Функция (математика)

В математике , А функция ^{[примечание 1]} является бинарным отношением между двумя множествами , которые ассоциатами к каждому элементу первого набора ровно один элемент второго набора. Типичными примерами являются функции от целых чисел к целым или от действительных чисел к действительным числам.

Изначально функции были идеализацией зависимости одной величины от другой. Например, положение планеты является функцией времени. Исторически концепция была разработана с помощью исчисления бесконечно малых в конце 17 века, и до 19 века рассматриваемые функции были дифференцируемыми (то есть имели высокую степень регулярности). Понятие функции было формализовано в конце XIX века в терминах теории множеств , что значительно расширило область применения этого понятия.

Функция представляет собой процесс или отношение , которое связывает каждый элемент х из множества X , то домен функции, к одному элементу у другого множество Y (возможно , тот же набор), то область значений функции. Обычно его обозначают такими буквами, как f , g и h . ^[1]

Если функция называется f , это отношение обозначается как y = f  ( x ) (читается как « f of x »), где элемент x является аргументом или входом функции, а y - значением функции , выход , или изображения из й с помощью F . ^[2] Символ, который используется для представления входных данных, является переменной функции (например, f является функцией переменной x). ^[3]

Функция однозначно представлена ​​набором всех пар ( x , f  ( x )) , который называется графиком функции. ^{[примечание 2] [4]} Когда домен и домен являются наборами действительных чисел, каждую такую ​​пару можно рассматривать как декартовы координаты точки на плоскости. Набор этих точек называется графиком функции; это популярный способ иллюстрации функции.

Функции широко используются в науке и в большинстве областей математики. Было сказано, что функции являются «центральным объектом исследования» в большинстве областей математики. ^[5]

Определение [ править ]

Интуитивно, функция представляет собой процесс , который связывает каждый элемент множества X , к одному элементу множества Y .

Формально функция f из множества X в множество Y определяется множеством G упорядоченных пар ( x , y ) с x ∈ X , y ∈ Y , таких, что каждый элемент X является первым компонентом ровно одной упорядоченной пара в G . ^{[6] [примечание 3]} Другими словами, для каждого x в X существует ровно один элемент y такой, что упорядоченная пара ( x , y )принадлежит множеству пар, определяющих функцию f . Множество G называется графиком функции . Иногда его можно отождествить с функцией, но это скрывает обычную интерпретацию функции как процесса. Таким образом, в обычном использовании функция обычно отличается от ее графика.

Функции также называют картами или сопоставлениями , хотя некоторые авторы проводят некоторое различие между «картами» и «функциями» (см. Раздел #Map ).

Факт е является функцией от множества X на множество Y формально обозначим через F : X → Y . В определении функции, Х и Y , соответственно , называется доменом и кообласть функции F . ^[7] Если ( х , у ) принадлежит множеству определяющего п , то у есть изображение по х при е , или значение изf применяется к аргументу x . В частности, в контексте чисел говорят, что y - это значение f для значения x его переменной , или, более кратко, что y - это значение f для x , обозначаемое как y = f ( x ) .

Две функции f и g равны, если их наборы доменов и кодобластей совпадают и их выходные значения совпадают во всей области. Более формально, е = г , если Р ( х ) = г ( х ) для всех х ∈ Х , где F : X → Y и г : X → Y . ^{[8] [9] [примечание 4]}

Домен и кодомен не всегда явно указываются при определении функции, и без некоторых (возможно, сложных) вычислений можно было бы знать только, что домен содержится в большем наборе. Как правило, это происходит в математическом анализе , где «функция от X к Y » часто обращается к функции , которая может иметь собственное подмножество ^{[примечание 5]} из X в качестве домена. Например, «функция от действительного числа к действительному значению» может относиться к действительной функции действительной переменной . Однако «функция от действительного числа к действительному числу » не означает, что область определения функции - это весь набор действительных чисел., но только то, что домен представляет собой набор действительных чисел, содержащий непустой открытый интервал . Тогда такая функция называется частичной функцией . Например, если f - функция, имеющая действительные числа в качестве области и области значений, тогда функция, отображающая значение x в значение g ( x ) =1/f ( x )- это функция g от вещественного числа к действительному, область определения которой является набором вещественных чисел x , таких что f ( x ) ≠ 0 .

Диапазон функции является набором изображений всех элементов в домене. ^{[10] [11] [12] [13]} Однако диапазон иногда используется как синоним кодомена ^{[13] [14],} как правило, в старых учебниках. ^{[ необходима цитата ]}

Реляционный подход [ править ]

Любое подмножество декартового произведения двух множеств X и Y определяет бинарное отношение R ⊆ X × Y между этими двумя наборами. Совершенно очевидно, что произвольное отношение может содержать пары, нарушающие необходимые условия для функции, указанные выше.

Бинарное отношение является функциональным (также называемым право-уникальным), если

${\displaystyle \forall x\in X,\forall y\in Y,\forall z\in Y,\quad ((x,y)\in R\land (x,z)\in R)\implies y=z.}$

Бинарное отношение является последовательным (также называемым итоговым слева), если

${\displaystyle \forall x\in X,\exists y\in Y,\quad (x,y)\in R.}$

Частичная функция представляет собой бинарное отношение , что является функциональным.

Функция - это бинарное отношение, которое является функциональным и последовательным. Различные свойства функций и функциональный состав могут быть переформулированы на языке отношений. ^[15] Например, функция инъективна, если обратное отношение R ^T ⊆ Y × X является функциональным, где обратное отношение определяется как R ^T = {( y , x ): ( x , y ) ∈ R }.

Как элемент декартова произведения над доменом [ править ]

Набор всех функций от некоторого заданного домена до кодомена иногда идентифицируется с декартовым произведением копий кодомена, индексированных доменом. А именно, для заданных множеств X и Y любая функция f : X → Y является элементом декартова произведения копий Y s над индексным множеством X

F ∈ П _X Y = Y ^Х .

Просмотр п в кортеже с координатами, то для каждого х ∈ \ X , то х - й координаты этого кортежа значение F ( х ) ∈ Y . Это отражает интуицию, согласно которой для каждого x ∈ X функция выбирает некоторый элемент y ∈ Y , а именно f ( x ) . (Эта точка зрения используется, например, при обсуждении функции выбора .)

