( G , X ) -многообразие

В геометрии , если X - многообразие с действием топологической группы G с помощью аналитических диффеоморфизмов, понятие ( G , X ) -структуры на топологическом пространстве - это способ формализовать его, будучи локально изоморфным X с его G - инвариантная структура; пространства с ( G , X ) -структурами всегда являются многообразиями и называются ( G , X ) -многообразиями . Это понятие часто используется, когда G - группа Ли иX однородное пространство для G . Основополагающие примеры - гиперболические многообразия и аффинные многообразия .

Определение и примеры [ править ]

Формальное определение [ править ]

Пусть быть соединены дифференциальным многообразием и является подгруппой группы диффеоморфизмов из , которые действуют аналитически в следующем смысле:${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle X}$

если и существует непустое открытое подмножество такое, что при ограничении они равны, то${\ displaystyle g_ {1}, g_ {2} \ in G}$${\ Displaystyle U \ подмножество X}$${\ displaystyle g_ {1}, g_ {2}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle g_ {1} = g_ {2}}$

(это определение вдохновлено свойством аналитического продолжения аналитических диффеоморфизмов на аналитическом многообразии ).

A -структура на топологическом пространстве - это структура многообразия , карты атласа которой имеют значения в и карты переходов принадлежат . Это означает, что существует:${\ Displaystyle (G, X)}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle G}$

• покрытие открытыми множествами (т.е. );${\ displaystyle M}$${\ displaystyle U_ {i}, я \ in I}$${\ Displaystyle M = \ bigcup _ {я \ in I} U_ {я}}$
• открытые вложения, называемые диаграммами;${\ displaystyle \ varphi _ {i}: U_ {i} \ to X}$

такое, что каждое отображение перехода является ограничением диффеоморфизма в .${\ displaystyle \ varphi _ {i} \ circ \ varphi _ {j} ^ {- 1}: \ varphi _ {j} (U_ {i} \ cap U_ {j}) \ to \ varphi _ {i} ( U_ {i} \ cap U_ {j})}$${\ displaystyle G}$

Две такие структуры эквивалентны, когда они содержатся в максимальной, эквивалентно, когда их объединение также является структурой (т. Е. Отображения и являются ограничениями диффеоморфизмов в ).${\ displaystyle (U_ {i}, \ varphi _ {i}), (V_ {j}, \ psi _ {j})}$${\ Displaystyle (G, X)}$${\ Displaystyle \ varphi _ {я} \ circ \ psi _ {j} ^ {- 1}}$${\ displaystyle \ psi _ {j} \ circ \ varphi _ {i} ^ {- 1}}$${\ displaystyle G}$

Римановы примеры [ править ]

Если это группа Ли и риманова многообразия с верным действием в по изометрии , то действие является аналитическим. Обычно принимают за полную группу изометрии . Тогда категория многообразий эквивалентна категории римановых многообразий, которые локально изометричны (т.е. каждая точка имеет окрестность, изометричную открытому подмножеству ).${\ displaystyle G}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle (G, X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Часто примеры являются гомогенным под , например , можно взять с левой инвариантной метрикой. Особенно простой пример , и группа евклидовых изометрии . Тогда многообразие - это просто плоское многообразие .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle X = G}$${\ Displaystyle X = \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle (G, X)}$

Особенно интересным примером является риманово симметричное пространство , например гиперболическое пространство . Простейшим таким примером является гиперболическая плоскость , группа изометрий которой изоморфна .${\ displaystyle X}$${\displaystyle G=\mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Псевдоримановы примеры [ править ]

Когда это пространство Минковского и группа Лоренца понятие -структуры такого же , как и у плоского лоренцевского многообразия .${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (G,X)}$

Другие примеры [ править ]

Когда - аффинное пространство и группа аффинных преобразований, то получается понятие аффинного многообразия .${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$

Когда - n-мерное реальное проективное пространство и возникает понятие проективной структуры. ^[1]${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle G=\mathrm {PGL} _{n+1}(\mathbb {R} )}$

Разработка карты и полнота [ править ]

Разработка карты [ править ]

Пусть - -многообразие связное (как топологическое пространство). Развивающаяся карта - это карта от универсальной обложки до которой четко определена только композиция по элементу .${\displaystyle M}$${\displaystyle (G,X)}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$

Развивающаяся карта определяется следующим образом: ^[2] зафиксируйте и пусть это будет любая другая точка, путь от до и (где достаточно малая окрестность ) карта, полученная путем составления карты с проекцией . Мы можем использовать аналитическое продолжение, чтобы расширить его область действия . Так как это просто связано значение , таким образом , полученное не зависит от первоначального выбора , и мы называем (хорошо определена) карта с развивающейся карты для${\displaystyle p\in {\tilde {M}}}$${\displaystyle q\in {\tilde {M}}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \varphi :U\to X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle p}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\tilde {M}}\to M}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\tilde {M}}}$${\displaystyle \varphi (q)}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \varphi :{\tilde {M}}\to X}$${\displaystyle (G,X)}$-состав. Это зависит от выбора базовой точки и карты, но только до композиции по элементу .${\displaystyle G}$

Монодромия [ править ]

Учитывая развивающуюся карту , то монодромию или голономию ^[3] в виде -структуры является единственным морфизмом , который удовлетворяет${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle (G,X)}$${\displaystyle h:\pi _{1}(M)\to G}$

${\displaystyle \forall \gamma \in \pi _{1}(M),p\in {\tilde {M}}:\varphi (\gamma \cdot p)=h(\gamma )\cdot \varphi (p)}$.

Это зависит от выбора развивающейся карты , но только до внутреннего автоморфизма в .${\displaystyle G}$

Полные ( G , X ) -структуры [ править ]

Структура называется полным , если она имеет развивающуюся карту , которая также является накрытие (это не зависит от выбора разработки карты , так как они отличаются диффеоморфизмом). Например, если односвязно, структура является полной тогда и только тогда, когда развивающееся отображение является диффеоморфизмом.${\displaystyle (G,X)}$${\displaystyle X}$

Примеры [ править ]

Римановы ( G , X ) -структуры [ править ]

Если - риманово многообразие и его полная группа изометрий, то -структура является полной тогда и только тогда, когда лежащее в основе риманово многообразие геодезически полно (эквивалентно метрически полно). В частности, в этом случае, если пространство, лежащее в основе a -многообразия, компактно, последнее автоматически является полным.${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (G,X)}$${\displaystyle (G,X)}$

В случае, когда является гиперболической плоскостью, развивающееся отображение - это то же самое отображение, которое дается теоремой униформизации .${\displaystyle X}$

Другие случаи [ править ]

В общем случае компактность пространства не означает полноты a -структуры. Например, аффинная структура на торе является полной тогда и только тогда, когда отображение монодромии имеет свой образ внутри переносов . Но есть много аффинных торов, которые не удовлетворяют этому условию, например, любой четырехугольник, противоположные стороны которого склеены аффинным отображением, дает аффинную структуру на торе, которая является полной тогда и только тогда, когда четырехугольник является параллелограммом.${\displaystyle (G,X)}$

Интересные примеры полных некомпактных аффинных многообразий дают пространства-времени Маргулиса.

( G , X ) -структуры как соединения [ править ]

В работе Чарльза Эресмана -структуры на многообразии рассматриваются как плоские связности Эресмана на расслоениях со слоем над , отображения монодромии которых лежат в .${\displaystyle (G,X)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Терстон, Уильям (1997). Трехмерная геометрия и топология. Vol. 1 . Издательство Принстонского университета.