Жесткое тело

Классическая механика
Часть серии по
${\ displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (m {\ textbf {v}})}$ Второй закон движения
История График Учебники
ветви Применяемый Небесный Continuum Динамика Кинематика Кинетика Статика Статистический
Основы Ускорение Угловой момент Пара Принцип Даламбера Энергия кинетический потенциал Сила Точка зрения Инерциальная система отсчета Импульс Инерция / момент инерции Масса Механическая мощность Механическая работа Момент Импульс Космос Скорость Время Крутящий момент Скорость Виртуальная работа
Составы Законы движения Ньютона Аналитическая механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Рутианская механика Уравнение Гамильтона – Якоби Уравнение движения Аппеля Механика Купмана – фон Неймана
Основные темы Коэффициент демпфирования Смещение Уравнения движения Законы движения Эйлера Фиктивная сила Трение Гармонический осциллятор Инерциальная / неинерциальная система отсчета Механика движения плоских частиц Движение ( линейное ) Закон всемирного тяготения Ньютона Законы движения Ньютона Относительная скорость Жесткое тело динамика Уравнения Эйлера Простые гармонические колебания Вибрация
Вращение Круговое движение Вращающаяся опорная рамка Центростремительная сила Центробежная сила реактивный Сила Кориолиса Маятник Тангенциальная скорость Скорость вращения Угловое ускорение / перемещение / частота / скорость
Ученые Кеплер Галилео Гюйгенс Ньютон Хоррокс Галлей Даниэль Бернулли Иоганн Бернулли Эйлер д'Аламбер Clairaut Лагранж Лаплас Гамильтон Пуассон Коши Раут Liouville Appell Гиббс Купман фон Нейман
Категории ► Классическая механика
v т е

Положение твердого тела определяется положением его центра масс и его ориентацией (всего не менее шести параметров). ^[1]

В физике , А твердое тело (также известный как твердого объекта ^[2] ) представляет собой твердое тело , в котором деформация равна нулю или настолько мала , что ею можно пренебречь. Расстояние между любыми двумя заданными точками на твердое тело остается постоянной во времени независимо от внешних сил или моментов , действующих на него. Твердое тело, как правило , рассматривается как непрерывное распределение по массе .

При изучении специальной теории относительности абсолютно твердого тела не существует; и объекты можно считать твердыми, только если они не движутся со скоростью, близкой к скорости света . В квантовой механике твердое тело обычно рассматривается как совокупность точечных масс . Например, молекулы (состоящие из точечных масс: электронов и ядер) часто рассматриваются как твердые тела (см. Классификацию молекул как жестких роторов ).

Кинематика [ править ]

Линейное и угловое положение [ править ]

Положение твердого тела - это положение всех частиц, из которых оно состоит. Чтобы упростить описание этого положения, мы используем свойство твердости тела, а именно то, что все его частицы сохраняют одинаковое расстояние относительно друг друга. Если тело жесткое, достаточно описать положение как минимум трех неколлинеарных частиц. Это позволяет восстановить положение всех других частиц при условии, что известно их неизменное во времени положение относительно трех выбранных частиц. Однако обычно используется другой, математически более удобный, но эквивалентный подход. Положение всего тела представлено:

линейное положение или положение тела, а именно положение одного из частиц тела, в частности , выбран в качестве опорной точки ( как правило , совпадающей с центром масс или центроид тела), вместе с
угловое положение (также известный как ориентации , или отношение ) тела.

Таким образом, положение твердого тела имеет две составляющие: линейную и угловую соответственно. ^[3] То же самое верно и для других кинематических и кинетических величин, описывающих движение твердого тела, таких как линейная и угловая скорость , ускорение , импульс , импульс и кинетическая энергия . ^[4]

Линейное положение может быть представлено вектором, хвост которого находится в произвольной контрольной точке в пространстве (начало выбранной системы координат ), а его вершина в произвольной интересующей точке твердого тела, обычно совпадающей с его центром масс или центроид . Эта контрольная точка может определять начало системы координат, прикрепленной к телу.