Бесконечные декартовы произведения часто просто «определяют» как наборы функций. ^[16]

Обозначение [ править ]

Существуют различные стандартные способы обозначения функций. Наиболее часто используемая нотация - это функциональная нотация, которая определяет функцию с помощью уравнения, в котором явно указаны имена функции и аргумент. Это приводит к тонкому моменту, который часто упускается из виду в элементарных трактовках функций: функции отличаются от своих значений . Таким образом, функцию f следует отличать от ее значения f ( x ₀ ) при значении x ₀ в ее области определения. В некоторой степени даже работающие математики будут объединять эти два понятия в неформальной обстановке для удобства и для того, чтобы не казаться педантичными. Однако, строго говоря, этозлоупотребление обозначений для записи «пусть будет функция F ( х ) = х ² », так как ф ( х ) и х ² оба должны быть поняты как значения из F при х , а не в самой функции. Вместо этого будет правильным, хотя и многословным, написать «пусть будет функция, определяемая уравнением f ( x ) = x ² для всех x в ». Компактная формулировка: «пусть с f ( x ) =${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$x ² , «где избыточное« быть функцией »опускается и по соглашениюпонимается« для всехв области».${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$

Это различие в языке и обозначениях может стать важным в случаях, когда функции сами служат входными данными для других функций. (Функция, принимающая на вход другую функцию, называется функционалом .) Другие подходы к обозначению функций, подробно описанные ниже, позволяют избежать этой проблемы, но используются реже.

Функциональное обозначение [ править ]

Впервые использованные Леонардом Эйлером в 1734 году ^[17] функции обозначаются символом, состоящим, как правило, из одной буквы курсивного шрифта , чаще всего строчных букв f , g , h . ^[1] Некоторые широко используемые функции представлены символом, состоящим из нескольких букв (обычно двух или трех, обычно это сокращение их имени). В этом случае вместо этого обычно используется латинский шрифт , такой как « sin » для синусоидальной функции , в отличие от курсивного шрифта для однобуквенных символов.

Обозначение (читай: « y равно f из x »)

${\displaystyle y=f(x)}$

означает, что пара ( x , y ) принадлежит множеству пар, определяющих функцию f . Если X является областью определения f , то набор пар, определяющих функцию, с использованием нотации построителя множеств ,

${\displaystyle \{(x,f(x)):x\in X\}.}$

Часто определение функции дается тем, что f делает с явным аргументом x . Например, функция f может быть определена уравнением

${\displaystyle f(x)=\sin(x^{2}+1)}$

для всех действительных чисел x . В этом примере f можно рассматривать как составную часть нескольких более простых функций: возведение в квадрат, прибавление 1 и взятие синуса. Однако только функция синуса имеет общий явный символ (sin), в то время как комбинация возведения в квадрат и последующего добавления 1 описывается полиномиальным выражением x ² + 1 . Чтобы явно ссылаться на функции, такие как возведение в квадрат или добавление 1, без введения новых имен функций (например, путем определения функции g и h как g ( x ) = x ² и h ( x ) = x + 1) можно использовать один из приведенных ниже методов (обозначение стрелками или точечное обозначение).

Когда символ, обозначающий функцию, состоит из нескольких символов и не может возникнуть двусмысленности, скобки функциональной записи могут быть опущены. Например, обычно вместо sin ( x ) пишут sin x .

Обозначение стрелки [ править ]

Для явного выражения области X и области значений Y функции f часто используется обозначение стрелки (читай: «функция f из X в Y » или «функция f, отображающая элементы X в элементы Y » ):

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

или же

${\displaystyle X~{\stackrel {f}{\to }}~Y.}$

Это часто используется в связи с обозначением стрелки для элементов (читай: « f отображает x в f  ( x ) »), часто укладывается сразу под обозначением стрелки, задающим символ функции, домен и codomain:

${\displaystyle x\mapsto f(x).}$

Например, если умножение определено на множестве X , то квадратная функция sqr на X однозначно определяется (читай: "функция sqr от X до X, которая отображает x в x ⋅ x ")

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sqr} \colon X&\to X\\x&\mapsto x\cdot x,\end{aligned}}}$

последняя строка чаще пишется

${\displaystyle x\mapsto x^{2}.}$

Часто выражение, задающее символ функции, домен и домен, опускается. Таким образом, обозначение стрелки полезно для избежания введения символа для функции, которая определяется, как это часто бывает, формулой, выражающей значение функции в терминах ее аргумента. В качестве общего применения обозначения стрелки предположим, что это функция с двумя аргументами, и мы хотим обратиться к частично примененной функции, полученной путем фиксации второго аргумента значения t ₀ без введения нового имени функции. Рассматриваемая карта может быть обозначена стрелками для элементов. Выражение (читается: "карта, переводящая x в f ( x , t${\displaystyle f\colon X\times X\to Y;\;(x,t)\mapsto f(x,t)}$ ${\displaystyle X\to Y}$${\displaystyle x\mapsto f(x,t_{0})}$${\displaystyle x\mapsto f(x,t_{0})}$₀ ) ") представляет эту новую функцию только с одним аргументом, тогда как выражение f ( x ₀ , t ₀ ) относится к значению функции f в точке ( x ₀ , t ₀ ) .

Обозначение индекса [ править ]

Индексная нотация часто используется вместо функциональной нотации. То есть вместо того, чтобы писать f  ( x ) , пишут${\displaystyle f_{x}.}$

Обычно это имеет место для функций, домен которых является набором натуральных чисел . Такая функция называется последовательностью , и в этом случае элемент называется n- м элементом последовательности.${\displaystyle f_{n}}$

Обозначение индекса также часто используется для отличия некоторых переменных, называемых параметрами, от «истинных переменных». Фактически, параметры - это конкретные переменные, которые считаются фиксированными во время исследования проблемы. Например, карта (см. Выше) будет обозначена с помощью индексной записи, если мы определим набор карт по формуле для всех .${\displaystyle x\mapsto f(x,t)}$${\displaystyle f_{t}}$${\displaystyle f_{t}}$${\displaystyle f_{t}(x)=f(x,t)}$${\displaystyle x,t\in X}$

Точечная запись [ править ]

В обозначении символ x не представляет никакого значения, это просто заполнитель, означающий, что если x заменяется любым значением слева от стрелки, он должен быть заменен тем же значением справа от стрелки. Следовательно, х может быть заменен любым символом, часто интерпункт « ⋅ ». Это может быть полезно для отличия функции f (⋅) от ее значения f ( x ) в точке x .${\displaystyle x\mapsto f(x),}$  

Например, может стоять для функции , и может стоять функции , определенных интеграл с переменным верхним пределом: .${\displaystyle a(\cdot )^{2}}$${\displaystyle x\mapsto ax^{2}}$${\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\,(\cdot )}f(u)\,du}$${\displaystyle \textstyle x\mapsto \int _{a}^{x}f(u)\,du}$

Специализированные обозначения [ править ]

Существуют и другие специализированные обозначения функций в дисциплинах математики. Например, в линейной алгебры и функционального анализа , линейных форм и векторов , они действуют на обозначены с помощью двойной пары , чтобы показать основную двойственность . Это похоже на использование обозначений на скобках в квантовой механике. В логике и теории вычислений обозначение функций лямбда-исчисления используется для явного выражения основных понятий абстракции функций и их применения . В теории категорийи гомологической алгебры сети функций описываются в терминах того, как они и их композиции коммутируют друг с другом, с использованием коммутативных диаграмм, которые расширяют и обобщают обозначения стрелок для функций, описанных выше.

