В математике , изометрия (или конгруэнтность , или конгруэнтно преобразование ) представляет собой расстояние -preserving преобразование между метрическими пространствами , как правило , предполагается, что биективно . [1]
Вступление
Учитывая метрическое пространство (грубо говоря, набор и схему для присвоения расстояний между элементами набора), изометрия - это преобразование, которое отображает элементы в то же или другое метрическое пространство таким образом, что расстояние между элементами изображения в новом метрическом пространстве равно расстоянию между элементами в исходном метрическом пространстве. В двумерном или трехмерном евклидовом пространстве две геометрические фигуры конгруэнтны, если они связаны изометрией; [3] изометрия, которая их связывает, представляет собой либо жесткое движение (поступательное движение или вращение), либо композицию жесткого движения и отражения .
Изометрии часто используются в конструкциях, где одно пространство вложено в другое пространство. Например, пополнение метрического пространства М включает изометрию из М в М» , а фактор - множество в пространстве последовательностей Коши на М . Таким образом, исходное пространство M изометрически изоморфно подпространству полного метрического пространства и обычно отождествляется с этим подпространством. Другие конструкции вложения показывают, что каждое метрическое пространство изометрически изоморфно замкнутому подмножеству некоторого нормированного векторного пространства и что каждое полное метрическое пространство изометрически изоморфно замкнутому подмножеству некоторого банахова пространства .
Изометрический сюръективный линейный оператор в гильбертовом пространстве называется унитарным оператором .
Определение изометрии
Пусть Х и Y быть метрические пространства с метриками д Х и д Y . Отображение F : X → Y называется изометрией или расстояние сохранение , если для любого а , б ∈ X из них имеет
Изометрия автоматически вводится ; [1] в противном случае две различные точки, a и b , могли бы быть отображены в одну и ту же точку, что противоречит аксиоме совпадения метрики d . Это доказательство аналогично доказательству инъективности упорядоченного вложения между частично упорядоченными множествами . Ясно, что любая изометрия между метрическими пространствами является топологическим вложением.
Глобальная изометрия , изометрический изоморфизм или отображение конгруэнтности является взаимно однозначной изометрией. Как и любая другая биекция, глобальная изометрия имеет обратную функцию . Обратное к глобальной изометрии также является глобальной изометрией.
Два метрических пространств X и Y называются изометрическими , если существует взаимно однозначная изометрия из X в Y . Множество биективных изометрии метрического пространства к себе образует группу относительно композиции функций , называется изометрия группы .
Существует также более слабое понятие изометрии пути или изометрии по дуге :
Путь изометрия или дугообразно изометрия представляет собой карту , которая сохраняет длины кривых ; такое отображение не обязательно является изометрией в смысле сохранения расстояния, и оно не обязательно должно быть биективным или даже инъективным. Этот термин часто сокращают до просто изометрии , поэтому следует позаботиться о том, чтобы определить из контекста, какой тип предназначен.
- Примеры
- Любое отражение , перенос и вращение - это глобальная изометрия на евклидовых пространствах . См. Также Евклидова группа и Евклидово пространство § Изометрии .
- Карта в является изометрией пути, но не изометрией. Обратите внимание, что в отличие от изометрии, это не инъективно.
Изометрии между нормированными пространствами
Следующая теорема принадлежит Мазуру и Уламу.
- Определение : [5] средняя точка из двух элементов х и у в векторном пространстве вектор 1/2( х + у ) .
Теорема [5] [6] - Пусть : X → Y сюръективная изометрия между нормированными пространствами , который отображает 0 до 0 ( Стефан Баны называют такие картами вращение ) , где к сведению , что это не предполагаются, являются линейной изометрией. Затем A отображает средние точки в средние точки и является линейным, как отображение действительных чисел ℝ . Если X и Y - комплексные векторные пространства, то A может не быть линейным как отображение над ℂ .
Линейная изометрия
Учитывая два нормированных векторных пространства а также , линейная изометрия - это линейное отображение сохраняющий нормы:
для всех . [7] Линейные изометрии сохраняют расстояние в указанном выше смысле. Они являются глобальными изометриями тогда и только тогда, когда они сюръективны .
Во внутреннем пространстве продукта приведенное выше определение сводится к
для всех , что равносильно утверждению, что . Это также означает, что изометрии сохраняют внутренние продукты, поскольку
Однако линейные изометрии не всегда являются унитарными операторами , поскольку для них дополнительно требуется, чтобы а также .
По теореме Мазура-Улама , любая изометрия нормированных векторных пространств над R является аффинным .
- Примеры
- Изометрические линейные отображения из C n в себя задаются унитарными матрицами . [8] [9] [10] [11]
Коллекторы
Изометрия многообразия - это любое (гладкое) отображение этого многообразия в себя или в другое многообразие, сохраняющее понятие расстояния между точками. Определение изометрии требует понятия метрики на многообразии; многообразие с (положительно определенной) метрикой является римановым многообразием , а многообразие с индефинитной метрикой - псевдоримановым многообразием . Таким образом, изометрии изучаются в римановой геометрии .
Локальная изометрия из одного ( псевдо -) риманово многообразие к другому представляет собой карту , которая отодвигается в метрическом тензоре на втором многообразии к метрическому тензору на первом. Когда такое отображение также является диффеоморфизмом , такое отображение называется изометрией (или изометрическим изоморфизмом ) и дает понятие изоморфизма («одинаковости») в категории Rm римановых многообразий.
Определение
Позволять а также - два (псевдо) риманова многообразия, и пусть - диффеоморфизм. потомназывается изометрией (или изометрическим изоморфизмом ), если
где обозначает возврат метрического тензора ранга (0, 2) от . Точно так же с точки зрения продвижения вперед , у нас есть это для любых двух векторных полей на (т.е. участки касательного пучка ),
Если является локальным диффеоморфизмом такой, что, тогда называется локальной изометрией .