Существует несколько способов численного описания ориентации твердого тела, включая набор из трех углов Эйлера , кватернион или матрицу направляющих косинусов (также называемую матрицей вращения ). Все эти методы фактически определяют ориентацию базисного набора (или системы координат ), который имеет фиксированную ориентацию относительно тела (т. Е. Вращается вместе с телом) относительно другого базового набора (или системы координат), из которого движение твердое тело наблюдается. Например, базисный набор с фиксированной ориентацией относительно самолета можно определить как набор из трех ортогональных единичных векторов b ₁, b ₂ , b ₃ , такие, что b ₁ параллельна хорде крыла и направлена вперед, b ₂ перпендикулярна плоскости симметрии и направлена вправо, а b ₃ задается поперечным произведением . $b_{3}=b_{1}\times b_{2}$

В общем, когда твердое тело движется, его положение и ориентация меняются со временем. В кинематическом смысле эти изменения называются поступлением и вращением соответственно. Действительно, положение твердого тела можно рассматривать как гипотетическое перемещение и вращение (вращательное перемещение) тела, начиная с гипотетической исходной позиции (не обязательно совпадающей с положением, фактически занимаемым телом во время его движения).

Линейная и угловая скорость [ править ]

Скорость (также называемая линейной скоростью ) и угловая скорость измеряются относительно системы координат .

Линейная скорость твердого тела - это векторная величина, равная скорости изменения его линейного положения во времени. Таким образом, скорость опорной точки , закрепленной на корпусе. Во время чисто поступательного движения (движение без вращения) все точки твердого тела движутся с одинаковой скоростью . Однако, когда движение связано с вращением, мгновенная скорость любых двух точек на теле обычно не будет одинаковой. Две точки вращающегося тела будут иметь одинаковую мгновенную скорость только в том случае, если они окажутся на оси, параллельной мгновенной оси вращения .

Угловая скорость - это векторная величина, описывающая угловую скорость, с которой изменяется ориентация твердого тела, и мгновенную ось, вокруг которой оно вращается (существование этой мгновенной оси гарантируется теоремой Эйлера о вращении ). Все точки твердого телавсегдаиспытывают одинаковую угловую скорость . Во время чисто вращательного движения все точки на теле меняют положение, кроме тех, которые лежат на мгновенной оси вращения . Взаимосвязь между ориентацией и угловой скоростью не аналогична взаимосвязи между положением и скоростью. Угловая скорость не являетсяскорость изменения ориентации, потому что не существует такого понятия, как вектор ориентации, который можно дифференцировать для получения угловой скорости.

Кинематические уравнения [ править ]

Теорема сложения для угловой скорости [ править ]

Угловая скорость твердого тела B в системе отсчета N равна сумме угловой скорости твердого тела D в N и угловой скорости B относительно D: ^[5]

{}^{\mathrm {N} }\!{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }={}^{\mathrm {N} }\!{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {D} }+{}^{\mathrm {D} }\!{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }.

В этом случае твердые тела и системы отсчета неотличимы и полностью взаимозаменяемы.

Теорема сложения для позиции [ править ]

Для любого набора из трех точек P, Q и R вектор положения от P до R является суммой вектора положения от P до Q и вектора положения от Q до R:

\mathbf {r} ^{\mathrm {PR} }=\mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }+\mathbf {r} ^{\mathrm {QR} }.

Математическое определение скорости [ править ]

Скорость точки P в системе отсчета N определяется как производная по времени в N вектора положения от O до P: ^[6]

{}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {P} }={\frac {{}^{\mathrm {N} }\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {r} ^{\mathrm {OP} })

где O - любая произвольная точка, зафиксированная в системе отсчета N, а N слева от оператора d / d t указывает, что производная берется в системе отсчета N. Результат не зависит от выбора O, если O - фиксируется в N.

Математическое определение ускорения [ править ]

Ускорение точки P в системе отсчета N определяется как производная по времени N от ее скорости: ^[6]

{}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {P} }={\frac {^{\mathrm {N} }\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {P} }).

Скорость двух точек, закрепленных на твердом теле [ править ]

Для двух точек P и Q, которые закреплены на твердом теле B, где B имеет угловую скорость в системе отсчета N, скорость Q в N может быть выражена как функция скорости P в N: ^[7] $\scriptstyle {^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }}$

{}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {Q} }={}^{\mathrm {N} }\!\mathbf {v} ^{\mathrm {P} }+{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }.

