Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Математическое понятие функции появились в 17 веке в связи с развитием исчисления ; например, наклон из графика в точке рассматриваются как функция от й координаты точки. В древности функции явно не рассматривались, но некоторые предшественники этой концепции, возможно, можно увидеть в работах средневековых философов и математиков, таких как Орем .

Математики 18 века обычно считали функцию определяемой аналитическим выражением . В 19 - м века, требование строгого развития анализа по Вейерштрассе и другим, переформулировка геометрии с точкой зрения анализа, и изобретение теории множеств по Кантору , в конце концов , привели к гораздо более общей современной концепции функции в качестве однозначное отображение из одного набора в другой.

Функции до 17 века [ править ]

Уже в XII веке математик Шараф ад-Дин ат-Туси проанализировал уравнение x 3 + d = b  ⋅  x 2 в форме x 2  ⋅ ( b - x ) = d , заявив, что левая часть должна как минимум равняться значение d, чтобы уравнение имело решение. Затем он определил максимальное значение этого выражения. Можно утверждать, что выделение этого выражения является ранним подходом к понятию «функция». Значение меньше d означает отсутствие положительного решения; значение, равное dсоответствует одному решению, а значение больше d соответствует двум решениям. Анализ этого уравнения Шараф ад-Дином явился заметным достижением в исламской математике , но его работа в то время не получила дальнейшего развития ни в мусульманском мире, ни в Европе. [1]

Согласно Дьедонне [2] и Понте [3] концепция функции возникла в 17 веке в результате развития аналитической геометрии и исчисления бесконечно малых . Тем не менее Медведев предполагает, что неявное понятие функции имеет древнее происхождение. [4] Понте также видит более явные подходы к этой концепции в средние века :

Исторически можно считать, что некоторых математиков предвидели и вплотную подошли к современной формулировке концепции функции. Среди них Орем (1323–1382) . . . В его теории, по-видимому, присутствуют некоторые общие идеи о независимых и зависимых переменных величинах. [5]

Развитие аналитической геометрии около 1640 г. позволило математикам выбирать между геометрическими задачами о кривых и алгебраическими соотношениями между «переменными координатами x и y ». [6] Исчисление было разработано с использованием понятия переменных и связанных с ними геометрических значений, которое сохранялось до восемнадцатого века. [7] Однако терминология «функция» стала использоваться во взаимодействиях между Лейбницем и Бернулли ближе к концу 17 века. [8]

Понятие «функция» в анализе [ править ]

Термин «функция» был буквально введен Готфридом Лейбницем в письме 1673 года для описания величины, связанной с точками кривой , например координаты или наклона кривой . [9] [10] Иоганн Бернулли начал называть выражения, состоящие из одной переменной, «функциями». В 1698 году он согласился с Лейбницем, что любую величину, сформированную «алгебраическим и трансцендентным образом», можно назвать функцией от x . [11] К 1718 году он стал рассматривать как функцию «любое выражение, состоящее из переменной и некоторых констант». [12] Алексис Клод Клеро (примерно 1734 г.) и Леонард Эйлер.ввел знакомые обозначения для значения функции. [13]

Рассмотренные в то время функции сегодня называются дифференцируемыми функциями . Для этого типа функций можно говорить о пределах и производных; оба являются измерениями выхода или изменения выхода, поскольку это зависит от входа или изменения входа. Такие функции составляют основу исчисления .

Эйлер [ править ]

В первом томе своего фундаментального текста Введении в анализ бесконечно малых , опубликованной в 1748 году, Эйлер дал по существу такое же определение функции как своего учителя Бернулли, как выражение или формулы с участием переменных и констант например, . [14] Собственное определение Эйлера гласит:

Функция переменной величины - это аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из переменного количества и чисел или постоянных величин. [15]

Эйлер также допускал многозначные функции, значения которых определяются неявным уравнением.

Однако в 1755 году в своих Institutiones Calculi Differentialis Эйлер дал более общее понятие функции:

Когда одни величины зависят от других таким образом, что они претерпевают изменение при изменении последних, тогда первые называются функциями вторых. Это имя имеет чрезвычайно широкий характер; он включает в себя все способы, которыми одна величина может быть определена в терминах других. [16]

Медведев [17] считает, что «по сути это определение, которое стало известно как определение Дирихле». Эдвардс [18] также приписывает Эйлеру общее понятие функции и далее говорит, что

Отношения между этими величинами не считаются заданными формулами, но, с другой стороны, они определенно не считаются своего рода общими теоретико-множественными, всевозможными подмножествами пространств продуктов, которые современные математики имеют в виду, когда используют слово «функция».

Фурье [ править ]

В своей « Аналитической теории де ла Шалер» [19] Фурье утверждал, что произвольная функция может быть представлена ​​рядом Фурье . [20] Фурье имел общую концепцию функции, которая включала функции, которые не были непрерывными и не определялись аналитическим выражением. [21] Связанные с этим вопросы о природе и представлении функций, возникающие при решении волнового уравнения для колеблющейся струны, уже были предметом спора между Даламбером и Эйлером, и они оказали значительное влияние на обобщение этого понятия. функции. Лузин отмечает, что:

Современное понимание функции и ее определения, которое нам кажется правильным, могло возникнуть только после открытия Фурье. Его открытие ясно показало, что большинство недоразумений, возникших в дебатах о вибрирующей струне, были результатом смешения двух, казалось бы, идентичных, но на самом деле совершенно разных концепций, а именно концепции функции и концепции ее аналитического представления. Действительно, до открытия Фурье не проводилось различия между понятиями «функция» и «аналитическое представление», и именно это открытие привело к их разъединению. [22]

Коши [ править ]

В 19 веке математики начали формализовать все различные разделы математики. Одним из первых это сделал Коши ; его несколько неточные результаты были позже полностью строгими Вейерштрассом , который выступал за построение исчисления на основе арифметики, а не на геометрии , который предпочитал определение Эйлера определению Лейбница (см. арифметизацию анализа ). Согласно Смитису, Коши считал функции определяемыми уравнениями, включающими действительные или комплексные числа , и молчаливо предполагал, что они непрерывны:

Коши делает некоторые общие замечания о функциях в главе I, разделе 1 своей книги Analyze algébrique (1821). Из того, что он там говорит, ясно, что он обычно рассматривает функцию как определяемую аналитическим выражением (если оно явное) или уравнением или системой уравнений (если оно неявно); Чем он отличается от своих предшественников, так это тем, что он готов рассмотреть возможность того, что функция может быть определена только для ограниченного диапазона независимой переменной. [23]

Лобачевский и Дирихле [ править ]

Николаю Лобачевскому [24] и Питеру Густаву Лежену Дирихле [25] традиционно приписывают независимость, давшую современное «формальное» определение функции как отношения, в котором каждый первый элемент имеет уникальный второй элемент.

Лобачевский (1834) пишет, что

Общее понятие функции требует, чтобы функция x была определена как число, данное для каждого x и постепенно изменяющееся с x . Значение функции может быть задано либо аналитическим выражением, либо условием, которое предоставляет средства проверки всех чисел и выбора одного из них; или, наконец, зависимость может существовать, но оставаться неизвестной. [26]

в то время как Дирихле (1837) пишет

Если теперь единственное конечное y, соответствующее каждому x , и, более того, таким образом, что когда x непрерывно изменяется в интервале от a до b , также непрерывно изменяется, то y называется непрерывной функцией x для этого интервала. Здесь вовсе не обязательно, чтобы y задавался через x по одному и тому же закону на всем интервале, и не обязательно рассматривать его как зависимость, выраженную с помощью математических операций. [27]

Ивс утверждает, что «изучающий математику обычно встречает определение функции Дирихле во вводном курсе математического анализа [28].

Требование Дирихле об этой формализации было оспорено Имре Лакатосом :

В работах Дирихле такого определения нет вообще. Но есть достаточно свидетельств того, что он не имел представления об этой концепции. Например, в своей статье [1837], когда он обсуждает кусочно-непрерывные функции, он говорит, что в точках разрыва функция имеет два значения : ... [29]

Однако Гардинер говорит: «... мне кажется, что Лакатос заходит слишком далеко, например, когда утверждает, что« есть достаточно доказательств того, что [Дирихле] не имел представления о концепции [современной функции] »». [30] Более того, как отмечалось выше, статья Дирихле, похоже, включает определение, аналогичное тому, что ему обычно приписывают, хотя (как и Лобачевский) он формулирует его только для непрерывных функций действительной переменной.

