В математике , с обратной функции (или анти-функции ) [1] является функцией , которая «переворачивает» другая функция: если функция F подается на вход х дает результат у , то , применяя свою обратную функцию г к у дает результат x , т. е. g ( y ) = x тогда и только тогда, когда f ( x ) = y . [2] [3] Обратная функция f также обозначается как. [4] [5] [6]
В качестве примера рассмотрим действительную функцию действительной переменной, заданную формулой f ( x ) = 5 x - 7 . Думая об этом как о пошаговой процедуре (а именно, возьмите число x , умножьте его на 5, а затем вычтите 7 из результата), чтобы отменить это и получить x обратно из некоторого выходного значения, скажем y , мы бы отменили каждый шаг в обратном порядке. В данном случае это означает прибавить 7 к y , а затем разделить результат на 5. В функциональной записи эта обратная функция будет иметь вид,
При y = 5 x - 7 получаем, что f ( x ) = y и g ( y ) = x .
Не все функции имеют обратные функции. [nb 1] Те, что делают, называются обратимыми . Чтобы функция f : X → Y имела обратную, она должна обладать тем свойством, что для каждого y в Y существует ровно один x в X такой, что f ( x ) = y . Это свойство гарантирует, что функция g : Y → X существует с необходимой связью с f .
Определения
Пусть F является функцией которого домен является множество X , и чей кообласть является множество Y . Тогда F является обратимым , если существует функция г с областью Y и областью значений X , со свойством:
Если F обратим, то функция г является уникальным , [7] , который означает , что существует в точности одна функции г , удовлетворяющий это свойство. Более того, также следует, что диапазоны значений g и f равны их соответствующим доменам. Функция г называется обратным F , и, как правило , обозначают как F -1 , [4] нотация введена Джон Фредерик Вильям Гершель в 1813 году [8] [9] [10] [11] [12] [NB 2]
Иначе говоря, функция, рассматриваемая как бинарное отношение , имеет обратное тогда и только тогда, когда обратное отношение является функцией в области Y , и в этом случае обратное отношение является обратной функцией. [13]
Не все функции имеют инверсию. Чтобы функция имела обратную, каждый элемент y ∈ Y должен соответствовать не более чем одному x ∈ X ; функция f с этим свойством называется взаимно однозначной или инъекцией . Если F -1 , чтобы быть функцией от Y , то каждый элемент у ∈ Y должен соответствовать некоторым х ∈ Х . Функции с этим свойством называются сюръекциями . Это свойство выполняется по определению, если Y является изображением f , но может не выполняться в более общем контексте. Чтобы быть обратимой, функция должна быть как инъекцией, так и сюръекцией. Такие функции называются биекциями . Обратным инжекционного F : X → Y , который не является взаимно однозначное соответствие (то есть, не сюръекция), это лишь частичная функция на Y , что означает , что для некоторого у ∈ Y , F -1 ( у ) не определено. Если функция f обратима, то и она, и обратная к ней функция f −1 являются биекциями.
Другое соглашение используется в определении функций, называемое "теоретико-множественным" или "графическим" определением с использованием упорядоченных пар , что делает кодобласть и образ функции одинаковыми. [14] Согласно этому соглашению, все функции сюръективны, [nb 3] поэтому биективность и инъективность одинаковы. Авторы, использующие это соглашение, могут использовать формулировку, что функция обратима тогда и только тогда, когда это инъекция. [15] Эти два соглашения не должны вызывать путаницу, если помнить, что в этом альтернативном соглашении кодомен функции всегда считается изображением функции.
Пример: функции возведения в квадрат и квадратного корня
Функция f : R → [0, ∞), заданная формулой f ( x ) = x 2 , не является инъективной, поскольку каждый возможный результат y (кроме 0) соответствует двум различным начальным точкам в X - одной положительной и одной отрицательной, и поэтому эта функция необратима. С помощью этого типа функции невозможно вывести (уникальный) ввод из его вывода. Такая функция называется неинъективной или, в некоторых приложениях, с потерей информации. [ необходима цитата ]
Если область определения функции ограничена неотрицательными действительными числами, то есть функция переопределяется как f : [0, ∞) → [0, ∞) с тем же правилом, что и раньше, то функция является биективной и, следовательно, обратимый. [16] Обратная функция здесь называется функцией (положительного) квадратного корня .
