyle n}$ постоянной кривизны сечения .${\ displaystyle -1}$

Каждое полное связной односвязное многообразие постоянной отрицательной кривизны является изометрическим к реальному гиперболического пространства . В результате универсальное покрытие любого замкнутого многообразия постоянной отрицательной кривизны равно . Таким образом, каждое такое может быть записано в виде где - дискретная группа изометрий без кручения на . То есть является дискретной подгруппой . Многообразие имеет конечный объем тогда и только тогда, когда является решеткой .${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n} / \ Gamma}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle SO_ {1, n} ^ {+} \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ Gamma}$

Его толсто-тонкое разложение имеет тонкую часть, состоящую из трубчатых окрестностей замкнутых геодезических и концов, которые являются произведением евклидова ( ) -многообразия и замкнутого полулуча. Многообразие имеет конечный объем тогда и только тогда, когда его толстая часть компактна.${\ displaystyle n-1}$

Примеры [ править ]

Простейшим примером гиперболического многообразия является гиперболическое пространство , поскольку каждая точка в гиперболическом пространстве имеет окрестность, изометричную гиперболическому пространству.

Однако простой нетривиальный пример - тор с проколом. Это пример (Isom ( ), ) -многообразия${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {2}}$ . Его можно сформировать, взяв идеальный прямоугольник - то есть прямоугольник, вершины которого находятся на границе на бесконечности и, следовательно, не существуют в результирующем многообразии - и идентифицировав противоположные изображения.${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {2}}$

Аналогичным образом мы можем построить сферу с тремя проколами, показанную ниже, склеив два идеальных треугольника вместе. Это также показывает, как рисовать кривые на поверхности - черная линия на диаграмме становится замкнутой кривой, когда зеленые края склеиваются. Поскольку мы работаем с проколотой сферой, цветные круги на поверхности, включая их границы, не являются частью поверхности и, следовательно, представлены на диаграмме как идеальные вершины .

(Слева) Диаграмма склейки для сферы с тремя проколами. Края одинакового цвета склеиваются. Обратите внимание, что точки пересечения линий (включая бесконечно удаленную точку) лежат на границе гиперболического пространства и поэтому не являются частью поверхности. (Справа) Поверхность склеена.

Многие узлы и зацепления , в том числе некоторые из более простых узлов, такие как узел в форме восьмерки и кольца Борромео , являются гиперболическими, поэтому дополнение к узлу или зацеплению в является трехмерным гиперболическим многообразием конечного объема.${\ Displaystyle S ^ {3}}$

Важные результаты [ править ]

Ведь гиперболическая структура на гиперболическом -многообразии конечного объема уникальна в силу жесткости Мостова, и поэтому геометрические инварианты фактически являются топологическими инвариантами. Одним из этих геометрических инвариантов, используемых в качестве топологического инварианта, является гиперболический объем узла или дополнения зацепления, который может позволить нам отличать два узла друг от друга, изучая геометрию их соответствующих многообразий.${\ displaystyle n> 2}$${\ displaystyle n}$

Мы также можем спросить, какова площадь границы узлового дополнения. Поскольку существует взаимосвязь между объемом узла и объемом при заполнении Дена , ^[1] мы можем использовать площадь границы, чтобы сообщить нам, как объем может измениться при таком заполнении.

См. Также [ править ]

• Гиперболическое 3-многообразие
• Лемма Маргулиса
• Гиперболическое пространство
• Теорема гиперболизации
• Нормально гиперболическое инвариантное многообразие

Ссылки [ править ]

• Капович, Майкл (2009) [2001], Гиперболические многообразия и дискретные группы , Современная классика Биркхойзера, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, DOI : 10.1007 / 978-0-8176-4913-5 , ISBN 978-0-8176-4912-8, Руководство по ремонту  1792613
• Маклахлан, Колин; Рид, Алан В. (2003), Арифметика гиперболических трехмерных многообразий , Тексты для выпускников по математике , 219 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98386-8, MR  1937957
• Рэтклифф, Джон Г. (2006) [1994], Основы гиперболических многообразий , Тексты для выпускников по математике, 149 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-0-387-47322- 2 , ISBN 978-0-387-33197-3, MR  2249478
• Гиперболические диаграммы Вороного стали проще, Фрэнк Нильсен