Точно так же Лавин отмечает, что:

Некоторые споры вызывают то, насколько Дирихле заслуживает уважения за современное определение функции, отчасти потому, что он ограничил свое определение непрерывными функциями ... Я считаю, что Дирихле определил понятие непрерывной функции, чтобы прояснить, что нет правила или закон требуется даже в случае непрерывных функций, а не только в целом. Это заслуживает особого внимания, поскольку Эйлер определяет непрерывную функцию как функцию, заданную одним выражением или законом. Но я также сомневаюсь, что есть достаточные доказательства для разрешения спора. [31]

Поскольку Лобачевский и Дирихле считались одними из первых, кто ввел понятие произвольного соответствия, это понятие иногда называют определением функции Дирихле или Лобачевского-Дирихле. [32] Общая версия этого определения была позже использована Бурбаки (1939), и некоторые в образовательном сообществе называют ее определением функции "Дирихле-Бурбаки".

Дедекинд [ править ]

Дьедонне , который был одним из основателей группы Бурбаки, приписывает точное и общее современное определение функции Дедекинду в своей работе Was sind und was sollen die Zahlen , [33] которая появилась в 1888 году, но уже была составлена ​​в 1878. Дьедонне замечает, что вместо того, чтобы ограничиваться, как в предыдущих концепциях, реальными (или сложными) функциями, Дедекинд определяет функцию как однозначное отображение между любыми двумя наборами:

Новым и важным для всей математики была совершенно общая концепция функции . [34]

Харди [ править ]

Hardy 1908 , pp. 26–28 определил функцию как отношение между двумя переменными x и y, такое, что «некоторым значениям x в любом случае соответствуют значения y ». Он не требовал, чтобы функция определялась для всех значений x или связывало каждое значение x с одним значением  y . Это широкое определение функции включает в себя больше отношений, чем обычно считается функциями в современной математике. Например, определение Харди включает многозначные функции и то, что в теории вычислимости называется частичными функциями .

«Функция» логика до 1850 г. [ править ]

Логики того времени в основном занимались анализом силлогизмов (аристотелевские формы 2000-летней давности и др.), Или, как выразился Август де Морган (1847): «исследование той части рассуждения, которая зависит от того, каким образом выводы формируются, а также исследование общих принципов и правил построения аргументов ». [35] В настоящее время понятие (логической) «функции» не является явным, но, по крайней мере, в работе Де Моргана и Джорджа Буля оно подразумевается: мы видим абстракцию форм аргументов, введение переменных, введение символической алгебры относительно этих переменных, а также некоторые понятия теории множеств.

В работе Де Моргана 1847 г. «ФОРМАЛЬНАЯ ЛОГИКА ИЛИ, Исчисление вывода, необходимого и вероятного» отмечается, что «[] логическая истина зависит от структуры утверждения , а не от конкретных вопросов, о которых идет речь»; он не теряет времени (предисловие, стр. i), абстрагируя: «В форме предложения связка сделана столь же абстрактной, как и термины». Он немедленно (стр. 1) преобразует то, что он называет «пропозицией» (современная пропозициональная функция или отношение ), в такую ​​форму, как «X есть Y», где символы X, «есть» и Y представляют, соответственно, субъект , копула и сказуемое. Хотя слово «функция» не появляется, понятие «абстракция» присутствует, «переменные» присутствуют, понятие включения в его символику «все Δ находится в О» (стр. 9) присутствует, и, наконец, новый символизм для логического анализа понятия «отношение» (он использует слово в отношении этого примера «X) Y» (стр. 75)):

«A 1 X) Y Чтобы взять X, необходимо взять Y» [или Чтобы быть X, необходимо быть Y]
«A 1 Y) X Чтобы взять Y, достаточно взять X» [или Чтобы быть Y, достаточно быть X] и т. Д.

В своей работе 1848 года «Природа логики» Бул утверждает, что «логика ... является в более особом смысле наукой о логических рассуждениях», и вкратце обсуждает понятия «принадлежность к» и «класс»: «Человек может обладать большое разнообразие атрибутов и, следовательно, принадлежность к большому количеству различных классов ". [36] Как и Де Морган, он использует понятие «переменной», извлеченное из анализа; он приводит пример «представления класса быков символом x, а лошадей - символом y, соединением и знаком + ... мы могли бы представить совокупный класс волов и лошадей посредством x  +  y ». [37]

В контексте «дифференциального исчисления» Бул определил (около 1849 г.) понятие функции следующим образом:

«Та величина, вариация которой однородна ... называется независимой переменной. Та величина, вариация которой относится к вариации первой, называется функцией от нее. Дифференциальное исчисление позволяет нам в каждом случае перейти от функции до предела. Это он делает с помощью определенной Операции. Но в самой Идеи Операции есть ... идея обратной операции. Выполнение этой обратной операции в данном случае является делом Int [egral] Calculus . " [38]

«Функция» логиков 1850–1950 [ править ]

Ивс отмечает, «что логики пытались еще больше отодвинуть начальный уровень дефиниционного развития математики и вывести теорию множеств или классов на основе логики высказываний и пропозициональных функций». [39] Но к концу 19 века в исследованиях логиков основ математики произошел серьезный раскол. Направление первой группы, логиков , может быть лучше всего охарактеризовано Бертраном Расселом  1903 года: «выполнить две задачи: во-первых, показать, что вся математика следует из символической логики, а во-вторых, чтобы открыть, насколько это возможно, то, что являются принципами самой символической логики ".

Вторая группа логиков, теоретики множеств, возникла на основе «теории множеств» Георга Кантора (1870–1890), но была продвинута вперед отчасти в результате открытия Расселом парадокса, который мог быть выведен из концепции Фреге о «функции». ", но также как реакция на предложенное Расселом решение. [40] Теоретико-множественным ответом Цермело были его Исследования 1908 года по основам теории множеств I - первая аксиоматическая теория множеств ; здесь тоже играет роль понятие «пропозициональная функция».

Джордж Буль « Законы мысли» 1854 г .; Символическая логика Джона Венна 1881 г. [ править ]

В своем исследовании законов мышления Буль теперь определил функцию в терминах символа x следующим образом:

«8. Определение. - Любое алгебраическое выражение, содержащее символ x , называется функцией от x и может быть представлено сокращенной формой f ( x )» [41]

Затем Бул использовал алгебраические выражения для определения как алгебраических, так и логических понятий, например, 1 -  x является логическим НЕ ( x ), xy - логическим AND ( x , y ), x  +  y - логическим OR ( x , y ), x ( x  +  y ) равно xx  +  xy , и «специальный закон» xx = x 2 = x . [42]

В своей символической логике 1881 года Венн использовал слова «логическая функция» и современный символизм ( x = f ( y ), y = f  −1 ( x ), см. Стр. Xxi) плюс круговые диаграммы, исторически связанные с Венном, для описания «отношения классов» [43], понятия «количественная оценка» нашего предиката »,« предложения в отношении их расширения »,« отношение включения и исключения двух классов друг к другу »и« пропозициональная функция »(все на стр. 10), полоса над переменной для обозначения not- x(стр. 43) и т. д. Действительно, он недвусмысленно приравнивал понятие «логическая функция» к «классу» [современное «множество»]: «... с точки зрения, принятой в этой книге, f ( x ) никогда не означает ничего, кроме логический класс. Это может быть составной класс, состоящий из множества простых классов; это может быть класс, обозначенный некоторыми обратными логическими операциями, он может состоять из двух групп классов, равных друг другу, или, что то же самое, их разность объявлена ​​равной нулю, то есть логическим уравнением. Но, как бы составлено или выведено, f ( x ) для нас никогда не будет ничем иным, как общим выражением для таких логических классов вещей, которые могут найти место в обычной логике " . [44]

Begriffsschrift Фреге 1879 г. [ править ]

Фреге «s Begriffsschrift (1879) предшествует Пеано (1889), но Пеано не имело никакого знания Фрега 1879 г. до того как он опубликовал свой 1889. [45] Оба автора под сильное влияние Рассела (1903 г.) . Рассел, в свою очередь, повлиял на большую часть математики и логики 20-го века благодаря своей книге «Основы математики» (1913), написанной совместно с Альфредом Норт Уайтхедом .

С самого начала Фреге отказывается от традиционных «понятий субъект и предикат », заменяя их аргументом и функцией соответственно, которые, по его мнению, «выдержат испытание временем. Легко увидеть, как рассмотрение содержания как функции аргумента приводит к формирование понятий. Кроме того , заслуживает внимания демонстрация связи между значениями слов if, and, not, or, there is, some, all, и т. д. ". [46]

Фреге начинает свое обсуждение «функции» с примера: Начните с выражения [47] «Водород легче углекислого газа». Теперь удалите знак водорода (т. Е. Слово «водород») и замените его знаком кислорода (т. Е. Словом «кислород»); это делает второе заявление. Сделайте это еще раз (используя любое из утверждений) и замените знак азота (т.е. слово «азот») и обратите внимание, что «это изменяет значение таким образом, что« кислород »или« азот »входят в отношения, в которых« водород «стоял раньше». [48] Есть три утверждения:

  • «Водород легче углекислого газа».
  • «Кислород легче углекислого газа».
  • «Азот легче углекислого газа».