Инверсии и композиция
Если f - обратимая функция с областью определения X и областью области Y , то
- , для каждого ; а также , для каждого . [6]
Используя композицию функций , мы можем переписать этот оператор следующим образом:
- а также
где id X - функция идентичности на множестве X ; то есть функция, которая не изменяет свой аргумент. В теории категорий это утверждение используется как определение обратного морфизма .
Рассмотрение композиции функций помогает понять обозначение f −1 . Повторное составление функции с самой собой называется итерацией . Если f применяется n раз, начиная со значения x , то это записывается как f n ( x ) ; поэтому f 2 ( x ) = f ( f ( x )) и т. д. Поскольку f −1 ( f ( x )) = x , составление f −1 и f n дает f n −1 , «отменяя» эффект одного применение ф .
Обозначение
В то время как обозначение F -1 ( х ) может быть неправильно, [6] ( е ( х )) -1 конечно же обозначает мультипликативный обратный из ф ( х ) и не имеет ничего общего с обратной функции F . [12]
В соответствии с общими обозначениями, некоторые английские авторы используют такие выражения, как sin −1 ( x ), для обозначения обратной функции синуса, применяемой к x (на самом деле, частичной обратной функции ; см. Ниже). [17] [12] Другие авторы считают, что это можно спутать с обозначением мультипликативной обратной функции sin ( x ) , которую можно обозначить как (sin ( x )) −1 . [12] Чтобы избежать путаницы, обратная тригонометрическая функция часто обозначается префиксом « дуга » (от латинского arcus ). [18] [19] Например, функция, обратная синусу, обычно называется функцией арксинуса и записывается как arcsin ( x ) . [4] [18] [19] Аналогично, обратная гиперболическая функция обозначается префиксом « ar » (латинское ārea ). [19] Например, функция , обратная гиперболическому синусу, обычно записывается как arsinh ( x ) . [19] Другие обратные специальные функции иногда имеют префикс «inv», если следует избегать двусмысленности нотации f -1 . [1] [19]
Характеристики
Поскольку функция - это особый тип бинарного отношения , многие свойства обратной функции соответствуют свойствам обратных отношений .
Уникальность
Если обратная функция существует для данной функции f , то она уникальна. [20] Это следует из того, что обратная функция должна быть обратным соотношением, которое полностью определяется функцией f .
Симметрия
Между функцией и обратной ей существует симметрия. В частности, если F является обратимой функцией с областью X и областью значений Y , то его обратная F -1 есть домен Y и изображение X , а обратная F -1 является исходной функцией F . В символах для функций f : X → Y и f −1 : Y → X , [20]
- а также
Это утверждение является следствием импликации, что для обратимости f оно должно быть биективным. Инволютивная характер обратного может быть сжато выражена [21]
Обратный к композиции функций дается формулой [22]
Обратите внимание, что порядок g и f поменялся местами; чтобы отменить f, а затем g , мы должны сначала отменить g , а затем отменить f .
Например, пусть f ( x ) = 3 x и g ( x ) = x + 5 . Тогда композиция g ∘ f - это функция, которая сначала умножается на три, а затем складывает пять,
Чтобы обратить этот процесс вспять, мы должны сначала вычесть пять, а затем разделить на три,
Это композиция ( f −1 ∘ g −1 ) ( x ) .
Самообращение
Если X - это множество, то функция идентичности на X является собственной инверсией:
В целом, функция F : X → X равна его собственной обратной, если и только если композиция е ∘ е равно ид X . Такая функция называется инволюцией .
Инверсии в исчислении
Исчисление с одной переменной в первую очередь связано с функциями, отображающими действительные числа в действительные числа. Такие функции часто определяются с помощью формул , например:
Сюръективная функция f от действительных чисел к действительным числам имеет обратную, если она взаимно однозначна. То есть график y = f ( x ) имеет для каждого возможного значения y только одно соответствующее значение x и, таким образом, проходит проверку горизонтальной линии .