Характеристики
Набор изометрий обычно образует группу, группу изометрий . Когда группа является непрерывной группой , инфинитезимальные генераторы группы являются векторными полями Киллинга .
Теорема Майерса – Стинрода утверждает, что любая изометрия между двумя связными римановыми многообразиями является гладкой (дифференцируемой). Вторая форма этой теоремы утверждает, что группа изометрий риманова многообразия является группой Ли .
Римановы многообразия , изометрии которых определены в каждой точке, называются симметрическими пространствами .
Обобщения
- Для положительного действительного числа ε ε-изометрия или почти изометрия (также называемая приближением Хаусдорфа ) - это отображение между метрическими пространствами такими, что
- для x , x ′ ∈ X | d Y (ƒ ( x ), ƒ ( x ′)) - d X ( x , x ′) | <ε, и
- для любой точки у ∈ Y существует точка х ∈ Х с д У ( у , ƒ ( х )) <е
- То есть ε-изометрия сохраняет расстояния с точностью до ε и не оставляет никаких элементов содомена дальше, чем ε от изображения элемента области. Обратите внимание, что ε-изометрии не считаются непрерывными .
- Свойство ограниченной изометрии характеризует почти изометрические матрицы для разреженных векторов.
- Квазиизометрия - еще одно полезное обобщение.
- Можно также определить элемент абстрактной унитальной C * -алгебры как изометрию:
- является изометрией тогда и только тогда, когда .
- Обратите внимание, что, как упоминалось во введении, это не обязательно унитарный элемент, потому что, как правило, левый обратный не является правым обратным.
- В псевдоевклидовом пространстве термин изометрия означает линейную биекцию, сохраняющую величину. См. Также Квадратичные пространства .
Смотрите также
- Теорема Бекмана – Куорлза
- Второе двойственное банахово пространство как изометрический изоморфизм
- Изометрия евклидовой плоскости
- Плоский (геометрия)
- Группа гомеоморфизмов
- Инволюция
- Группа изометрии
- Движение (геометрия)
- Теорема Майерса – Стинрода.
- 3D-изометрии, оставляющие фиксированное начало координат
- Частичная изометрия
- Полуопределенное вложение
- Космическая группа
- Симметрия в математике
Рекомендации
- ^ а б Кокстер 1969 , стр. 29
"Мы сочтем удобным использовать слово преобразование в особом смысле взаимно однозначного соответствия.среди всех точек на плоскости (или в пространстве), то есть правило для связывания пар точек, с пониманием того, что каждая пара имеет первый член P и второй член P ' и что каждая точка возникает как первый член только одна пара, а также как второй член только одной пары ...
В частности, изометрия (или «конгруэнтное преобразование» или «конгруэнтность») - это преобразование, которое сохраняет длину ... »
- Перейти ↑ Coxeter 1969 , p. 46
3.51. Любая прямая изометрия - это либо перенос, либо вращение. Любая противоположная изометрия является либо отражением, либо скользящим отражением.
- Перейти ↑ Coxeter 1969 , p. 39
3.11. Любые два конгруэнтных треугольника связаны единственной изометрией.
- ^ Бекман, ФС; Куорлз, Д.А., младший (1953). «Об изометриях евклидовых пространств» (PDF) . Труды Американского математического общества . 4 (5): 810–815. DOI : 10.2307 / 2032415 . JSTOR 2032415 . Руководство по ремонту 0058193 .
Пусть T - преобразование (возможно, многозначное) () в себя.
Позволятьбыть расстояние между точками р и д из, и пусть Tp , Tq - любые образы точек p и q соответственно.
Если существует длина a > 0 такая, что в любое время , то T - евклидово преобразование на себя. - ^ a b Narici & Beckenstein 2011 , стр. 275-339.
- ^ Wilansky 2013 , стр. 21-26.
- ^ Томсен, Джеспер Фанч (2017). Lineær algebra [ Линейная алгебра ] (на датском языке). Орхус: математический факультет Орхусского университета. п. 125.
- ^ Roweis, ST; Саул, LK (2000). «Снижение нелинейной размерности локально линейным вложением». Наука . 290 (5500): 2323–2326. CiteSeerX 10.1.1.111.3313 . DOI : 10.1126 / science.290.5500.2323 . PMID 11125150 .
- ^ Саул, Лоуренс К .; Роуис, Сэм Т. (2003). «Мыслите глобально, подходите локально: обучение нелинейным многообразиям без учителя». Журнал исследований в области машинного обучения . 4 (июнь): 119–155.
Квадратичная оптимизация (стр. 135) так, что
- ^ Чжан, Чжэньюэ; Чжа, Хунюань (2004). «Основные многообразия и уменьшение нелинейной размерности с помощью локального выравнивания касательного пространства». Журнал СИАМ по научным вычислениям . 26 (1): 313–338. CiteSeerX 10.1.1.211.9957 . DOI : 10.1137 / s1064827502419154 .
- ^ Чжан, Чжэньюэ; Ван, Цзин (2006). «MLLE: модифицированное локально линейное вложение с использованием нескольких весов» . Достижения в системах обработки нейронной информации . 19 .
Он может найти идеальное вложение, если MLLE применяется к точкам данных, отобранным из изометрического коллектора.
Библиография
- Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
- Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
- Виланский, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .
Библиография
- Кокстер, HSM (1969). Введение в геометрию, второе издание . Вайли . ISBN 9780471504580.
- Ли, Джеффри М. (2009). Многообразия и дифференциальная геометрия . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4815-9.