Теперь обратите внимание на все три «стабильного компонента, представляющего совокупность [отношений]»; [49] называют это функцией , т. Е.

«... легче углекислого газа» - вот функция.

Фреге называет аргумент функции «[t] знак [например, водород, кислород или азот], рассматриваемый как заменяемый другими, которые обозначают объект, стоящий в этих отношениях». [50] Он отмечает, что мы могли бы получить функцию как «Водород легче, чем ...», с аргументом справа ; точное наблюдение сделал Пеано (подробнее см. ниже). Наконец, Фреге учитывает случай двух (или более) аргументов. Например, удалите «углекислый газ», чтобы получить инвариантную часть (функцию) как:

  • "... легче, чем ..."

Функция с одним аргументом Фреге обобщается в форме Φ (A), где A - аргумент, а Φ () - функция, тогда как функцию с двумя аргументами он символизирует как Ψ (A, B) с аргументами A и B и Ψ (,) функция и предупреждает, что «в общем случае Ψ (A, B) отличается от Ψ (B, A)». Используя свой уникальный символизм, он переводит читателю следующий символизм:

«Мы можем читать | --- Φ (A) как« A обладает свойством Φ. | --- Ψ (A, B) можно перевести как «B стоит в отношении Ψ к A» или «B является результатом применения процедуры Ψ к объекту A». [51]

Пеано Принципы арифметики 1889 г. [ править ]

Пеано определил понятие «функция» примерно так же, как Фреге, но без точности. [52] Сначала Пеано определяет знак «K означает класс или совокупность объектов», [53] объекты которого удовлетворяют трем простым условиям равенства, [54] a = a , ( a = b ) = ( b = a ), ЕСЛИ (( a = b ) И ( b = c )) ТО ( a = c ). Затем он вводит φ, «знак или совокупность знаков, таких что, если x является объектом классаs , выражение φ x обозначает новый объект ". Пеано добавляет к этим новым объектам два условия: во-первых, что для объектов φ x выполняются три условия равенства ; во-вторых," если x и y являются объектами класса s и если x = y , мы предполагаем, что можно вывести φ x = φ y ". [55] Если все эти условия выполнены, φ является" предварительным знаком функции ". Точно так же он определяет" пост-знак функции ". Например, если φ - функция presign a +, тогда φ x дает a + x, или если φ - функция postign + a, то x φ дает x + a . [54]

Принципы математики Бертрана Рассела 1903 г. [ править ]

Хотя влияние Кантора и Пеано было превалирующим, [56] в Приложении А «Логические и арифметические доктрины Фреге» к «Принципам математики» Рассел приходит к обсуждению концепции функции Фреге , «... точке, в которой Работа Фреге очень важна и требует внимательного изучения ». [57] В ответ на его обмен письмами с Фреге в 1902 году о противоречии, обнаруженном им в Begriffsschrift Фреге, Рассел в последний момент добавил к этому разделу.

Для Рассела сбивает с толку понятие «переменной»: «6. Математические предложения характеризуются не только тем, что они утверждают импликации, но и тем фактом, что они содержат переменные . Понятие переменной - одно из самых трудных. с которой должна иметь дело логика. Пока же я открыто хочу прояснить, что есть переменные во всех математических предложениях, даже там, где на первый взгляд они могут показаться отсутствующими ... Мы всегда найдем, во всех математических предложениях. предложения, что слова any или some встречаются, и эти слова являются знаками переменной и формальной импликацией ". [58]

Как выразился Рассел, «процесс преобразования констант в предложении в переменные приводит к тому, что называется обобщением, и дает нам, так сказать, формальную сущность предложения ... Пока любой термин в нашем предложении может быть обращен в переменную, наше предложение может быть обобщено, и пока это возможно, это дело математики »; [59] эти обобщения Рассел назвал пропозициональными функциями ». [60] Действительно, он цитирует и цитирует« Begriffsschrift » Фреге и представляет яркий пример из« Function und Begriff » Фреге 1891 года :« Суть арифметической функции 2 x 3  +  xэто то, что остается при удалении x , то есть в приведенном выше примере 2 () 3  + (). Аргумент x не принадлежит функции, но два, взятые вместе, составляют единое целое ». [57] Рассел согласился с понятием« функция »Фреге в одном смысле:« Он рассматривает функции - и в этом я согласен с ним - как нечто большее. фундаментальнее, чем предикаты и отношения », но Рассел отверг« теорию субъекта и утверждения »Фреге, в частности,« он думает, что, если термин а встречается в предложении, предложение всегда может быть проанализировано на а и утверждение о а ». [ 57]

Эволюция концепции Рассела о «функции» 1908–1913 [ править ]

Рассел продолжил свои идеи в своей книге « Математическая логика, основанная на теории типов» 1908 года и в своих и Уайтхедских « Основах математики » 1910–1913 годов . Ко времени создания Principia Mathematica Рассел, как и Фреге, считал пропозициональную функцию фундаментальной: «Пропозициональные функции - это фундаментальный вид, от которого исходят более обычные виды функций, такие как« sin x »или log x, или« отец x ». производные. Эти производные функции ... называются "описательными функциями". Функции высказываний ... являются частным случаем пропозициональных функций ". [61]

Пропозициональные функции : поскольку его терминология отличается от современной, читатель может быть сбит с толку «пропозициональной функцией» Рассела. Пример может помочь. Рассел пишет пропозициональную функцию в ее необработанном виде, например, как φŷ : « ŷ обижен». (Обратите внимание на циркумфлекс или "шляпу" над переменной y ). В нашем примере мы присвоим переменной ŷ всего 4 значения: «Боб», «Эта птица», «Кролик Эмили» и « y ». Замена одного из этих значений для переменной Y дает предложение; это предложение называется «значением» пропозициональной функции. В нашем примере есть четыре значения пропозициональной функции, например, «Боб ранен», «Эта птица ранена», «Кролик Эмили ранен» и « Y ранен». Суждение, если значительная -ie, если его истинность является детерминированным -обладает истинностное значение от истины или ложности . Если значение истинности предложения - это «истина», то считается, что значение переменной удовлетворяет пропозициональной функции. Наконец, согласно определению Рассела, « класс[набор] - это все объекты, удовлетворяющие некоторой пропозициональной функции »(стр. 23). Обратите внимание на слово« все »- так современные понятия« Для всех »и« существует хотя бы один экземпляр »входят в трактовку ( стр.15).

Продолжая пример: предположим (вне математики / логики) кто-то определяет, что утверждения «Боб ранен» имеют значение истинности «ложь», «Эта птица ранена» имеет значение истинности «истина», «Эмили кролик ранен "имеет неопределенное значение истинности, потому что" кролик Эмили "не существует, а" y ранен "неоднозначно относительно его истинностного значения, потому что сам аргумент y неоднозначен. Хотя два утверждения «Боб ранен» и «Эта птица ранен» значимы (оба имеют значения истинности), только значение «Эта птица» переменной ŷ удовлетворяет пропозициональной функции φŷ : »ŷ обижен ". Когда переходят к образованию класса α: φŷ: « ŷ ранен», включается только «Эта птица», учитывая четыре значения «Боб», «Эта птица», «Кролик Эмили» и « y » для переменной ŷ и их соответствующие значения истинности: ложь, истина , неопределенный, неоднозначный.

Рассел определяет функции предложений с аргументами и функции истинности f ( p) . [62] Например, предположим, что кто-то должен был сформировать «функцию предложений с аргументами» p 1 : «НЕ ( p ) И q » и присвоить ее переменным значения p : «Боб ранен» и q : «Эта птица больно ". (Мы ограничены логическими связями НЕ, И, ИЛИ и ПОДРАЗУМЕВАЕТСЯ, и мы можем только присвоить «значимые» предложения переменным p и q ). Тогда «функция предложений с аргументами» равна p 1: NOT («Боб ранен») И «Эта птица ранена». Чтобы определить значение истинности этой «функции высказываний с аргументами», мы отправляем ее в «функцию истинности», например, f ( p 1 ): f (НЕ («Боб ранен») И «Эта птица ранена») , что дает значение истинности "истина".

Понятие функционального отношения «многие-одно» : Рассел сначала обсуждает понятие «тождество», затем определяет описательную функцию (стр. 30ff) как уникальное значение ιx, которое удовлетворяет (2-вариативной) пропозициональной функции (т. Е. «отношение») φŷ .