В следующей таблице показаны несколько стандартных функций и их обратные:
Функция f ( x ) Обратная f −1 ( y ) Заметки х + а у - а а - х а - у mx у/м м ≠ 0 1/Икс(т.е. x −1 ) 1/у(т.е. y −1 ) х , у ≠ 0 х 2 √ y (т.е. y 1/2 ) х , у ≥ 0 только х 3 3 √ y (т.е. y 1/3 ) нет ограничений на x и y х р p √ y (т.е. y 1 / p ) x , y ≥ 0, если p четно; целое число p > 0 2 х фунт у у > 0 e x ln y у > 0 10 х журнал y у > 0 а х войти в у у > 0 и а > 0 тригонометрические функции обратные тригонометрические функции различные ограничения (см. таблицу ниже) гиперболические функции обратные гиперболические функции различные ограничения
Формула обратного
Один из подходов к нахождению формулы для f −1 , если она существует, состоит в том, чтобы решить уравнение y = f ( x ) относительно x . [23] Например, если f - функция
тогда мы должны решить уравнение y = (2 x + 8) 3 относительно x :
Таким образом, обратная функция f −1 задается формулой
Иногда обратная функция не может быть выражена формулой с конечным числом членов. Например, если f - функция
тогда f является биекцией и, следовательно, обладает обратной функцией f −1 . Формула для этого обратного имеет бесконечное число слагаемых:
График обратного
Если f обратима, то график функции
совпадает с графиком уравнения
Это идентично уравнению y = f ( x ), которое определяет график f , за исключением того, что роли x и y поменялись местами. Таким образом, график f −1 может быть получен из графика f путем переключения положений осей x и y . Это эквивалентно отображению графика поперек линии y = x . [24] [6]
Обратные и производные
Непрерывная функция F обратит на его диапазоне (изображениях) , если и только если оно либо строго увеличением или уменьшение (без локальных максимумов или минимумов ). [ необходима цитата ] Например, функция
обратима, поскольку производная f ′ ( x ) = 3 x 2 + 1 всегда положительна.
Если функция F является дифференцируемой на интервале I и F ' ( х ) ≠ 0 для каждого х ∈ I , то обратная F -1 дифференцируема на F ( I ) . [25] Если y = f ( x ) , производная обратной определяется теоремой об обратной функции ,
Используя обозначения Лейбница, приведенная выше формула может быть записана как
Этот результат следует из цепного правила (см. Статью об обратных функциях и дифференцировании ).
Теорема об обратной функции может быть обобщена на функции многих переменных. В частности, дифференцируемый многомерная функция F : R п → R п обратит в окрестностях точки р при условии, что матрица Якоби из F на р является обратимой . В этом случае якобиан функции f −1 в точке f ( p ) является матрицей, обратной якобиану функции f в точке p .
Примеры из реального мира
- Пусть f будет функцией, которая преобразует температуру в градусах Цельсия в температуру в градусах Фаренгейта , то его обратная функция преобразует градусы Фаренгейта в градусы Цельсия,[5] поскольку
- Предположим, f назначает каждому ребенку в семье год его рождения. Обратная функция выведет, какой ребенок родился в данном году. Однако, если в семье дети родились в одном году (например, двойня или тройня и т. Д.), То выходные данные не могут быть известны, если входными данными является общий год рождения. Также, если указан год, в котором не родился ни один ребенок, имя ребенка не может быть названо. Но если каждый ребенок родился в отдельном году, и если мы ограничим внимание тремя годами, в которые родился ребенок, то у нас действительно есть обратная функция. Например,
- Пусть R будет функцией, которая приводит к увеличению некоторой величины на x процентов, а F - функцией, вызывающей падение на x процентов. Применительно к 100 долларам с x = 10% мы обнаруживаем, что применение первой функции, за которой следует вторая, не восстанавливает исходное значение 100 долларов, демонстрируя тот факт, что, несмотря на внешний вид, эти две функции не являются обратными друг другу.
- Формула для расчета pH раствора: pH = -log10 [H +]. Во многих случаях нам необходимо определить концентрацию кислоты на основе измерения pH. Используется обратная функция [H +] = 10 ^ -pH.