Другие условия [ править ]

Функцию часто также называют картой или отображением , но некоторые авторы проводят различие между терминами «карта» и «функция». Например, термин «карта» часто используется для обозначения «функции» с какой-то особой структурой (например, карты многообразий ). В частности, отображение часто используется вместо гомоморфизма ради краткости (например, линейное отображение или отображение из G в H вместо гомоморфизма групп из G в H ). Некоторые авторы ^[25] оставляют за собой слово мэппинг. для случая, когда структура содомена явно принадлежит определению функции.

Некоторые авторы, такие как Serge Lang , ^[26] использование «функция» только для обозначения карт , для которых кообласть является подмножеством действительных или комплексных чисел и использовать термин отображение для более общих функций.

В теории динамических систем карта обозначает функцию эволюции, используемую для создания дискретных динамических систем . См. Также карту Пуанкаре .

Какое бы определение карты ни использовалось, связанные термины, такие как домен , кодомен , инъективный , непрерывный, имеют то же значение, что и для функции.

Указание функции [ править ]

Принимая во внимание функцию , по определению, к каждому элементу из области определения функции , существует единственный элемент , связанный с ним, то значение по крайней . Есть несколько способов явно или неявно указать или описать, как связано с . Иногда теорема или аксиома утверждает существование функции, обладающей некоторыми свойствами, не описывая ее более точно. Часто спецификация или описание называют определением функции .${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$

Путем перечисления значений функций [ править ]

На конечном множестве функция может быть определена путем перечисления элементов кодомена, которые связаны с элементами домена. Например, если , то можно определить функцию следующим образом:${\displaystyle A=\{1,2,3\}}$${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4.}$

По формуле [ править ]

Функции часто определяются формулой , описывающей комбинацию арифметических операций и ранее определенных функций; такая формула позволяет вычислить значение функции из значения любого элемента домена. Например, в приведенном выше примере можно определить формулой для .${\displaystyle f}$${\displaystyle f(n)=n+1}$${\displaystyle n\in \{1,2,3\}}$

Когда функция определяется таким образом, иногда бывает сложно определить ее область определения. Если формула, определяющая функцию, содержит деления, значения переменной, знаменатель которой равен нулю, должны быть исключены из домена; таким образом, для сложной функции определение области проходит через вычисление нулей вспомогательных функций. Аналогичным образом , если квадратные корни происходят в определении функции от к домену входит в набор значений переменной , для которой аргументы квадратных корней являются неотрицательными.${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

Например, определяет функцию , домен которой равен, потому что всегда положителен, если x - действительное число. С другой стороны, определяет функцию от вещественного числа к действительному, область определения которого сокращена до интервала [–1, 1] . (В старых текстах такая область называлась областью определения функции.)${\displaystyle f(x)={\sqrt {1+x^{2}}}}$${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle 1+x^{2}}$${\displaystyle f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$

Функции часто классифицируются по характеру формул, которые могут их определять:

• Квадратичная функция является функцией , которая может быть записана , где , Ь , с являются константами .${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,}$
• В более общем смысле, полиномиальная функция - это функция, которая может быть определена формулой, включающей только сложение, вычитание, умножение и возведение в степень до неотрицательных целых чисел. Например, и${\displaystyle f(x)=x^{3}-3x-1,}$${\displaystyle f(x)=(x-1)(x^{3}+1)+2x^{2}-1.}$
• Рациональная функция та же, с отделами также позволили, например, и${\displaystyle f(x)={\frac {x-1}{x+1}},}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x+1}}+{\frac {3}{x}}-{\frac {2}{x-1}}.}$
• Алгебраическая функция такая же, с п - й корни и корни полиномов также разрешены.
• Элементарная функция ^{[примечание 6]} то же самое, с логарифмами и экспоненциальными функциями , разрешенными.

Обратные и неявные функции [ править ]

Функция с областью определения X и областью области Y является биективной , если для каждого y в Y существует один и только один элемент x в X такой, что y = f ( x ) . В этом случае обратная функция из F является функцией , что карты к элементу таким образом, что у = е ( х ) . Например, натуральный логарифм${\displaystyle f\colon X\to Y,}$${\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle x\in X}$является биективной функцией от положительных действительных чисел к действительным числам. Таким образом, у него есть обратная функция , называемая экспоненциальной функцией , которая отображает действительные числа на положительные числа.

Если функция не биективен, может случиться , что можно выбрать подмножества и такое , что ограничение на F до Е является взаимно однозначное соответствие от Е до F , и имеет , таким образом , обратный. В обратные тригонометрические функции определяются следующим образом. Например, функция косинуса посредством ограничения индуцирует биекцию из интервала [0, π ] на интервал [–1, 1] , а ее обратная функция, называемая арккосинусом , отображает [–1, 1] на [0, π ]${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle E\subseteq X}$${\displaystyle F\subseteq Y}$ . Аналогично определяются другие обратные тригонометрические функции.

В более общем смысле, учитывая бинарное отношение R между двумя наборами X и Y , пусть E будет подмножеством X, таким, что для каждого существует такое, что x R y . Если один имеет критерий , позволяющий выбрать такое у для каждого это определяет функцию , называемую неявной функции , потому что она неявно определяется соотношением R .${\displaystyle x\in E,}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle x\in E,}$${\displaystyle f\colon E\to Y,}$

Например, уравнение единичного круга определяет отношение действительных чисел. Если –1 < x <1, есть два возможных значения y : положительное и отрицательное. При x = ± 1 эти два значения становятся равными 0. В противном случае нет возможного значения y . Это означает, что уравнение определяет две неявные функции с областью определения [–1, 1] и соответствующими доменами [0, + ∞) и (–∞, 0] .${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

В этом примере уравнение можно решить в y , что дает, но в более сложных примерах это невозможно. Например, отношение определяет y как неявную функцию от x , называемую радикалом Bring , который имеет в качестве домена и диапазона. Радикал Приведения не может быть выражен в терминах четырех арифметических операций и корней n- й степени .${\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}},}$${\displaystyle y^{5}+x+1=0}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Теорема о неявной функции обеспечивает мягкие условия дифференцируемости для существования и единственности неявной функции в окрестности точки.