NB . Следует предупредить читателя, что порядок переменных обратный! y - независимая переменная, а x - зависимая переменная, например, x = sin ( y ). [63]

Рассел символизирует описательную функцию как «объект, стоящий по отношению к y »: R'y = DEF ( ιx ) ( x R y ). Рассел повторяет, что « R'y является функцией y , но не пропозициональной функцией [sic]; мы будем называть ее описательной функцией. Все обычные функции математики относятся к этому типу. Таким образом, в нашем обозначении« sin  y »будет должно быть написано «грех  у », а «грех» будет обозначать отношение греха  у к у ». [64]

«Функция» формалиста: аксиоматизация математики Дэвидом Гильбертом (1904–1927) [ править ]

Дэвид Гильберт поставил перед собой цель «формализовать» классическую математику »как формальную аксиоматическую теорию, и эта теория должна быть доказана непротиворечивой , т. Е. Свободной от противоречий». [65] В «Основах математики» Гильберта 1927 он формулирует понятие функции в терминах существования «объекта»:

13. A (a) -> A (ε (A)) Здесь ε (A) обозначает объект, для которого утверждение A (a) заведомо верно, если оно верно для любого объекта; назовем ε логической ε-функцией ». [66] [Стрелка указывает« подразумевает ».]

Затем Гильберт иллюстрирует три способа использования ε-функции, во-первых, как понятия «для всех» и «существует», во-вторых, для представления «объекта, которого [утверждение] имеет место», и, наконец, как преобразовать это в функцию выбора .

Теория рекурсии и вычислимость . Но неожиданным результатом усилий Гильберта и его ученика Бернейса стала неудача; см. теоремы Гёделя о неполноте 1931 года. Примерно в то же время, пытаясь решить Entscheidungsproblem Гильберта , математики приступили к определению того, что подразумевается под «эффективно вычислимой функцией» ( Alonzo Church 1936), то есть «эффективным методом» или алгоритм », то есть явная пошаговая процедура, с помощью которой можно успешно вычислить функцию. Различные модели алгоритмов появились в быстрой последовательности, в том числе церкви лямбда - исчисления (1936), Стивен Клини 's μ-рекурсивные функции(1936) и идея Алана Тьюринга (1936–197) о замене человеческих «компьютеров» полностью механическими «вычислительными машинами» (см. Машины Тьюринга ). Было показано, что все эти модели могут вычислять один и тот же класс вычислимых функций . Тезис Чёрча утверждает, что этот класс функций исчерпывает все теоретико-числовые функции, которые могут быть вычислены с помощью алгоритма. Результатом этих усилий стала яркая демонстрация того, что, по словам Тьюринга, «не может быть общего процесса для определения, доказуема ли данная формула U функционального исчисления K [ Principia Mathematica ]»;[67] подробнее наНезависимость (математическая логика) и теория вычислимости .

Разработка теоретико-множественного определения «функции» [ править ]

Теория множеств началась с работы логиков с понятием «класс» (современное «множество»), например Де Морган (1847) , Джевонс (1880), Венн (1881) , Фреге (1879) и Пеано (1889) . Толчком к этому послужила попытка Георга Кантора определить бесконечное в теоретико-множественной трактовке (1870–1890) и последующее открытие антиномии (противоречия, парадокса) в этой трактовке ( парадокс Кантора ) открытием Рассела (1902 г.) ) антиномии Фреге 1879 г. ( парадокс Рассела ), открыв больше антиномий в начале 20-го века (например,парадокс Бурали-Форти 1897 г. и парадокс 1905 г.Ричард парадокс ), и сопротивлением сложному подходу Рассела к логике [68] и неприязнью к его аксиоме сводимости [69] (1908, 1910–1913), которую он предложил в качестве средства уклонения от антиномий.

Парадокс Рассела 1902 г. [ править ]

В 1902 году Рассел послал Фреге письмо, в котором указывал, что Begriffsschrift Фреге 1879 года позволяет функции быть аргументом самой себя: «С другой стороны, также может быть, что аргумент является определенным, а функция - неопределенной ...» [70 ] Из этой неограниченной ситуации Рассел смог сформировать парадокс:

«Вы утверждаете ... что функция тоже может действовать как неопределенный элемент. Раньше я верил в это, но теперь эта точка зрения кажется мне сомнительной из-за следующего противоречия. Пусть w будет предикатом: быть предикатом, который не может быть основанным на себе. Может ли мы быть основаны на самом себе? " [71]

Фреге сразу же ответил: «Ваше открытие противоречия вызвало у меня величайшее удивление и, я бы сказал, ужас, поскольку оно пошатнуло основу, на которой я намеревался строить арифметику». [72]

С этого момента дальнейшее развитие основ математики стало упражнением в том, как избежать «парадокса Рассела», сформулированного в «голых [теоретико-множественных] понятиях множества и элемента». [73]

Теория множеств Цермело (1908 г.) в модификации Сколема (1922 г.) [ править ]

Понятие «функция» появляется как аксиома III Цермело - Аксиома разделения (Axiom der Aussonderung). Эта аксиома вынуждает нас использовать пропозициональную функцию Φ ( x ) для «отделения» подмножества M Φ от ранее сформированного множества M :

«АКСИОМА III. (Аксиома разделения). Когда пропозициональная функция Φ ( x ) определена для всех элементов множества M , M обладает подмножеством M Φ, содержащим в качестве элементов в точности те элементы x из M, для которых Φ ( x ) является правда". [74]

Поскольку не существует универсального множества - множества происходят посредством Аксиомы II из элементов (не установленной) области B - «... это устраняет антиномию Рассела, насколько это касается нас». [75] Но «определенный критерий» Цермело неточен и установлен Вейлем , Френкелем , Сколемом и фон Нейманом . [76]

Фактически Сколем в своем 1922 году назвал этот «определенный критерий» или «свойство» «определенным утверждением»:

«... конечное выражение, построенное из элементарных предложений формы a ε b или a = b с помощью пяти операций [логическая конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, универсальная квантификация и экзистенциальная квантификация]. [77]

ван Хейеноорт резюмирует:

«Свойство является определенным в смысле Сколема, если оно выражается ... хорошо сформированной формулой в простом исчислении предикатов первого порядка, в котором единственными константами предиката являются ε и, возможно, =. ... Сегодня аксиоматизация множества Теория обычно включается в логическое исчисление, и обычно применяется подход Вейля и Сколема к формулировке аксиомы разделения [78].

В этой цитате читатель может заметить сдвиг в терминологии: нигде не упоминается понятие «пропозициональная функция», а скорее встречаются слова «формула», «исчисление предикатов», «предикат» и «логическое исчисление». Этот сдвиг в терминологии более подробно обсуждается в разделе, посвященном «функции» в современной теории множеств.

Определение «упорядоченной пары» Винера – Хаусдорфа – Куратовского 1914–1921 гг. [ Править ]

История возникновения понятия « упорядоченная пара » не ясна. Как отмечалось выше, Фреге (1879) предложил интуитивный порядок в своем определении функции двух аргументов Ψ (A, B). Норберт Винер в своей работе 1914 года (см. Ниже) отмечает, что его собственная трактовка, по сути, «возвращается (я) к трактовке отношения Шредером как класса упорядоченных пар». [79] Рассел (1903) рассматривал определение отношения (например, Ψ (A, B)) как «класс пар», но отверг его:

«Существует соблазн рассматривать отношение как определяемое в расширении как класс пар. Это формальное преимущество, заключающееся в том, что оно позволяет избежать необходимости в примитивном утверждении, утверждающем, что каждая пара не имеет отношения, поддерживаемого никакими другими парами терминов. Но оно необходимо, чтобы придать смысл паре, чтобы отличить референт [ область ] от relatum [ обратная область ]: таким образом, пара становится существенно отличной от класса двух терминов, и сама должна быть представлена ​​как примитивная идея ... Поэтому кажется более правильным взглянуть на отношения интенсионально и отождествлять их скорее с концепциями классов, чем с классами ". [80]

К 1910–1913 гг. И Principia Mathematica Рассел отказался от требования интенсионального определения отношения, заявив, что «математика всегда занимается расширениями, а не интенсионалами» и «Отношения, как и классы, следует рассматривать в расширении ». [81] Чтобы продемонстрировать понятие отношения в расширении, Рассел теперь принял понятие упорядоченной пары : «Мы можем рассматривать отношение ... как класс пар ... отношение, определяемое функцией φ ( x, y ), является класс пар ( x, y ), для которых верно φ ( x, y ) ». [82] В сноске он разъяснил свое понятие и пришел к такому определению:

«Такая пара имеет смысл , то есть пара ( x, y ) отличается от пары ( y, x ), если только x  =  y . Мы будем называть ее« парой со смыслом »... она также может быть назвал упорядоченную пару . [82]

Но он продолжает говорить, что не будет вводить упорядоченные пары дальше в свое «символическое лечение»; он предлагает вместо них свою «матрицу» и свою непопулярную аксиому сводимости.