Обобщения
Частичные обратные
Даже если функция F не является взаимно однозначным, то можно определить частичный обратный из F путем ограничивая область. Например, функция
не взаимно однозначно, так как x 2 = (- x ) 2 . Однако функция становится взаимно однозначной, если мы ограничимся областью x ≥ 0 , и в этом случае
(Если вместо этого мы ограничимся областью x ≤ 0 , то обратная величина будет отрицательной величиной квадратного корня из y .) В качестве альтернативы нет необходимости ограничивать область, если мы довольны тем, что обратная функция является многозначной функцией :
Иногда это многозначное обратное значение называется полным обратным к f , а части (например, √ x и - √ x ) - ветвями . Наиболее важная ветвь многозначной функции (например , положительный квадратный корень) называется главной ветвью , и его значение при г называется главное значением из F -1 ( у ) .
Для непрерывной функции на вещественной прямой требуется одна ветвь между каждой парой локальных экстремумов . Например, обратная кубической функции с локальным максимумом и локальным минимумом имеет три ветви (см. Рисунок рядом).
Эти соображения особенно важны для определения обратных тригонометрических функций . Например, функция синуса не является взаимно однозначной, поскольку
для каждого действительного x (и в более общем случае sin ( x + 2 π n ) = sin ( x ) для каждого целого числа n ). Однако синус взаимно однозначен на интервале [- π/2, π/2] , а соответствующий частичный обратный называется арксинусом . Это считается главной ветвью обратного синуса, поэтому главное значение обратного синуса всегда находится между - π/2 а также π/2. В следующей таблице описана основная ветвь каждой обратной тригонометрической функции: [26]
функция Диапазон обычной основной стоимости Arcsin - π/2≤ грех −1 ( х ) ≤ π/2 arccos 0 ≤ cos −1 ( x ) ≤ π арктан - π/2 −1 ( x ) < π/2 арккот 0 −1 ( x ) < π arcsec 0 ≤ сек −1 ( x ) ≤ π arccsc - π/2≤ csc −1 ( x ) ≤ π/2
Левый и правый обратные
Левый и правый инверсии не обязательно одинаковы. Если g является левым обратным для f , то g может быть, а может и не быть правым обратным для f ; и если g является правым обратным для f , то g не обязательно является левым обратным для f . Например, пусть f : R → [0, ∞) обозначает отображение квадрата, такое, что f ( x ) = x 2 для всех x в R , и пусть g : [0, ∞) → R обозначает отображение квадратного корня, такое, что g ( x ) = √ x для всех x ≥ 0 . Тогда f ( g ( x )) = x для всех x в [0, ∞) ; то есть g является правым обратным к f . Однако g не является левым обратным к f , так как, например, g ( f (−1)) = 1 ≠ −1 .
Левый обратный
Если F : X → Y , A левый обратный для F (или втягивания из F ) является функцией г : Y → X такие , что композиция п с г слева дает функцию тождества [ править ] :
То есть функция g удовлетворяет правилу
- Если , тогда
Таким образом, g должен быть равен обратному значению f на изображении f , но может принимать любые значения для элементов Y не на изображении.
Функция f инъективна тогда и только тогда, когда она имеет левый обратный или является пустой функцией. [ необходима цитата ]
- Если g - левый обратный к f , то f инъективен. Если f (x) = f (y) , то .
- Если f: X → Y инъективно, f либо пустая функция ( X = ∅ ), либо имеет левый обратный g: Y → X ( X ≠ ∅) , который можно построить следующим образом: для всех y ∈ Y , если y находится в образе f (существует x ∈ X такое, что f (x) = y ), пусть g (y) = x ( x уникален, поскольку f инъективен); в противном случае, пусть г (у) произвольный элемент X . Для всех x ∈ X , f (x) находится в образе f , поэтому g (f (x)) = x согласно вышеизложенному, поэтому g является левым обратным к f .
В классической математике каждая инъективная функция f с непустой областью обязательно имеет левую обратную; однако в конструктивной математике это может потерпеть неудачу . Например, левая инверсия включения {0,1} → R двухэлементного множества в вещественные числа нарушает неразложимость , давая втягивание вещественной прямой множеству {0,1} . [ необходима цитата ]
Право обратное
Правый обратный для F (или секции из F ) является функцией ч : Y → X такие , что [ править ]
То есть функция h удовлетворяет правилу
- Если , тогда
Таким образом, h ( y ) может быть любым из элементов X, которые отображаются в y при f .
Функция f имеет правую обратную тогда и только тогда, когда она сюръективна (хотя построение такой обратной в общем случае требует аксиомы выбора ).
- Если h - правый обратный к f , то f сюръективен. Для всех , Там есть такой, что .