где - вектор положения от P до Q. ^[7] $\mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }$

Ускорение двух точек, закрепленных на твердом теле [ править ]

Путем дифференцирования уравнения Скорости двух точек, закрепленных на твердом теле в N, относительно времени, ускорение в системе отсчета N точки Q, закрепленной на твердом теле B, может быть выражено как

{}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {Q} }={}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {P} }+{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times \left({}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }\right)+{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\alpha }}^{\mathrm {B} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }

где - угловое ускорение B в системе отсчета N. ^[7] $\scriptstyle {{}^{\mathrm {N} }\!{\boldsymbol {\alpha }}^{\mathrm {B} }}$

Угловая скорость и ускорение двух точек, закрепленных на твердом теле [ править ]

Как упоминалось выше , все точки твердого тела B имеют одинаковую угловую скорость в фиксированной системе отсчета N и, следовательно, одинаковое угловое ускорение. ${}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }$ ${}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\alpha }}^{\mathrm {B} }.$

Скорость движения одной точки по твердому телу [ править ]

Если точка R движется в твердом теле B, а точка B движется в системе отсчета N, то скорость R в N равна

{}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }={}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {Q} }+{}^{\mathrm {B} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }

где Q - фиксированная точка в B, которая мгновенно совпадает с R в интересующий момент. ^[8] Это соотношение часто сочетается с соотношением для скорости двух точек, закрепленных на твердом теле .

Ускорение одной точки, движущейся по твердому телу [ править ]

Ускорение в системе отсчета N точки R, движущейся в теле B, в то время как B движется в системе N, определяется выражением

{}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {R} }={}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {Q} }+{}^{\mathrm {B} }\mathbf {a} ^{\mathrm {R} }+2{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times {}^{\mathrm {B} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }

где Q - фиксированная точка в B, которая мгновенно совпадает с R в интересующий момент. ^[8] Это уравнение часто сочетается с Ускорением двух точек, закрепленных на твердом теле .

Другие количества [ править ]

Если C - начало локальной системы координат L , прикрепленной к телу,

пространственное или завихрение ускорения твердого тела определяются как пространственное ускорение из C (в отличие от материала ускорения выше);

{\boldsymbol {\psi }}(t,\mathbf {r} _{0})=\mathbf {a} (t,\mathbf {r} _{0})-{\boldsymbol {\omega }}(t)\times \mathbf {v} (t,\mathbf {r} _{0})={\boldsymbol {\psi }}_{c}(t)+{\boldsymbol {\alpha }}(t)\times A(t)\mathbf {r} _{0}

куда

$\mathbf {r} _{0}$ представляет положение точки / частиц по отношению к опорной точке тела в терминах локальной системы координат L (жесткость средств для тела , что это не зависит от времени)
$A(t)\,$ является ориентация матрицы, ортогональная матрица с определителем 1, представляющая ориентацию (угловое положение) локальной системой координатами L , по отношению к эталонной произвольной ориентации другой системы координат G . Подумайте этой матрицы в виде трех ортогональных единичных векторов, по одному в каждом столбце, которые определяют ориентацию осей L относительно G .
${\boldsymbol {\omega }}(t)$ представляет собой угловую скорость твердого тела
$\mathbf {v} (t,\mathbf {r} _{0})$ представляет собой полную скорость точки / частицы
$\mathbf {a} (t,\mathbf {r} _{0})$ представляет собой полное ускорение точки / частицы
${\boldsymbol {\alpha }}(t)$ представляет собой угловое ускорение твердого тела
${\boldsymbol {\psi }}(t,\mathbf {r} _{0})$ представляет собой пространственное ускорение точки / частицы
${\boldsymbol {\psi }}_{c}(t)$ представляет собой пространственное ускорение твердого тела (то есть пространственное ускорение начала координат L ).

В 2D угловая скорость является скаляром, а матрица A (t) просто представляет собой поворот в плоскости xy на угол, который является интегралом угловой скорости во времени.

Транспортные средства , идущие люди и т. Д. Обычно вращаются в соответствии с изменением направления скорости: они движутся вперед относительно своей собственной ориентации. Тогда, если тело движется по замкнутой орбите в плоскости, угловая скорость, проинтегрированная за интервал времени, за который орбита совершается один раз, равна целому числу, умноженному на 360 °. Это целое число является номером намотки относительно источника скорости. Сравните количество вращения, связанное с вершинами многоугольника .

Кинетика [ править ]

Любая точка , который жестко соединен с корпусом может быть использована в качестве опорной точки (начала координат системы L ) для описания линейного движения тела (линейные положение, скорость и ускорение векторы зависят от выбора).