Попытка решить проблему антиномий привела к тому, что Рассел предложил свою «доктрину типов» в приложении B к его «Основам математики» 1903 года . [83] Через несколько лет он уточнил это понятие и предложил в своей Теории типов 1908 года две аксиомы сводимости , цель которых заключалась в сведении (с одной переменной) пропозициональных функций и (с двумя переменными) отношений к " низшая "форма (и в конечном итоге в полностью экстенсиональную форму); он и Альфред Норт Уайтхед перенесут это рассмотрение в Principia Mathematica 1910–1913 с дальнейшим уточнением, названным «матрицей». [84]Первая аксиома * 12.1; второй * 12.11. По словам Винера, вторая аксиома * 12.11 «задействована только в теории отношений». [85] Обе аксиомы, однако, были встречены скептицизмом и сопротивлением; подробнее см. Аксиома сводимости . К 1914 году Норберт Винер, используя символизм Уайтхеда и Рассела, устранил аксиому * 12.11 («двухвариантную» (реляционную) версию аксиомы сводимости), выразив отношение как упорядоченную пару с использованием нулевого множества. Примерно в то же время Хаусдорф (1914, стр. 32) дал определение упорядоченной пары ( a , b ) как {{ a , 1}, { b , 2}}. Несколько лет спустя Куратовский(1921) предложил определение, которое широко используется с тех пор, а именно {{ a , b }, { a }} ». [86] Как отмечает Suppes (1960) « Это определение. . . исторически важен для сведения теории отношений к теории множеств. [87]

Заметим, что, хотя Винер «сокращал» реляционную форму * 12.11 аксиомы сводимости, он не уменьшал и не изменял иным образом форму пропозициональной функции * 12.1; действительно, он заявил, что это «необходимо для обращения с идентичностью, описаниями, классами и отношениями». [88]

Понятие Шенфинкеля о «функции» как о «соответствии», состоящем из множества единиц, 1924 г. [ править ]

Неясно, откуда происходит общее понятие «функция» как соответствие «многие-один». Рассел в своем « Введении в математическую философию » ( 1920 г.) утверждает, что «следует отметить, что все математические функции в результате образуют отношения один-многие [sic - современное употребление - много-один] ... Функции в этом смысле являются описательными функциями». [89] Разумной возможностью является понятие «описательной функции» в « Принципах математики » - R 'y = DEF (ι x ) ( x R y ): «особый объект, имеющий отношение R к y ». Как бы то ни было, к 1924 годуМоисей Шенфинкель выразил эту идею, заявив, что она «хорошо известна»:

"Как хорошо известно, под функцией мы понимаем в простейшем случае соответствие между элементами некоторой области величин, области аргументов и элементами области значений функции ... таким образом, что каждому значению аргумента соответствует самое большее одно значение функции ». [90]

Согласно Уилларду Куайну , Schönfinkel 1924 «обеспечивает [s] ... весь спектр абстрактной теории множеств. Суть вопроса в том, что Schönfinkel позволяет функциям выступать в качестве аргументов. функций. Они являются пропозициональными функциями, функциями, значениями которых являются истинностные значения. Все функции, пропозициональные и прочие, относятся к одноместным функциям Шенфинкеля ". [91] Примечательно, что Шенфинкель сводит всю математику к чрезвычайно компактному функциональному исчислению, состоящему всего из трех функций: постоянства, слияния (т. Е. Композиции) и взаимной исключительности. Куайн отмечает, что Хаскелл Карри (1958) продолжил эту работу «под руководствомкомбинаторная логика ». [92]

Теория множеств фон Неймана, 1925 г. [ править ]

К 1925 году Абрахам Френкель (1922) и Торальф Сколем (1922) внесли поправки в теорию множеств Цермело 1908 года. Но фон Нейман не был убежден, что эта аксиоматизация не может привести к антиномиям. [93] Таким образом, он предложил свою собственную теорию, свою аксиоматизацию теории множеств в 1925 году . [94] Он явно содержит «современную» теоретико-множественную версию понятия «функция»:

«[В отличие от теории множеств Цермело] [мы] мы предпочитаем, однако, аксиоматизировать не« набор », а« функцию ». Последнее понятие, безусловно, включает первое. (Точнее, эти два понятия полностью эквивалентны, поскольку функция может быть рассматривается как набор пар, а набор как функция, которая может принимать два значения.) ". [95]

Вначале он начинает с I-объектов и II-объектов , двух объектов A и B, которые являются I-объектами (первая аксиома), и двух типов «операций», которые предполагают упорядочение как структурное свойство [96], полученное из результирующих объекты [ x , y ] и ( x , y ). Две «области объектов» называются «аргументами» (I-объекты) и «функциями» (II-объекты); где они перекрываются, - это «функции аргументов» (он называет их объектами I-II). Он вводит две «универсальные операции с двумя переменными» - (i) операцию [ x , y ]: «... читать»значение функции xдля аргумента y . . . он сам является объектом типа I "и (ii) операцией ( x , y ):". . . (читайте «упорядоченная пара x , y» ), переменные x и y которой должны быть аргументами, и она сама производит аргумент ( x , y ). Его наиболее важным свойством является то, что x 1 = x 2 и y 1 = y 2 следуют из ( x 1 = y 2 ) = ( x 2 = y 2) ". Чтобы прояснить пару функций, он отмечает, что" вместо f ( x ) мы пишем [ f, x ], чтобы указать, что f , как и x , следует рассматривать как переменную в этой процедуре ". Чтобы избежать" антиномии наивной теории множеств, в первую очередь Рассела. . . мы должны отказаться от трактовки определенных функций как аргументов ». [97] Он заимствует идею Цермело, чтобы ограничить эти« определенные функции ». [98]

Суппес [99] отмечает, что аксиоматизация фон Неймана была модифицирована Бернейсом «для того, чтобы оставаться ближе к исходной системе Цермело ... Он ввел два отношения принадлежности: одно между множествами, другое - между множествами и классами». Затем Гёдель [1940] [100] дополнительно модифицировал теорию: «его примитивные понятия - это понятия множества, класса и членства (хотя одного членства достаточно)». [101] Эта аксиоматизация теперь известна как теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя .

Бурбаки 1939 [ править ]

В 1939 году Бурбаки , в дополнение к хорошо известному определению функции упорядоченной парой как некоторого подмножества декартова произведения E × F , дал следующее:

«Пусть E и F - два множества, которые могут быть или не быть различными. Отношение между переменным элементом x из E и переменным элементом y из F называется функциональным отношением в y, если для всех x ∈ E существует единственный y ∈ F, который находится в данном отношении с x . Мы даем имя функции операции, которая таким образом ставит в соответствие каждому элементу x ∈ E элемент y ∈ F, находящийся в данном отношении с x, а функция определяется заданным функциональным соотношением. Два эквивалентных функциональных отношения определяют одну и ту же функцию ».

С 1950 г. [ править ]

Понятие «функция» в современной теории множеств [ править ]

Как аксиоматические, так и наивные формы теории множеств Цермело в модификации Френкеля (1922) и Сколема (1922) определяют «функцию» как отношение, определяют отношение как набор упорядоченных пар и определяют упорядоченную пару как набор из двух ». ассиметричные »наборы.

В то время как читатель Suppes (1960) Axiomatic Set Theory или Halmos (1970) Naive Set Theory наблюдает за использованием функционально-символизма в аксиоме разделения , например, φ ( x ) (в Suppes) и S ( x ) (в Halmos) ), они не увидят упоминания о «пропозиции» или даже о «исчислении предикатов первого порядка». На их место приходят « выражения объектного языка», «атомарные формулы», «примитивные формулы» и «атомарные предложения».

Клини (1952) определяет слова следующим образом: «В словесных языках пропозиция выражается предложением. Тогда« предикат »выражается неполным предложением или скелетом предложения, содержащим открытое место. Например,« ___ - это мужчина ». «выражает предикат ... Предикат - это пропозициональная функция одной переменной . Предикаты часто называют« свойствами »... Исчисление предикатов будет рассматривать логику предикатов в этом общем смысле слова« предикат », т. е. как пропозициональную функция ". [102]

В 1954 году Бурбаки на с. 76 в главе II Theorie des Ensembles (теория множеств) дал определение функции как тройки f = ( F , A , B ). [103] Здесь F - функциональный граф , означающий набор пар, в которых нет двух пар, имеющих одинаковый первый член. На стр. 77 ( указ. Соч. ) Бурбаки утверждает (дословный перевод): «Часто в оставшейся части этого Трактата мы будем использовать слово функция вместо функционального графа ».

Suppes (1960) в « Аксиоматической теории множеств» формально определяет отношение (стр. 57) как набор пар, а функцию (стр. 86) - как отношение, в котором никакие две пары не имеют одного и того же первого члена.