Использование дифференциального исчисления [ править ]

Многие функции могут быть определены как первообразные другой функции. Это случай натурального логарифма , который является первообразной 1 / x , равной 0 при x = 1 . Другой распространенный пример - функция ошибок .

В более общем плане многие функции, включая большинство специальных функций , можно определить как решения дифференциальных уравнений . Самым простым примером, вероятно, является экспоненциальная функция , которую можно определить как уникальную функцию, которая равна своей производной и принимает значение 1 при x = 0 .

Степенные ряды можно использовать для определения функций в области, в которой они сходятся. Например, экспоненциальная функция определяется выражением . Однако, поскольку коэффициенты ряда довольно произвольны, функция, которая является суммой сходящегося ряда, обычно определяется иначе, а последовательность коэффициентов является результатом некоторого вычисления, основанного на другом определении. Затем степенной ряд можно использовать для расширения области определения функции. Обычно, если функция для действительной переменной является суммой своего ряда Тейлора в некотором интервале, этот степенной ряд позволяет немедленно расширить область до подмножества комплексных чисел , диска сходимости ряда. потом${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}$Аналитическое продолжение позволяет еще больше расширить область, включив почти всю комплексную плоскость . Этот процесс обычно используется для определения логарифма , экспоненты и тригонометрических функций комплексного числа.

По повторению [ править ]

Функции, область определения которых - неотрицательные целые числа, известные как последовательности , часто определяются рекуррентными отношениями .

Факториала функция на неотрицательных целых числах ( ) является основным примером, так как он может быть определен с помощью рекуррентного соотношения${\displaystyle n\mapsto n!}$

${\displaystyle n!=n(n-1)!\quad {\text{for}}\quad n>0,}$

и начальное условие

${\displaystyle 0!=1.}$

Представление функции [ править ]

График , обычно используется , чтобы дать интуитивное представление о функции. В качестве примера того, как график помогает понять функцию, по его графику легко увидеть, увеличивается или уменьшается функция. Некоторые функции также могут быть представлены в виде гистограмм .

Графики и графики [ править ]

Для функции ее график формально представляет собой множество${\displaystyle f\colon X\to Y,}$

${\displaystyle G=\{(x,f(x))\mid x\in X\}.}$

В частом случае, когда X и Y являются подмножествами действительных чисел (или могут быть идентифицированы с такими подмножествами, например интервалами ), элемент может быть идентифицирован с точкой, имеющей координаты x , y в 2-мерной системе координат, например Декартов самолет . Части этого могут создать график, который представляет (части) функции. Графики используются настолько повсеместно, что их тоже называют графиком функции . Возможны также графические представления функций в других системах координат. Например, график функции квадрата${\displaystyle (x,y)\in G}$

${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$

состоящий из всех точек с координатами для урожайности, когда они изображены в декартовых координатах, хорошо известная парабола . Если вместо этого построить ту же квадратичную функцию с тем же формальным графиком, состоящим из пар чисел, в полярных координатах, полученный график представляет собой спираль Ферма .${\displaystyle (x,x^{2})}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$ ${\displaystyle (r,\theta )=(x,x^{2}),}$

Таблицы [ править ]

Функцию можно представить в виде таблицы значений. Если область определения функции конечна, то таким образом можно полностью задать функцию. Например, функция умножения, заданная как, может быть представлена ​​знакомой таблицей умножения${\displaystyle f\colon \{1,\ldots ,5\}^{2}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x,y)=xy}$

С другой стороны, если область действия функции является непрерывной, таблица может давать значения функции при определенных значениях области. Если требуется промежуточное значение, можно использовать интерполяцию для оценки значения функции. Например, часть таблицы для синусоидальной функции может быть представлена ​​следующим образом, со значениями, округленными до 6 знаков после запятой:

До появления карманных калькуляторов и персональных компьютеров такие таблицы часто составлялись и публиковались для таких функций, как логарифмы и тригонометрические функции.

Гистограмма [ править ]

Гистограммы часто используются для представления функций, домен которых является конечным набором, натуральными числами или целыми числами . В этом случае элемент х из области представлена в интервале из х Оу, и соответствующее значение функции, ф ( х ) , представляется в виде прямоугольника , основание которого является интервал , соответствующий х и высота которого равно f ( x ) (возможно, отрицательно, в этом случае стержень проходит ниже оси x ).

Общие свойства [ править ]

В этом разделе описаны общие свойства функций, которые не зависят от конкретных свойств домена и кодомена.

Стандартные функции [ править ]

Существует ряд часто встречающихся стандартных функций:

• Для любого множества X существует единственная функция, которая называется пустой функцией от пустого множества в X . График пустой функции - это пустое множество. ^{[примечание 7]} Существование пустой функции - это соглашение, которое необходимо для согласованности теории и во избежание исключений, касающихся пустого множества во многих операторах.
• Для каждого набора X и каждого одноэлементного набора { s } существует уникальная функция от X до { s } , которая отображает каждый элемент X в s . Это сюръекция (см. Ниже), если X не является пустым множеством.
• Для данной функции в каноническую сюръекцию из F на его образ является функция от X к ф ( X ) , переводящая й в е ( х ) .${\displaystyle f\colon X\to Y,}$${\displaystyle f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}}$
• Для каждого подмножества А из множества X , то отображение включения из А в X является инъективной (см ниже) функция , которая отображает каждый элемент А к самому себе.
• Функция идентичности на множестве X , часто обозначаемая id _X , является включением X в себя.