- Если f сюръективен, f имеет правый обратный h , который может быть построен следующим образом: для всех , есть хотя бы один такой, что (поскольку f сюръективен), поэтому мы выбираем одно значение h (y) . [ необходима цитата ]
Двусторонние перевернутые
Обратный, который является как левым, так и правым обратным ( двусторонний обратный ), если он существует, должен быть уникальным. Фактически, если функция имеет левый обратный и правый обратный, они обе являются одним и тем же двусторонним обратным, поэтому его можно назвать обратным .
- Если является левым обратным и правая инверсия , для всех , .
Функция имеет двустороннюю инверсию тогда и только тогда, когда она биективна.
- Биективная функция f инъективна, поэтому она имеет левую обратную (если f - пустая функция, является своим собственным левым обратным). f сюръективен, поэтому имеет правый обратный. Согласно вышесказанному, левый и правый инверсии одинаковы.
- Если f имеет двусторонний обратный g , то g является левым обратным и правым обратным к f , поэтому f инъективен и сюръективен.
Прообразы
Если f : X → Y - любая функция (не обязательно обратимая), прообраз (или прообраз ) элемента y ∈ Y - это набор всех элементов X, которые отображаются в y : [ необходимая цитата ]
Прообраз у можно рассматривать как изображения от у по (многозначной) полной обратной функции F .
Аналогичным образом , если S любое подмножество из Y , прообраз S , обозначается, [4] - это множество всех элементов X, которые отображаются в S :
Например, возьмем функцию f : R → R , где f : x ↦ x 2 . Эта функция не является обратимой по причинам, обсуждаемым в § Пример: функции возведения в квадрат и извлечения квадратного корня . Тем не менее, прообразы могут быть определены для подмножеств кодомена:
Прообраз одного элемента у ∈ Y - это одноэлементные множества { у } - иногда называют волокна из у . Когда Y представляет собой множество действительных чисел, он является общим для обозначения F -1 ({ у }) в качестве установленного уровня .
Смотрите также
- Теорема обращения Лагранжа дает разложение в ряд Тейлора обратной функции аналитической функции
- Интеграл от обратных функций
- Обратное преобразование Фурье
- Обратимые вычисления
Заметки
- ^ Это обычная практика, когда не может возникнуть двусмысленности, когда термин «функция» не используется, а просто делается ссылка на «обратное».
- ^ Не путать с числовым возведением в степень, например, взятием мультипликативного обратного значения ненулевого действительного числа.
- ^ Таким образом, этот термин никогда не используется в этом соглашении.
Рекомендации
- ^ а б Холл, Артур Грэм; Фринк, Фред Гудрич (1909). «Статья 14: Обратные тригонометрические функции» . Написано в Анн-Арборе, Мичиган, США. Плоская тригонометрия . Нью-Йорк: Генри Холт и компания . С. 15–16 . Проверено 12 августа 2017 .
α = arcsin m Это обозначение повсеместно используется в Европе и быстро получает распространение в этой стране. Менее желательный символ, α = sin -1 m , все еще встречается в английских и американских текстах. Обозначение α = inv sin m , возможно, еще лучше ввиду его общей применимости. […] Аналогичное символическое соотношение справедливо и для других тригонометрических функций . Его часто читают «арксинус м» или «антисинус м» , поскольку две взаимно обратные функции считаются антифункцией друг друга.
- ^ Кейслер, Говард Джером . «Дифференциация» (PDF) . Проверено 24 января 2015 .
§2.4
- ^ Шайнерман, Эдвард Р. (2013). Математика: дискретное введение . Брукс / Коул . п. 173. ISBN. 978-0840049421.
- ^ а б в г «Исчерпывающий список символов алгебры» . Математическое хранилище . 2020-03-25 . Проверено 8 сентября 2020 .
- ^ а б «Обратные функции» . www.mathsisfun.com . Проверено 8 сентября 2020 .
- ^ а б в г Вайсштейн, Эрик В. «Обратная функция» . mathworld.wolfram.com . Проверено 8 сентября 2020 .