Реляционная форма функции [ править ]

Причина исчезновения слов «пропозициональная функция», например, в Suppes (1960) и Halmos (1970) , объясняется Тарским (1946) вместе с дальнейшим объяснением терминологии:

"Выражение, такое как x, является целым числом , которое содержит переменные и при замене этих переменных константами становится предложением, называется СЕНЦИАЛЬНОЙ [то есть пропозициональной по его индексу] ФУНКЦИЕЙ. Но математики, кстати, не очень любят это выражение, потому что они используют термин "функция" в другом значении. ... сентенциальные функции и предложения, состоящие полностью из математических символов (а не слов повседневного языка), такие как: x  +  y = 5, обычно упоминаются математиками как ФОРМУЛЫ. Вместо «сентенциальной функции» мы иногда будем просто говорить «предложение» - но только в тех случаях, когда нет опасности какого-либо недопонимания ». [104]

Со своей стороны, Тарский называет реляционную форму функции «ФУНКЦИОНАЛЬНЫМ ОТНОШЕНИЕМ или просто ФУНКЦИЕЙ». [105] После обсуждения этого «функционального отношения» он утверждает, что:

«Концепция функции, которую мы сейчас рассматриваем, существенно отличается от концепций сентенционального [пропозиционального] и обозначающей функции ... Строго говоря ... [они] не относятся к области логики или математики; они обозначают определенные категории выражений, которые служат для составления логических и математических утверждений, но они не обозначают вещи, о которых говорится в этих утверждениях ... Термин "функция" в его новом смысле, с другой стороны, является выражением некоторого чисто логический характер; он обозначает определенный тип вещей, которыми занимаются в логике и математике ». [106]

Узнайте больше о «истине под интерпретацией» у Альфреда Тарски .

Заметки [ править ]