Однако, в зависимости от приложения, удобным выбором может быть:

центр масс всей системы, которая обычно имеет простейшее движение для тела , свободно двигающегося в пространстве;
точка, в которой поступательное движение равно нулю или упрощено, например, на оси или шарнире , в центре шарнирного соединения и т. д.

Когда центр масс используется как точка отсчета:

(Линейный) импульс не зависит от вращательного движения. В любой момент времени она равна общей массе твердого тела, умноженной на поступательную скорость.
Угловой момент относительно центра масс такого же , как и без перевода: в любой момент она равна инерция тензора времени угловой скорости. Когда угловая скорость выражается относительно системы координат, совпадающей с главными осями тела, каждая компонента углового момента является произведением момента инерции (главного значения тензора инерции), умноженного на соответствующий компонент угловая скорость; момент инерция тензора раз угловое ускорение .
Возможные движения в отсутствие внешних сил: поступательное движение с постоянной скоростью, устойчивое вращение вокруг фиксированной главной оси, а также прецессия без крутящего момента .
Чистая внешняя сила, действующая на твердое тело, всегда равна полной массе, умноженной на поступательное ускорение (то есть второй закон Ньютона выполняется для поступательного движения, даже когда чистый внешний крутящий момент отличен от нуля и / или тело вращается).
Полная кинетическая энергия - это просто сумма поступательной и вращательной энергии .

Геометрия [ править ]

Два твердых тела называются разными (не копиями), если нет собственного вращения от одного к другому. Твердое тело называется киральным, если его зеркальное отображение отличается в этом смысле, т. Е. Если оно либо не имеет симметрии, либо его группа симметрии содержит только собственные вращения. В противном случае объект называется ахиральным: зеркальное отображение - это копия, а не другой объект. Такой объект может иметь плоскость симметрии, но не обязательно: может также существовать плоскость отражения, относительно которой изображение объекта является повернутой версией. Последнее применимо к S 2n , причем случай n = 1 является инверсионной симметрией.

Для (жесткого) прямоугольного прозрачного листа инверсионная симметрия соответствует наличию на одной стороне изображения без симметрии вращения, а на другой стороне изображения, сквозь которое просвечивает изображение на верхней стороне в перевернутом виде. Можно выделить два случая:

поверхность листа с изображением не симметрична - в этом случае две стороны разные, но зеркальное отображение объекта такое же, после поворота на 180 ° вокруг оси, перпендикулярной плоскости зеркала.
поверхность листа с изображением имеет ось симметрии - в этом случае две стороны одинаковы, и зеркальное отображение объекта тоже такое же, опять же после поворота на 180 ° вокруг оси, перпендикулярной плоскости зеркала.

Лист со сквозным изображением является ахиральным. Мы можем снова выделить два случая:

поверхность листа с изображением не имеет оси симметрии - две стороны разные
поверхность листа с изображением имеет ось симметрии - две стороны совпадают

Пространство конфигурации [ править ]

Конфигурационное пространство твердого тела с одной точкой фиксированное (т.е. тело с нулевым поступательным движением) задаются основным коллектором из группы вращений SO (3) . Конфигурационное пространство нефиксированного (с ненулевым поступательным движением) твердым телом Е + (3) , подгруппа прямых изометрии в евклидове группы в трех измерениях (комбинации сдвигов и поворотов ).

См. Также [ править ]

Угловая скорость
Соглашения об осях
Динамика жесткого тела
Бесконечно малые вращения
Уравнения Эйлера (динамика твердого тела)
Законы Эйлера
Родилась жесткость
Жесткий ротор
Жесткое преобразование
Геометрическая механика
Классическая механика (Гольдштейн)

Примечания [ править ]