Состав функций [ править ]

Учитывая две функции и такие, что область определения g является областью области f , их композиция является функцией, определяемой${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle g\colon Y\to Z}$${\displaystyle g\circ f\colon X\rightarrow Z}$

${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x)).}$

То есть значение получается путем сначала применения f к x, чтобы получить y = f ( x ), а затем применения g к результату y, чтобы получить g ( y ) = g ( f ( x )) . В обозначениях функция, которая применяется первой, всегда пишется справа.${\displaystyle g\circ f}$

Композиция - это операция над функциями, которая определяется только в том случае, если домен первой функции является доменом второй. Даже когда оба и удовлетворяют этим условиям, композиция не обязательно является коммутативной , то есть функции и не обязательно должны быть равными, но могут предоставлять разные значения для одного и того же аргумента. Например, пусть f ( x ) = x ² и g ( x ) = x + 1 , тогда и согласитесь только для${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle g(f(x))=x^{2}+1}$${\displaystyle f(g(x))=(x+1)^{2}}$${\displaystyle x=0.}$

Композиция функций ассоциативна в том смысле, что если одно из и определено, то другое также определено, и они равны. Таким образом, пишут${\displaystyle (h\circ g)\circ f}$${\displaystyle h\circ (g\circ f)}$

${\displaystyle h\circ g\circ f=(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f).}$

Эти функции идентичности и являются соответственно правой единицей и левой единицей для функций из X в Y . То есть, если f - функция с областью определения X и областью области Y ,${\displaystyle \operatorname {id} _{X}}$${\displaystyle \operatorname {id} _{Y}}$${\displaystyle f\circ \operatorname {id} _{X}=\operatorname {id} _{Y}\circ f=f.}$

• Сложную функцию g ( f ( x )) можно представить как комбинацию двух «машин».

• Простой пример функциональной композиции

• Другой состав. В этом примере ( g  ∘  f  ) (c) = # .

Изображение и прообраз [ править ]

Пусть В изображении при е из элемента х из области X является F ( х ) . ^[10] Если любое подмножество X , то изображение из А под F , обозначим F ( ) , является подмножеством кообласть Y , состоящее из всех изображений элементов А , ^[10] , то есть${\displaystyle f\colon X\to Y.}$

${\displaystyle f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}.}$

Изображения из F есть образ всей области, то есть, F ( X ) . ^[14] Она также называется диапазон от F , ^{[10] [11] [12] [13]} , хотя этот термин диапазон может также относиться к области значений. ^{[13] [14] [27]}

С другой стороны, прообраз или прообраз под f элемента y области Y - это множество всех элементов области X , образы которых под f равны y . ^[10] В символах прообраз y обозначается и задается уравнением${\displaystyle f^{-1}(y)}$

${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\in X\mid f(x)=y\}.}$

Точно так же, прообраз подмножества B в кообласть Y есть множество прообразов элементов B , то есть, это подмножество области X , состоящее из всех элементов X , чьи образы принадлежат B . ^[10] Он обозначается и задается уравнением${\displaystyle f^{-1}(B)}$

${\displaystyle f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}.}$

Например, прообраз функции под квадратом - это множество .${\displaystyle \{4,9\}}$${\displaystyle \{-3,-2,2,3\}}$

По определению функции изображение элемента x области всегда является отдельным элементом области. Однако прообраз элемента y кодомена может быть пустым или содержать любое количество элементов. Например, если f - функция от целых чисел к себе, которая отображает каждое целое число в 0, тогда .${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle f^{-1}(0)=\mathbb {Z} }$

Если - функция, A и B - подмножества X , а C и D - подмножества Y , то каждый обладает следующими свойствами:${\displaystyle f\colon X\to Y}$

• ${\displaystyle A\subseteq B\Longrightarrow f(A)\subseteq f(B)}$
• ${\displaystyle C\subseteq D\Longrightarrow f^{-1}(C)\subseteq f^{-1}(D)}$
• ${\displaystyle A\subseteq f^{-1}(f(A))}$
• ${\displaystyle C\supseteq f(f^{-1}(C))}$
• ${\displaystyle f(f^{-1}(f(A)))=f(A)}$
• ${\displaystyle f^{-1}(f(f^{-1}(C)))=f^{-1}(C)}$

Прообраз с помощью F из элемента у из области значений иногда называют, в некоторых контекстах волокна из г при е .

Если функция F имеет обратный (см ниже), этот обратный обозначаются В этом случае может обозначать либо изображение на или прообраз по F из C . Это не проблема, поскольку эти наборы равны. Обозначения и могут быть неоднозначными в случае наборов, которые содержат некоторые подмножества в качестве элементов, например, в этом случае может потребоваться некоторая осторожность, например, путем использования квадратных скобок для изображений и прообразов подмножеств и обычных круглых скобок для изображений и прообразов. элементов.${\displaystyle f^{-1}.}$${\displaystyle f^{-1}(C)}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f(A)}$${\displaystyle f^{-1}(C)}$${\displaystyle \{x,\{x\}\}.}$${\displaystyle f[A],f^{-1}[C]}$

Инъективные, сюръективные и биективные функции [ править ]

Позвольте быть функцией.${\displaystyle f\colon X\to Y}$

Функция F является инъективным (или один-к-одному , или представляет собой инъекцию ) , если F ( ) ≠ F ( б ) для любых двух различных элементов и б из X . ^{[14] [28]} Эквивалентно, f инъективен тогда и только тогда, когда для любого прообраз содержит не более одного элемента. Пустая функция всегда инъективна. Если X не является пустым множеством, то f инъективен тогда и только тогда, когда существует такая функция , что если${\displaystyle y\in Y,}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle g\colon Y\to X}$${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X},}$f имеет левую инверсию . ^[28] Доказательство : если f инъективно, для определения g выбирается элемент в X (который существует, поскольку X предполагается непустым), ^{[примечание 8]} и определяется g с помощью if и if. Наоборот, if и then и таким образом${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle g(y)=x}$${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle g(y)=x_{0}}$${\displaystyle y\not \in f(X).}$${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X},}$${\displaystyle y=f(x),}$${\displaystyle x=g(y),}$${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\}.}$

Функции F является сюръективным (или на , или является сюръекцией ) , если его диапазон равна ее кообласть , то есть, если для каждого элемента из области значений, существует некоторый элемент домена такого , что (другие слова, прообраз из каждый непусто). ^{[14] [29]} Если, как обычно в современной математике, предполагается аксиома выбора , то f сюръективен тогда и только тогда, когда существует такая функция , что то есть, если f имеет правый обратный . ^[29]${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)=y}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle g\colon Y\to X}$${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{Y},}$Аксиома выбора необходима, потому что, если f сюръективен, каждый определяет g с помощью где - произвольно выбранный элемент${\displaystyle g(y)=x,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f^{-1}(y).}$