  1. ^ Кац, Виктор; Бартон, Билл (октябрь 2007 г.). «Этапы истории алгебры с последствиями для обучения». Образовательные исследования по математике . 66 (2): 192. DOI : 10.1007 / s10649-006-9023-7 . S2CID  120363574 .
  2. Перейти ↑ Dieudonné 1992 , p. 55.
  3. ^ «Возникновение понятия функции как индивидуализированной математической сущности можно проследить до истоков исчисления бесконечно малых». ( Понте 1992 )
  4. ^ «... хотя мы не находим у [математиков Древней Греции] идеи функциональной зависимости, выделенной в явной форме как сравнительно независимый объект исследования, тем не менее нельзя не отметить большой запас функциональных соответствий, которые они изучали». ( Медведев 1991 , с. 29–30).
  5. ↑ Понте, 1992 .
  6. Перейти ↑ Gardiner 1982 , p. 255.
  7. Перейти ↑ Gardiner 1982 , p. 256.
  8. Перейти ↑ Kleiner, Israel (2009). «Эволюция концепции функции: краткий обзор» . В Марлоу Андерсоне; Виктор Кац; Робин Уилсон (ред.). Кто дал вам Эпсилон ?: И другие рассказы математической истории . MAA. С. 14–26. ISBN 978-0-88385-569-0.
  9. ^ О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "История концепции функции" , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.
  10. ^ Ева датирует первое использование Лейбница 1694 годом и также связывает это использование с термином «как термин для обозначения любой величины, связанной с кривой, такой как координаты точки на кривой, наклон кривой и т. Д. "( Eves 1990 , стр. 234).
  11. ↑ Н. Бурбаки (18 сентября 2003 г.). Элементы математики Функции действительной переменной: элементарная теория . Springer Science & Business Media. С. 154–. ISBN 978-3-540-65340-0.
  12. ^ ЕВ 1990 , с. 234.
  13. ^ ЕВ 1990 , с. 235.
  14. ^ ЕВ 1990 , с. 235
  15. ^ Эйлер 1988 , стр. 3.
  16. ^ Эйлер 2000 , стр. VI.
  17. ↑ Медведев 1991 , с. 47.
  18. ^ Эдвардс 2007 , стр. 47.
  19. ^ Фурье 1822 .
  20. ^ Современные математики, с гораздо более широкими и более точными концепциями функций, интеграции и различными понятиями конвергенции, чем это было возможно во времена Фурье (включая примеры функций, которые считались патологическими и назывались «монстрами» до самого последнего времени. 20 века), не согласился бы с Фурье в том, что полностью произвольную функцию можно разложить в ряд Фурье, даже если ее коэффициенты Фурье хорошо определены. Например, Колмогоров(1922) построил интегрируемую по Лебегу функцию, ряд Фурье которой поточечно расходится почти всюду. Тем не менее, очень широкий класс функций может быть расширен в ряды Фурье, особенно если допускаются более слабые формы сходимости, такие как сходимость в смысле распределений. Таким образом, требование Фурье было разумным в контексте его времени.
  21. ^ Например: «Общая функция f (x) - это последовательность значений или ординат, каждое из которых является произвольным ... Ни в коем случае не предполагается, что эти ординаты подчиняются какому-либо общему закону; они могут следовать друг за другом в совершенно произвольным образом, и каждый из них определяется как уникальная величина ». ( Фурье 1822 , стр. 552)
  22. ↑ Лузин 1998 , с. 263. Перевод Эйба Шеницера статьи Лузина, появившейся (в 1930-е гг.) В первом издании Большой Советской Энциклопедии.
  23. ^ Смитис 1997 , стр. 187.
  24. ↑ «Об исчезновении тригонометрических рядов», 1834 г. ( Лобачевский, 1951 , стр. 31–80).
  25. ^ Über умереть Darstellung Ganz willkürlicher Funktionen Durch Sinus- унд Cosinusreihen,»1837 ( Дирихль 1889 , стр. 135-160).
  26. ↑ Лобачевский, 1951 , с. 43, как процитировано у Медведева 1991 , с. 58.
  27. ↑ Dirichlet 1889 , стр. 135, как процитировано у Медведева 1991 , стр. 60–61.
  28. ^ Евс утверждает, что Дирихле «пришел к следующей формулировке:» [понятие] переменная - это символ, который представляет любое одно из набора чисел; если две переменные x и y так связаны, что всякий раз, когда значение присваивается x, автоматически присваивается значение y по некоторому правилу или соответствию, тогда мы говорим, что y является (однозначной) функцией от x. Переменная x . . . называется независимой переменной, а переменная y называется зависимой переменной. Допустимые значения, которыеможет принимать x, составляютобласть определения функции, а значения, принимаемые y, составляют диапазон значений функции. . . он подчеркивает основную идею взаимосвязи между двумя наборами чисел » Eves 1990 , p. 235
  29. Перейти ↑ Lakatos, Imre (1976). Уорролл, Джон; Захар, Эли (ред.). Доказательства и опровержения . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 151. ISBN. 0-521-29038-4. Опубликован посмертно.
  30. Перейти ↑ Gardiner, A. (1982). Понимание бесконечности, математика бесконечных процессов . Courier Dover Publications. п. 275. ISBN 0-486-42538-X.
  31. ^ Lavine 1994 , стр. 34.
  32. ↑ См. Медведев 1991 , стр. 55–70 для дальнейшего обсуждения.
  33. ^ «К отображению φ множества S мы понимаем законкоторый присваивает каждый элемент s из S однозначно определенный объектназываемым образом из х , обозначаемогокачестве ф ( х ). Дедекиндовости 1995 , стр. 9
  34. Перейти ↑ Dieudonné 1992 , p. 135.
  35. ↑ Де Морган 1847 , стр. 1.
  36. ↑ Boole 1848 в Grattan-Guinness & Bornet 1997 , стр. 1, 2
  37. Перейти ↑ Boole 1848 in Grattan-Guinness & Bornet 1997 , p. 6
  38. ^ Бул около 1849 г. Элементарный трактат по логике, а не математике, включая философию математических рассуждений в Grattan-Guinness & Bornet 1997 , p. 40
  39. ^ ЕВ 1990 , с. 222.
  40. ^ Некоторые из этих критических замечаний являются интенсивными: см. Введение Уилларда Куайна, предшествующего Russell 1908a. Математическая логика как основанная на теории типов у van Heijenoort 1967 , p. 151. Смотрите также в фон Неймана 1925 предисловии к Аксиоматизация теории множеств в Хейенорта 1967 , с. 395
  41. Перейти ↑ Boole 1854 , p. 86.
  42. ^ ср. Boole 1854 , стр. 31–34. Буль обсуждает этот «особый закон» с его двумя алгебраическими корнями x = 0 или 1 на стр. 37.
  43. ↑ Хотя он и доверяет другим, см. Venn 1881 , p. 6
  44. Перейти ↑ Venn 1881 , pp. 86–87.
  45. ^ Введение Cf Хейенорта к Пеан 1889 г. в Хейенорте 1967 . Для большей части своего логического символизма и представлений о предложениях Пеано считает «многих писателей, особенно Буля». В сноске 1 он ссылается на Буля 1847, 1848, 1854, Шредера 1877, Пирса 1880, Джевонса 1883, Макколла 1877, 1878, 1878a, 1880; cf van Heijenoort 1967 , стр. 86).
  46. ↑ Frege 1879 в van Heijenoort 1967 , стр. 7
  47. ^ Точные слова Фреге «выражены на нашем языке формул» и «выражение», ср. Frege 1879 in van Heijenoort 1967 , pp. 21–22.
  48. ↑ Этот пример взят из Frege 1879 в van Heijenoort 1967 , стр. 21–22.
  49. ↑ Frege 1879 в van Heijenoort 1967 , стр. 21–22
  50. ^ Фреге предупреждает, что функция будет иметь «места аргументов», где аргумент должен быть помещен, в отличие от других мест, где может появиться тот же знак. Но он не углубляется в то, как обозначать эти позиции, и Russell 1903 замечает это.
  51. ↑ Frege 1879 в van Heijenoort 1967 , стр. 21–24
  52. ^ "... Пеано намеревается охватить гораздо больше земли, чем Фреге в его Begriffsschrift и его последующих работах, но он не обрабатывает эту землю до какой-либо глубины, сравнимой с тем, что делает Фреге в его самостоятельно выделенной области", van Heijenoort 1967 , п. 85
  53. ^ Хейенорт 1967 , стр. 89.
  54. ^ a b van Heijenoort 1967 , стр. 91.
  55. ^ Все используемые здесь символы взяты из Пеано 1889 г. в ван Хейенорте 1967 г. , стр. 91).
  56. ^ «В математике мои главные обязанности, как это действительно очевидно, - перед Георгом Кантором и профессором Пеано. Если бы я познакомился раньше с работами профессора Фреге, я был бы в долгу перед ним, но так как это я независимо пришел ко многим результатам, которые он уже установил », Russell 1903 , p. viii. Он также выделяет « Законы мышления» Буля 1854 г. итри тома «непианских методов» Эрнста Шредера 1890, 1891 и 1895 гг. Ср. Russell 1903 , с. 10
  57. ^ a b c Рассел 1903 , стр. 505.
  58. Перейти ↑ Russell 1903 , pp. 5–6.
  59. Перейти ↑ Russell 1903 , p. 7.
  60. Перейти ↑ Russell 1903 , p. 19.
  61. ^ Рассел 1910–1913: 15
  62. ^ Уайтхед и Рассел 1910–1913: 6, 8 соответственно
  63. ↑ Нечто подобное появляется в Tarski 1946 . Тарский называет «реляционную функцию» «ОДНОМНОГО [sic!] Или ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ СВЯЗЬ, или просто ФУНКЦИЯ». Тарский комментирует это обращение переменных на странице 99.
  64. ^ Уайтхед и Рассел 1910–1913: 31. Этот документ настолько важен, что ван Хейеноорт перепечатал его как Whitehead & Russell 1910 Неполные символы: описания с комментариями У. В. Куайна в van Heijenoort 1967 , стр. 216–223
  65. Перейти ↑ Kleene 1952 , p. 53.
  66. ^ Гильберт в Хейенорте 1967 , с. 466
  67. ^ Тьюринг 1936-7 в Дэвисе, Мартине (1965). Неразрешимое: основные статьи о неразрешимых предложениях, неразрешимых проблемах и вычислимых функциях . Courier Dover Publications. п. 145. ISBN 978-0-486-43228-1.
  68. Перейти ↑ Kleene 1952 , p. 45.
  69. ^ «Непримитивный и произвольный характер этой аксиомы вызвал резкую критику, и большая часть последующего уточнения логистической программы заключается в попытках разработать какой-либо метод, позволяющий избежать нелюбимой аксиомы сводимости» Eves 1990 , p. 268.
  70. ↑ Frege 1879 в van Heijenoort 1967 , стр. 23
  71. Перейти ↑ Russell (1902) Letter to Frege in van Heijenoort 1967 , p. 124
  72. ↑ Frege (1902) Письмо Расселу в ван Хейеноорте 1967 , стр. 127
  73. ^ Комментарии Хейенорта к Рассел Письму к Фрегу в Хейенорте 1967 , с. 124
  74. ^ В оригинале используется древневерхненемецкий символ вместо Φ cf Zermelo 1908a в van Heijenoort 1967 , p. 202
  75. ^ Цермело 1908о в Хейенорте 1967 , с. 203
  76. ^ см. комментарий ван Хейенорта до Цермело 1908 г. Исследования основ теории множеств I в ван Хейенорте 1967 г. , стр. 199
  77. ^ Skolem 1922 в Хейенорте 1967 , стр. 292-293
  78. ^ Введение ван Хейенурта к Аврааму Френкелю « Понятие« определенный »и независимость аксиомы выбора у ван Хейенурта 1967 , с. 285.
  79. ↑ Но Винер не приводит ни даты, ни ссылки, см. Винер 1914 в ван Хейенорте 1967 , стр. 226
  80. Перейти ↑ Russell 1903 , p. 99.
  81. ^ обе цитаты из Whitehead & Russell 1913 , p. 26
  82. ^ a b Уайтхед и Рассел 1913 , стр. 26.
  83. ^ Russell 1903 , стр. 523-529.
  84. ^ "* 12 Иерархия типов и аксиома сводимости". Principia Mathematica . 1913. с. 161.
  85. ↑ Wiener 1914 в van Heijenoort 1967 , стр. 224
  86. ^ Комментарий Хейенорта предшествующего Wiener 1914 упрощения логики отношений в Хейенорте 1967 , с. 224.
  87. ^ Suppes 1960 , стр. 32. Этот же момент появляется в комментарии ван Хейенорта перед Винером (1914) в van Heijenoort 1967 , p. 224.
  88. ↑ Wiener 1914 в van Heijenoort 1967 , стр. 224
  89. ^ Рассел 1920 , стр. 46.
  90. ^ Schönfinkel (1924) На строительных блоках математической логики в Хейенорте 1967 , с. 359
  91. ^ комментарий В. В. Куайна перед Шенфинкелем (1924) О строительных блоках математической логики у ван Хейенурта 1967 , стр. 356.
  92. ^ см. Карри и Фейс 1958 ; Куайн в ван Хейенорте 1967 , стр. 357.
  93. ^ Критический анализ фон Неймана истории наблюдается раскол между логицисты (например, Расселдр.др.) И множество теоретиков (например, Цермелодр. Др.) И формалистов (например, Гильберта), ср фон Неймана 1925 в ван Хейеноорт, 1967 , стр. 394–396.
  94. ↑ В дополнение к появлению ван Хейеноорта в 1925 году, Suppes 1970: 12 цитирует еще два: 1928a и 1929.
  95. ^ von Neumann 1925 в van Heijenoort 1967 , стр. 396
  96. ^ В своих 1930–1931 годах «Философия математики и теория доказательств Гильберта» Бернейс утверждает (в контексте опровержения логики построения чисел из логических аксиом), что «понятие числа оказывается элементарной структурной концепцией ». Эта статья появилась на странице 243 в Паоло Манкосу 1998 От Брауэра до Гильберта , Oxford University Press, Нью-Йорк, ISBN 0-19-509632-0 . 
  97. ↑ Все цитаты из фон Неймана 1925 в van Heijenoort 1967 , стр. 396–398
  98. ^ Это понятие нелегко резюмировать; подробнее см. van Heijenoort 1967 , стр. 397.
  99. ↑ См. Также введение ван Хейенорта к статье фон Неймана на страницах 393–394.
  100. ^ см, в частности, стр. 35, где Гёдель объявляет свои примитивные понятия классом, множеством и «диадическим отношением ε между классом и классом, классом и множеством, множеством и классом или множеством и множеством». Гёдель 1940 Согласованность аксиомы выбора и гипотезы обобщенного континуума с аксиомами теории множеств, появляющимися на страницах 33 и далее в томе II Сборника работ Курта Гёделя , Oxford University Press, NY, ISBN 0-19-514721-9 (v .2, пбк). 
  101. ^ Все цитаты из Suppes 1960 , стр. 12 сноска. Он также ссылается на «статью Р. М. Робинсона [1937] [которая] предоставляет упрощенную систему, близкую к исходной системе фон Неймана».
  102. Перейти ↑ Kleene 1952 , pp. 143–145.
  103. ^ N.Bourbaki (1954). Математические элементы, Теория ансамблей . Hermann & cie. п. 76.
  104. Перейти ↑ Tarski 1946 , p. 5.
  105. Перейти ↑ Tarski 1946 , p. 98.
  106. Перейти ↑ Tarski 1946 , p. 102.