- Перейти ↑ Devlin 2004 , p. 101, теорема 4.5.1
- ^ Гершель, Джон Фредерик Уильям (1813) [1812-11-12]. «Об одном замечательном применении теоремы Котеса» . Философские труды Лондонского королевского общества . Лондон: Лондонское королевское общество , напечатано W. Bulmer and Co., Кливленд-Роу, Сент-Джеймс, продано Дж. И У. Николь, Pall-Mall. 103 (Часть 1): 8–26 [10]. DOI : 10,1098 / rstl.1813.0005 . JSTOR 107384 . S2CID 118124706 .
- ^ Гершель, Джон Фредерик Уильям (1820). «Часть III. Раздел I. Примеры прямого метода различий» . Сборник примеров приложений исчисления конечных разностей . Кембридж, Великобритания: Отпечатано Дж. Смитом, продается J. Deighton & sons. С. 1–13 [5–6]. Архивировано 4 августа 2020 года . Проверено 4 августа 2020 . [1] (NB. Здесь Гершель ссылается на свою работу 1813 года и упоминает более раннюю работу Ганса Генриха Бюрмана .)
- ^ Пирс, Бенджамин (1852). Кривые, функции и силы . Я (новое изд.). Бостон, США. п. 203.
- ^ Пеано, Джузеппе (1903). Formulaire mathématique (на французском языке). IV . п. 229.
- ^ а б в г Каджори, Флориан (1952) [март 1929]. «§472. Степень логарифма / §473. Итерированные логарифмы / §533. Обозначения Джона Гершеля для обратных функций / §535. Сохранение конкурирующих обозначений для обратных функций / §537. Полномочия тригонометрических функций». История математических обозначений . 2 (3-е исправленное издание 1929 г., 2-е изд.). Чикаго, США: Издательская компания Open Court . С. 108, 176–179, 336, 346. ISBN 978-1-60206-714-1. Проверено 18 января 2016 .
[…] §473. Итерированные логарифмы […] Здесь мы отмечаем символизм, использованный Прингсхаймом и Мольком в их совместной статье в Энциклопедии : « 2 log b a = log b (log b a ),…, k +1 log b a = log b ( k log b а ) ". […] §533. Обозначения Джона Гершеля для обратных функций sin −1 x , tan −1 x и т. Д. Были опубликованы им в Philosophical Transactions of London за 1813 год. Он говорит ( стр. 10 ): «Это обозначение cos . −1 e не следует понимать как обозначение 1 / cos. E , но то, что обычно записывается таким образом, arc (cos. = E ) ». Он допускает, что некоторые авторы используют cos. m A вместо (cos. A ) m , но он оправдывает свои собственные обозначения, указывая, что, поскольку d 2 x , Δ 3 x , Σ 2 x означают dd x , ΔΔΔ x , ΣΣ x , мы должны писать sin. 2 х за грех. грех. х , журнал. 3 х для бревна. бревно. бревно. х . Подобно тому, как мы пишем d - n V = ∫ n V, мы можем писать аналогично sin. −1 x = дуга (sin. = X ), лог. −1 х . = С х . Несколько лет спустя Гершель объяснил, что в 1813 году он использовал f n ( x ), f - n ( x ), sin. −1 x и т. Д. ", Как он тогда предположил впервые. Однако в течение этих нескольких месяцев ему стала известна работа немецкого аналитика Бурмана , в которой то же самое объясняется значительно раньше. Однако он [Бурманн], похоже, не заметил удобства применения этой идеи к обратным функциям tg −1 и т. Д., А также, похоже, он совсем не осведомлен об обратном исчислении функций, которое она порождает. " Гершель добавляет: «Симметрия этой нотации и, прежде всего, новые и наиболее обширные взгляды, которые она открывает на природу аналитических операций, кажется, санкционируют ее универсальное принятие». [а] […] §535. Сохранение конкурирующих обозначений для обратной функции. - […] Использование обозначений Гершеля претерпело небольшие изменения в книгах Бенджамина Пирса , чтобы снять главное возражение против них; Пирс писал: «cos [-1] x », «log [-1] x ». [b] […] §537. Степени тригонометрических функций. - Для обозначения, скажем, квадрата sin x использовались три основных обозначения , а именно (sin x ) 2 , sin x 2 , sin 2 x . Преобладающее обозначение в настоящее время - sin 2 x , хотя первое, вероятно, будет неправильно истолковано. В случае греха 2 x напрашиваются две интерпретации; во-первых, sin x · sin x ; во-вторых, [c] sin (sin x ). Поскольку функции последнего типа обычно не появляются, опасность неправильной интерпретации намного меньше, чем в случае log 2 x , где log x · log x и log (log x ) часто встречаются при анализе. […] Обозначение sin n x вместо (sin x ) n широко использовалось и сейчас является преобладающим. […]
(xviii + 367 + 1 страница, включая 1 страницу дополнений) (NB. ISBN и ссылка для перепечатки 2-го издания компанией Cosimo, Inc., Нью-Йорк, США, 2013 г.) - Перейти ↑ Smith, Eggen & St. Andre 2006 , p. 202, теорема 4.9
- Перейти ↑ Wolf 1998 , p. 198
- Перейти ↑ Fletcher & Patty 1988 , p. 116, теорема 5.1
- ^ Lay 2006 , стр. 69, Пример 7.24
- ^ Томас 1972 , стр. 304-309
- ^ а б Корн, Грандино Артур; Корн, Тереза М. (2000) [1961]. «21.2.-4. Обратные тригонометрические функции». Математический справочник для ученых и инженеров: определения, теоремы и формулы для справки и обзора (3-е изд.). Минеола, Нью-Йорк, США: Dover Publications, Inc. стр. 811 . ISBN 978-0-486-41147-7.