Функция F является биективен (или является биекцией или взаимно-однозначное соответствие ^[30] ) , если она является одновременно инъективно и сюръективно. ^{[14] [31]} То есть f биективен, если для любого прообраз содержит ровно один элемент. Функция f биективна тогда и только тогда, когда она допускает обратную функцию , то есть такую ​​функцию , что и ^[31] (в отличие от случая сюръекций, это не требует аксиомы выбора; доказательство прямое).${\displaystyle y\in Y,}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle g\colon Y\to X}$${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}}$${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{Y}.}$

Каждая функция может быть разложена , как композиция из сюръекции с последующей инъекцией, где с является канонической сюръекция X на ф ( X ) , и я каноническая инъекция ф ( X ) в Y . Это каноническое разложение по е .${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle i\circ s}$

«One-to-one» и «on» - это термины, которые были более распространены в более старой англоязычной литературе; «инъективный», «сюръективный» и «биективный» были первоначально придуманы как французские слова во второй четверти 20 века группой Бурбаки и импортированы в английский язык. ^{[ необходимая цитата ]} В качестве предостережения, «взаимно-однозначная функция» - это функция, которая является инъективной, в то время как «взаимно-однозначное соответствие» относится к биективной функции. Кроме того, утверждение « f отображает X на Y » отличается от « f отображает X в B » тем, что из первого следует, что fсюръективно, в то время как последний ничего не говорит о природе f . В сложных рассуждениях легко упустить различие в одну букву. Из-за запутанного характера этой старой терминологии популярность этих терминов снизилась по сравнению с терминами Бурбака, которые также имеют то преимущество, что они более симметричны.

Ограничение и продление[ редактировать ]

Если функция и S является подмножеством X , то ограничение на к S , обозначается , является функцией от S до Y определяется${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f|_{S}}$

${\displaystyle f|_{S}(x)=f(x)}$

для всех х в S . Ограничения могут быть использованы для определения частичных обратных функций: если существует подмножество S домена функции такой , что инъективно, то каноническая сюръекция на образ биекции, и , следовательно , имеет обратную функцию от до S . Одно из приложений - определение обратных тригонометрических функций . Например, функция косинуса инъективна, если ограничена интервалом [0, π ] . Образом этого ограничения является интервал [–1, 1] , и, таким образом, ограничение имеет обратную функцию от${\displaystyle f}$${\displaystyle f|_{S}}$${\displaystyle f|_{S}}$${\displaystyle f|_{S}(S)=f(S)}$${\displaystyle f(S)}$ От [–1, 1] до [0, π ] , который называется arccosine и обозначается arccos .

Ограничение функций также может использоваться для «склеивания» функций. Пусть разложение X как союз подмножеств, и предположим , что функция определяется по каждому таким образом, что для каждой пары индексов, ограничений и к равны. Затем это определяет уникальную функцию, такую ​​что для всех i . Так определяются функции на многообразиях .${\displaystyle \textstyle X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$${\displaystyle f_{i}\colon U_{i}\to Y}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle i,j}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle f_{j}}$${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle f|_{U_{i}}=f_{i}}$

Расширение некоторой функции F является функцией г таким , что F является ограничением г . Типичное использование этого понятия - процесс аналитического продолжения , который позволяет расширить функции, область определения которых является небольшой частью комплексной плоскости, до функций, область определения которых составляет почти всю комплексную плоскость.

Вот еще один классический пример расширения функциональных возможностей, которые встречаются при изучении homographies на вещественной прямой . Гомография функция такая , что объявление - Ьс ≠ 0 . Его область является множество всех действительных чисел , отличных от его образ является множество всех действительных чисел , отличных от Если один расширяет реальную линию на проективно расширенной числовой прямой , включив ∞ , один может продлить час до биекция из выдвинутого реального строку к себе, установив и .${\displaystyle h(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}}$${\displaystyle -d/c,}$${\displaystyle a/c.}$${\displaystyle h(\infty )=a/c}$${\displaystyle h(-d/c)=\infty }$

Многомерная функция [ редактировать ]

Бинарная операция является типичным примером двумерной функции, которая присваивает каждой паре результат .${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle x\circ y}$

Многомерная функция , или функция нескольких переменных является функцией , которая зависит от нескольких аргументов. Такие функции встречаются часто. Например, положение автомобиля на дороге зависит от пройденного времени и его средней скорости.

Более формально функция от n переменных - это функция, область определения которой является набором n -элементов. Например, умножение целых чисел является функцией двух переменных или двумерной функцией , область определения которой является набором всех пар (кортежей) целых чисел, а область значений - набором целых чисел. То же верно для любой бинарной операции . В более общем плане каждая математическая операция определяется как многомерная функция.

Декартово произведение из п множеств является множество всех п -наборов таким образом, что для каждого I с . Следовательно, функция от n переменных - это функция${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}}$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle x_{i}\in X_{i}}$${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

${\displaystyle f\colon U\to Y,}$

где область U имеет вид

${\displaystyle U\subseteq X_{1}\times \cdots \times X_{n}.}$

При использовании обозначений функций обычно опускаются скобки, окружающие кортежи, вместо записи${\displaystyle f(x_{1},x_{2})}$${\displaystyle f((x_{1},x_{2})).}$

В том случае , когда все равны множеству из действительных чисел , один имеет функции нескольких вещественных переменных . Если равны множеству из комплексных чисел , один имеет функцию нескольких комплексных переменных .${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Также принято рассматривать функции, домен которых является произведением множеств. Например, евклидово деление отображает каждую пару ( a , b ) целых чисел с b ≠ 0 в пару целых чисел, называемую частным и остатком :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Euclidean division}}\colon \quad \mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\})&\to \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \\(a,b)&\mapsto (\operatorname {quotient} (a,b),\operatorname {remainder} (a,b)).\end{aligned}}}$

Кодомен также может быть векторным пространством . В этом случае говорят о векторной функции . Если область содержится в евклидовом пространстве или, в более общем смысле, в многообразии , векторную функцию часто называют векторным полем .

В исчислении [ править ]

Идея функции, начиная с 17 века, была фундаментальной для нового исчисления бесконечно малых (см. Историю концепции функции ). В то время рассматривались только действительные функции действительной переменной , и все функции предполагались гладкими . Но вскоре определение было распространено на функции нескольких переменных и функции комплексного переменного . Во второй половине XIX века было введено математически строгое определение функции, и были определены функции с произвольными областями и областями определения.

В настоящее время функции используются во всех областях математики. Во вводном исчислении , когда слово функция используется без уточнения, оно означает действительную функцию одной действительной переменной. Более общее определение функции обычно дается студентам второго или третьего курса колледжей, изучающих STEM, а на последнем курсе они знакомятся с математическим расчетом в более широкой и строгой обстановке на таких курсах, как реальный анализ и комплексный анализ .