Ссылки [ править ]

  • Буль, Джордж (1854). Исследование законов мысли, на которых основаны законы мысли и вероятностей . Уолтон и Марберли.
  • Де Морган, Август (1847). Формальная логика, или исчисление вывода, необходимое и вероятное . Уолтон и Марберли.
  • Дедекинд, Ричард ; Погорзельский, H .; Райан, В .; Снайдер, В. (1995). Что такое числа и что они должны быть? . Научно-исследовательский институт математики.
  • Дьедонне, Жан (1992). Математика-музыка разума . Springer-Verlag.
  • Дирихле, Г. П. Лежен (1889). Gesammelte Werke, Bd. I. Берлин. ISBN 9780828402255.
  • Эдвардс, Гарольд М. (2007). «Эйлеровское определение производной». Бюллетень Американского математического общества . 44 (4): 575–580. DOI : 10,1090 / s0273-0979-07-01174-3 . Руководство по ремонту  2338366 .
  • Эйлер, Леонард (1988). Введение в анализ бесконечного. Книга I . Springer-Verlag.
  • Эйлер, Леонард (2000). Основы дифференциального исчисления . Springer-Verlag.
  • Евс, Ховард (1990). Основы и фундаментальные понятия математики (3-е изд.). Дувр. ISBN 0-486-69609-X.
  • Фурье, Жозеф (1822). Théorie analytique de la chaleur . Париж: Фирмен Дидо Пер и Филс.
  • Граттан-Гиннесс, Айвор ; Борне, Жерар (1997). Джордж Буль: Избранные рукописи по логике и ее философии . Springer-Verlag. ISBN 3-7643-5456-9.
  • Халмос, Пол (1970). Наивная теория множеств . Нью-Йорк, Спрингер-Верлаг. ISBN 9780387900926.
  • Харди, Годфри Гарольд (1908). Курс чистой математики . Издательство Кембриджского университета (опубликовано в 1993 г.). ISBN 978-0-521-09227-2.
  • Клини, Стивен Коул (1952). Введение в метаматематику . Северная Голландия (опубликовано в 1971 г.). ISBN 978-0-7204-2103-3.
  • Лавин, Шауган (1994). Понимание бесконечного . Издательство Гарвардского университета.
  • Лобачевский, Николай (1951). Работает . Москва-Ленинград.
  • Лузин, Н. (1998). «Функция: Часть II». Американский математический ежемесячник . 105 (3): 263–270. DOI : 10.2307 / 2589085 . JSTOR  2589085 .
  • Медведев, Федор А. (1991). Сцены из истории реальных функций . Бирхаузер.
  • Понте, Жоао Педро (1992). «История концепции функции и некоторые образовательные значения» . Педагог математики . 3 (2): 3–8.
  • Рассел, Бертран (1903). Основы математики . Издательство Кембриджского университета.
  • Рассел, Бертран (1920). Введение в математическую философию (2-е изд.). Дувр. ISBN 0-486-27724-0.
  • Smithies, Франк (1997). Коши и создание теории сложных функций . Издательство Кембриджского университета.
  • Суппес, Патрик (1960). Аксиоматическая теория множеств (изд. 1972 г.). Дувр. ISBN 0-486-61630-4.ср. его Глава 1 Введение .
  • Тарский, Альфред (1946). Введение в логику и методологию дедуктивных наук (изд. 1995 г.). Курьер Дувр. ISBN 0-486-28462-X.
  • Венн, Джон (1881). Символическая логика . Макмиллан.
  • ван Хейеноорт, Жан (1976) [1967]. От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 (3-е изд.). Издательство Гарвардского университета. ISBN 0-674-32449-8.
    • ——; Фреге, Готтлоб (1967) [1879]. «Frege (1879) Begriffsschrift, язык формул, созданный по образцу арифметики для чистого мышления ». там же . С. 1–82. С комментарием ван Хейеноорта.
    • ——; Пеано, Джузеппе (1967) [1889]. «Пеано (1889 г.) Принципы арифметики, представленные новым методом ». там же . С. 83–97. С комментарием ван Хейеноорта.
    • ——; Рассел, Бертран (1967) [1902]. " Письмо Рассела (1902) Фреге ". там же . С. 124–125.С комментарием ван Хейеноорта. При этом Рассел объявляет о своем открытии «парадокса» в творчестве Фреге.
    • ——; Фреге, Готтлоб (1967) [1902]. " Письмо Фреге (1902) Расселу ". там же . С. 126–128. С комментарием ван Хейеноорта.
    • ——; Гильберт, Дэвид (1967) [1904]. «Гильберт (1904) Об основах логики и арифметики ». там же . С. 129–138. С комментарием ван Хейеноорта.
    • ——; Ричард, Джулс (1967) [1905]. «Ричард (1905) Принципы математики и проблема множеств ». там же . С. 142–144.С комментарием ван Хейеноорта. Ричард парадокс .
    • ——; Рассел, Бертран (1967) [1908a]. «Рассел (1908a) Математическая логика как основанная на теории типов ». там же . С. 150–182.С комментарием Уилларда Куайна .
    • ——; Цермело, Эрнст (1967) [1908]. «Цермело (1908) Новое доказательство возможности хорошего упорядочивания ». там же . С. 183–198.С комментарием ван Хейеноорта. При этом Цермело выступает против идеи Пуанкаре (и, следовательно, Рассела) об импредикативном определении.
    • ——; Цермело, Эрнст (1967) [1908a]. "Цермело (1908a) Исследования основ теории множеств I ". там же . С. 199–215.С комментарием ван Хейеноорта. При этом Цермело пытается разрешить парадокс Рассела, структурируя свои аксиомы так, чтобы ограничить универсальную область B (из которой объекты и множества вытягиваются определенными свойствами ) так, чтобы она сама не могла быть набором, т. Е. Его аксиомы запрещают универсальное множество.
    • ——; Уайтхед, Альфред Норт ; Рассел, Бертран (1967) [1910]. «Уайтхед и Рассел (1910) Неполные символы: описания ». там же . С. 216–223.С комментарием У.В. Куайна .
    • ——; Винер, Норберт (1967) [1914]. "Винер (1914) Упрощение логики отношений ". там же . С. 224–227. С комментарием ван Хейеноорта.
    • ——; Сколем, Торальф (1967) [1922]. "Сколем (1922) Некоторые замечания по аксиоматизированной теории множеств ". там же . С. 290–301.С комментарием ван Хейеноорта. При этом Сколем определяет расплывчатое «определенное свойство» Цермело.
    • ——; Шенфинкель, Моисей (1967) [1924]. "Schönfinkel (1924) О строительных блоках математической логики ". там же . С. 355–366.С комментарием Уилларда Куайна . Начало комбинаторной логики .
    • ——; фон Нейман, Джон (1967) [1925]. "фон Нейман (1925) Аксиоматизация теории множеств ". там же . С. 393–413.С комментарием ван Хейеноорта. При этом фон Нейман создает «классы» в отличие от «множеств» («классы» - это «определенные свойства» Цермело), ​​а теперь существует универсальный набор и т. Д.
    • ——; Гильберт, Дэвид (1967) [1927]. «Гильберт (1927) Основы математики ». там же . С. 464–479. С комментарием ван Хейеноорта.
  • Уайтхед, Альфред Норт ; Рассел, Бертран (1913). Principia Mathematica до * 56 (изд. 1962 г.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-62606-4.

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Дубинский, Эд; Харел, Гершон (1992). Понятие функции: аспекты эпистемологии и педагогики . Математическая ассоциация Америки. ISBN 0-88385-081-8.
  • Фреге, Готтлоб (1879). Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens . Галле.
  • Кляйнер, Израиль (1989). «Эволюция концепции функции: краткий обзор». Журнал математики колледжа . Математическая ассоциация Америки. 20 (4): 282–300. DOI : 10.2307 / 2686848 . JSTOR  2686848 .
  • Лютцен, Джеспер (2003). «Между строгостью и приложениями: развитие концепции функции в математическом анализе» . В Рой Портер (ред.). Кембриджская история науки: современные физико-математические науки . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0521571995. Доступная и увлекательная историческая презентация.
  • Малик, М.А. (1980). «Историко-педагогические аспекты определения функции». Международный журнал математического образования в науке и технологиях . 11 (4): 489–492. DOI : 10.1080 / 0020739800110404 .
  • Монна, АФ (1972). «Концепция функции в 19-м и 20-м веках, в частности, в отношении дискуссий между Бэром, Борелем и Лебегом». Архив истории точных наук . 9 (1): 57–84. DOI : 10.1007 / BF00348540 . S2CID  120506760 .
  • Райхенбах, Ганс (1947) Элементы символической логики , Dover Publishing Inc., Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, ISBN 0-486-24004-5 . 
  • Рутинг, Д. (1984). «Некоторые определения концепции функции от Бернулли Дж. До Бурбаки Н.». Математический интеллигент . 6 (4): 72–77. DOI : 10.1007 / BF03026743 . S2CID  189883712 .
  • Ющкевич А.П. (1976). «Концепция функции до середины XIX века». Архив истории точных наук . 16 (1): 37–85. DOI : 10.1007 / BF00348305 (неактивный 2021-01-16).CS1 maint: DOI inactive as of January 2021 (link)

Внешние ссылки [ править ]

  • Функции из выреза в-узел .