- ^ а б в г д Олдхэм, Кейт Б.; Myland, Jan C .; Спаниер, Джером (2009) [1987]. Атлас функций: с Equator, калькулятор функций Атласа (2-е изд.). Springer Science + Business Media, LLC . DOI : 10.1007 / 978-0-387-48807-3 . ISBN 978-0-387-48806-6. LCCN 2008937525 .
- ^ а б Вольф 1998 , стр. 208, теорема 7.2
- Перейти ↑ Smith, Eggen & St. Andre 2006 , pg. 141 Теорема 3.3 (а)
- ^ Lay 2006 , стр. 71, теорема 7.26
- Перейти ↑ Devlin 2004 , p. 101
- ↑ Briggs & Cochran, 2011 , стр. 28–29.
- ^ Lay 2006 , стр. 246, теорема 26.10
- ↑ Briggs & Cochran, 2011 , стр. 39–42.
Библиография
- Бриггс, Уильям; Кокран, Лайл (2011). Исчисление / Ранняя трансцендентальная единичная переменная . Эддисон-Уэсли . ISBN 978-0-321-66414-3.
- Девлин, Кейт Дж. (2004). Множества, функции и логика / Введение в абстрактную математику (3-е изд.). Чепмен и Холл / CRC Mathematics . ISBN 978-1-58488-449-1.
- Флетчер, Питер; Пэтти, К. Уэйн (1988). Основы высшей математики . PWS-Kent. ISBN 0-87150-164-3.
- Lay, Стивен Р. (2006). Анализ / С введением в доказательство (4-е изд.). Пирсон / Прентис Холл . ISBN 978-0-13-148101-5.
- Смит, Дуглас; Эгген, Морис; Сент-Андре, Ричард (2006). Переход к высшей математике (6-е изд.). Томпсон Брукс / Коул . ISBN 978-0-534-39900-9.
- Томас-младший, Джордж Бринтон (1972). Исчисление и аналитическая геометрия. Часть 1: Функции одной переменной и аналитической геометрии (Альтернативная редакция). Эддисон-Уэсли .
- Вольф, Роберт С. (1998). Доказательство, логика и гипотеза / Набор инструментов математика . WH Freeman and Co. ISBN 978-0-7167-3050-7.
дальнейшее чтение
- Амазиго, Джон С.; Рубенфельд, Лестер А. (1980). «Неявные функции; якобианы; обратные функции». Расширенное исчисление и его приложения в инженерных и физических науках . Нью-Йорк: Вили. стр. 103 -120. ISBN 0-471-04934-4.
- Бинмор, Кен Г. (1983). «Обратные функции». Исчисление . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . С. 161–197. ISBN 0-521-28952-1.
- Спивак, Майкл (1994). Исчисление (3-е изд.). Опубликовать или погибнуть. ISBN 0-914098-89-6.
- Стюарт, Джеймс (2002). Исчисление (5-е изд.). Брукс Коул . ISBN 978-0-534-39339-7.
Внешние ссылки
- "Обратная функция" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]