Настоящая функция [ править ]

Действительная функцией является вещественной функцией действительного переменным , то есть, функция которого кообласть этого поля действительных чисел и домен которого представляет собой набор действительных чисел , который содержит в интервал . В этом разделе эти функции просто называются функциями .

Функции, которые чаще всего рассматриваются в математике и ее приложениях, имеют некоторую регулярность, то есть они непрерывны , дифференцируемы и даже аналитичны . Эта закономерность гарантирует, что эти функции могут быть визуализированы с помощью их графиков . В этом разделе все функции дифференцируемы в некотором интервале.

Функции пользуются поточечными операциями , то есть, если f и g являются функциями, их сумма, разность и произведение являются функциями, определяемыми

${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\(f-g)(x)&=f(x)-g(x)\\(f\cdot g)(x)&=f(x)\cdot g(x)\\\end{aligned}}.}$

Области определения полученных функций являются пересечением областей определения f и g . Частное двух функций определяется аналогично формулой

${\displaystyle {\frac {f}{g}}(x)={\frac {f(x)}{g(x)}},}$

но домен полученной функции получается путем удаления нулей из г от пересечения областей е и г .

В полиномиальные функции определяются полиномами , а их домен весь набор действительных чисел. Они включают постоянные функции , линейные функции и квадратичные функции . Рациональные функции являются частными двух полиномиальных функций, и их область определения - действительные числа, конечное число которых удалено, чтобы избежать деления на ноль . Простейшая рациональная функция - это функция , график которой представляет собой гиперболу , а область определения - вся вещественная прямая, кроме 0.${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}},}$

Производная реальной дифференцируемой функции является вещественной функцией. Первообразная непрерывной вещественной функции вещественная функция, дифференцируемая в любом открытом интервале , в котором исходная функция непрерывна. Например, функция является непрерывной и даже дифференцируемой по положительным действительным числам. Таким образом, одна первообразная, которая принимает нулевое значение при x = 1 , является дифференцируемой функцией, называемой натуральным логарифмом .${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$

Реальная функция F является монотонным в промежутке , если знак не зависит от выбора х и у в интервале. Если функция дифференцируема в интервале, она монотонна, если знак производной постоянен в интервале. Если действительная функция F монотонна в интервале I , он имеет обратную функцию , которая является действительной функцией с областью F ( I ) и изображением I . Так определяются обратные тригонометрические функции в терминах тригонометрических функций.${\displaystyle {\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}}$, где тригонометрические функции монотонны. Другой пример: натуральный логарифм монотонен для положительных действительных чисел, и его изображение представляет собой целую действительную линию; следовательно, у него есть обратная функция, которая представляет собой взаимно однозначное соответствие между действительными числами и положительными действительными числами. Эта обратная функция - экспоненциальная функция .

Многие другие действительные функции определяются либо теоремой о неявной функции (обратная функция - частный случай), либо как решения дифференциальных уравнений . Например, функции синуса и косинуса являются решениями линейного дифференциального уравнения

${\displaystyle y''+y=0}$

такой, что

${\displaystyle \sin 0=0,\quad \cos 0=1,\quad {\frac {\partial \sin x}{\partial x}}(0)=1,\quad {\frac {\partial \cos x}{\partial x}}(0)=0.}$

Векторнозначная функция [ править ]

Когда элементы области значений функции являются векторами , функция называется векторнозначной функцией. Эти функции особенно полезны в приложениях, например, для моделирования физических свойств. Например, функция, которая связывает каждую точку жидкости с ее вектором скорости, является векторнозначной функцией.

Некоторые векторнозначные функции определены в подмножестве или других пространствах, которые имеют общие геометрические или топологические свойства , таких как многообразия . Этим векторным функциям присвоены имена векторных полей .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Функциональное пространство [ править ]

In mathematical analysis, and more specifically in functional analysis, a function space is a set of scalar-valued or vector-valued functions, which share a specific property and form a topological vector space. For example, the real smooth functions with a compact support (that is, they are zero outside some compact set) form a function space that is at the basis of the theory of distributions.

Function spaces play a fundamental role in advanced mathematical analysis, by allowing the use of their algebraic and topological properties for studying properties of functions. For example, all theorems of existence and uniqueness of solutions of ordinary or partial differential equations result of the study of function spaces.

Multi-valued functions[edit]

Several methods for specifying functions of real or complex variables start from a local definition of the function at a point or on a neighbourhood of a point, and then extend by continuity the function to a much larger domain. Frequently, for a starting point ${\displaystyle x_{0},}$ there are several possible starting values for the function.

For example, in defining the square root as the inverse function of the square function, for any positive real number ${\displaystyle x_{0},}$ there are two choices for the value of the square root, one of which is positive and denoted ${\displaystyle {\sqrt {x_{0}}},}$ and another which is negative and denoted ${\displaystyle -{\sqrt {x_{0}}}.}$ These choices define two continuous functions, both having the nonnegative real numbers as a domain, and having either the nonnegative or the nonpositive real numbers as images. When looking at the graphs of these functions, one can see that, together, they form a single smooth curve. It is therefore often useful to consider these two square root functions as a single function that has two values for positive x, one value for 0 and no value for negative x.

In the preceding example, one choice, the positive square root, is more natural than the other. This is not the case in general. For example, let consider the implicit function that maps y to a root x of ${\displaystyle x^{3}-3x-y=0}$ (see the figure on the right). For y = 0 one may choose either ${\displaystyle 0,{\sqrt {3}},{\text{ or }}-{\sqrt {3}}}$ for x. By the implicit function theorem, each choice defines a function; for the first one, the (maximal) domain is the interval [–2, 2] and the image is [–1, 1]; for the second one, the domain is [–2, ∞) and the image is [1, ∞); for the last one, the domain is (–∞, 2] and the image is (–∞, –1]. As the three graphs together form a smooth curve, and there is no reason for preferring one choice, these three functions are often considered as a single multi-valued function of y that has three values for –2 < y < 2, and only one value for y ≤ –2 and y ≥ –2.

Usefulness of the concept of multi-valued functions is clearer when considering complex functions, typically analytic functions. The domain to which a complex function may be extended by analytic continuation generally consists of almost the whole complex plane. However, when extending the domain through two different paths, one often gets different values. For example, when extending the domain of the square root function, along a path of complex numbers with positive imaginary parts, one gets i for the square root of –1; while, when extending through complex numbers with negative imaginary parts, one gets –i. There are generally two ways of solving the problem. One may define a function that is not continuous along some curve, called a branch cut. Such a function is called the principal value of the function. The other way is to consider that one has a multi-valued function, which is analytic everywhere except for isolated singularities, but whose value may "jump" if one follows a closed loop around a singularity. This jump is called the monodromy.

In the foundations of mathematics and set theory[edit]

The definition of a function that is given in this article requires the concept of set, since the domain and the codomain of a function must be a set. This is not a problem in usual mathematics, as it is generally not difficult to consider only functions whose domain and codomain are sets, which are well defined, even if the domain is not explicitly defined. However, it is sometimes useful to consider more general functions.

For example, the singleton set may be considered as a function ${\displaystyle x\mapsto \{x\}.}$ Its domain would include all sets, and therefore would not be a set. In usual mathematics, one avoids this kind of problem by specifying a domain, which means that one has many singleton functions. However, when establishing foundations of mathematics, one may have to use functions whose domain, codomain or both are not specified, and some authors, often logicians, give precise definition for these weakly specified functions.^[32]

These generalized functions may be critical in the development of a formalization of the foundations of mathematics. For example, Von Neumann–Bernays–Gödel set theory, is an extension of the set theory in which the collection of all sets is a class. This theory includes the replacement axiom, which may be stated as: If X is a set and F is a function, then F[X] is a set.

In computer science[edit]

In computer programming, a function is, in general, a piece of a computer program, which implements the abstract concept of function. That is, it is a program unit that produces an output for each input. However, in many programming languages every subroutine is called a function, even when there is no output, and when the functionality consists simply of modifying some data in the computer memory.

Functional programming is the programming paradigm consisting of building programs by using only subroutines that behave like mathematical functions. For example, if_then_else is a function that takes three functions as arguments, and, depending on the result of the first function (true or false), returns the result of either the second or the third function. An important advantage of functional programming is that it makes easier program proofs, as being based on a well founded theory, the lambda calculus (see below).

Except for computer-language terminology, "function" has the usual mathematical meaning in computer science. In this area, a property of major interest is the computability of a function. For giving a precise meaning to this concept, and to the related concept of algorithm, several models of computation have been introduced, the old ones being general recursive functions, lambda calculus and Turing machine. The fundamental theorem of computability theory is that these three models of computation define the same set of computable functions, and that all the other models of computation that have ever been proposed define the same set of computable functions or a smaller one. The Church–Turing thesis is the claim that every philosophically acceptable definition of a computable function defines also the same functions.

General recursive functions are partial functions from integers to integers that can be defined from

• constant functions,
• successor, and
• projection functions

via the operators

• composition,
• primitive recursion, and
• minimization.

Although defined only for functions from integers to integers, they can model any computable function as a consequence of the following properties:

• a computation is the manipulation of finite sequences of symbols (digits of numbers, formulas, ...),
• every sequence of symbols may be coded as a sequence of bits,
• a bit sequence can be interpreted as the binary representation of an integer.

Lambda calculus is a theory that defines computable functions without using set theory, and is the theoretical background of functional programming. It consists of terms that are either variables, function definitions (𝜆-terms), or applications of functions to terms. Terms are manipulated through some rules, (the α-equivalence, the β-reduction, and the η-conversion), which are the axioms of the theory and may be interpreted as rules of computation.

In its original form, lambda calculus does not include the concepts of domain and codomain of a function. Roughly speaking, they have been introduced in the theory under the name of type in typed lambda calculus. Most kinds of typed lambda calculi can define fewer functions than untyped lambda calculus.

See also[edit]

Subpages[edit]

Generalizations[edit]

Related topics[edit]

Notes[edit]

References[edit]

Sources[edit]

• Bartle, Robert (1967). The Elements of Real Analysis. John Wiley & Sons.
• Bloch, Ethan D. (2011). Proofs and Fundamentals: A First Course in Abstract Mathematics. Springer. ISBN 978-1-4419-7126-5.
• Cunningham, Daniel W. (2016). Set theory: A First Course. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-12032-7.
• Gödel, Kurt (1940). The Consistency of the Continuum Hypothesis. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-07927-1.
• Halmos, Paul R. (1970). Naive Set Theory. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90092-6.
• Jech, Thomas (2003). Set theory (Third Millennium ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-44085-7.
• Spivak, Michael (2008). Calculus (4th ed.). Publish or Perish. ISBN 978-0-914098-91-1.

Further reading[edit]

• Anton, Howard (1980). Calculus with Analytical Geometry. Wiley. ISBN 978-0-471-03248-9.
• Bartle, Robert G. (1976). The Elements of Real Analysis (2nd ed.). Wiley. ISBN 978-0-471-05464-1.
• Dubinsky, Ed; Harel, Guershon (1992). The Concept of Function: Aspects of Epistemology and Pedagogy. Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-081-7.
• Hammack, Richard (2009). "12. Functions" (PDF). Book of Proof. Virginia Commonwealth University. Retrieved 2012-08-01.
• Husch, Lawrence S. (2001). Visual Calculus. University of Tennessee. Retrieved 2007-09-27.
• Katz, Robert (1964). Axiomatic Analysis. D. C. Heath and Company.
• Kleiner, Israel (1989). "Evolution of the Function Concept: A Brief Survey". The College Mathematics Journal. 20 (4): 282–300. CiteSeerX 10.1.1.113.6352. doi:10.2307/2686848. JSTOR 2686848.
• Lützen, Jesper (2003). "Between rigor and applications: Developments in the concept of function in mathematical analysis". In Porter, Roy (ed.). The Cambridge History of Science: The modern physical and mathematical sciences. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57199-9. An approachable and diverting historical presentation.
• Malik, M. A. (1980). "Historical and pedagogical aspects of the definition of function". International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 11 (4): 489–492. doi:10.1080/0020739800110404.
• Reichenbach, Hans (1947) Elements of Symbolic Logic, Dover Publishing Inc., New York, ISBN 0-486-24004-5.
• Ruthing, D. (1984). "Some definitions of the concept of function from Bernoulli, Joh. to Bourbaki, N.". Mathematical Intelligencer. 6 (4): 72–77.
• Thomas, George B.; Finney, Ross L. (1995). Calculus and Analytic Geometry (9th ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-53174-9.

External links[edit]

Wikimedia Commons has media related to Functions (mathematics).

• "Function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• The Wolfram Functions Site gives formulae and visualizations of many mathematical functions.
• NIST Digital Library of Mathematical Functions