^ Лоренцо Скиавикко, Бруно Сицилиано (2000). «§2.4.2 Углы крена-тангажа-рыскания» . Моделирование и управление роботами-манипуляторами (2-е изд.). Springer. п. 32. ISBN 1-85233-221-2.
^ Энди Руина и Рудра Пратап (2015). Введение в статику и динамику . Издательство Оксфордского университета.(ссылка: [1] )
^ В общем, положение точки или частицы также известно в физике как линейное положение , в отличие от углового положения линии или сегмента линии (например, при круговом движении "радиус", соединяющий вращающуюся точку с центром вращения), или базис , или систему координат .
^
В кинематике , линейные средства «по прямой или кривой линии» (путь частицы в пространстве ). В математике , однако, линейный имеют различное значение. В обоих контекстах слово «линейный» связано со словом «линия». В математике линию часто определяют как прямую кривую . Для тех, кто принимает это определение, кривая может быть прямой, а кривых линий не должно быть. В кинематике термин линия используется как синоним термина траектория или путь.(а именно, оно имеет то же неограниченное значение, что и слово « кривая» в математике ). Короче говоря, должны существовать как прямые, так и изогнутые линии. В кинематике и динамике следующие слова относятся к тому же неограниченному значению термина «линия»:
- "линейный" (= по прямой или изогнутой линии),
- "прямолинейный" (= по прямой, от латинского rectus = прямой и linere = распространение),
- «криволинейный» (= по изогнутой линии, от латинского curvus = изогнутый и linere = распространение).
В топологии и метеорологии термин «линия» имеет то же значение; а именно, контурная линия - это кривая.
^ Кейн, Томас; Левинсон, Дэвид (1996). «2-4 вспомогательных системы отсчета». Dynamics Online . Саннивейл, Калифорния: OnLine Dynamics, Inc.
^ a b Кейн, Томас; Левинсон, Дэвид (1996). «2-6 Скорость и ускорение». Dynamics Online . Саннивейл, Калифорния: OnLine Dynamics, Inc.
^ a b c Кейн, Томас; Левинсон, Дэвид (1996). «2-7 Две точки, закрепленные на твердом теле». Dynamics Online . Саннивейл, Калифорния: OnLine Dynamics, Inc.
^ a b Кейн, Томас; Левинсон, Дэвид (1996). «2-8 Движение одной точки на твердом теле». Dynamics Online . Саннивейл, Калифорния: OnLine Dynamics, Inc.

Ссылки [ править ]

Рой Фезерстоун (1987). Алгоритмы динамики роботов . Springer. ISBN 0-89838-230-0.Этот справочник эффективно сочетает теорию винта с динамикой твердого тела для робототехнических приложений. Автор также предпочитает широко использовать пространственные ускорения вместо материальных ускорений, поскольку они упрощают уравнения и позволяют использовать компактные обозначения.
На странице JPL DARTS есть раздел по алгебре пространственных операторов (ссылка: [2] ), а также обширный список ссылок (ссылка: [3] ).
Энди Руина и Рудра Пратап (2015). Введение в статику и динамику . Издательство Оксфордского университета.(ссылка: [4] ).

Внешние ссылки [ править ]

СМИ, связанные с твердыми телами на Викискладе?

[Sciavicco-1] Лоренцо Скиавикко, Бруно Сицилиано (2000). «§2.4.2 Углы крена-тангажа-рыскания» . Моделирование и управление роботами-манипуляторами (2-е изд.). Springer. п. 32. ISBN 1-85233-221-2.

[2] Энди Руина и Рудра Пратап (2015). Введение в статику и динамику . Издательство Оксфордского университета.(ссылка: [1] )

[3] В общем, положение точки или частицы также известно в физике как линейное положение , в отличие от углового положения линии или сегмента линии (например, при круговом движении "радиус", соединяющий вращающуюся точку с центром вращения), или базис , или систему координат .

[4] В кинематике , линейные средства «по прямой или кривой линии» (путь частицы в пространстве ). В математике , однако, линейный имеют различное значение. В обоих контекстах слово «линейный» связано со словом «линия». В математике линию часто определяют как прямую кривую . Для тех, кто принимает это определение, кривая может быть прямой, а кривых линий не должно быть. В кинематике термин линия используется как синоним термина траектория или путь.(а именно, оно имеет то же неограниченное значение, что и слово « кривая» в математике ). Короче говоря, должны существовать как прямые, так и изогнутые линии. В кинематике и динамике следующие слова относятся к тому же неограниченному значению термина «линия»:
"линейный" (= по прямой или изогнутой линии),
"прямолинейный" (= по прямой, от латинского rectus = прямой и linere = распространение),
«криволинейный» (= по изогнутой линии, от латинского curvus = изогнутый и linere = распространение).
В топологии и метеорологии термин «линия» имеет то же значение; а именно, контурная линия - это кривая.

[5] "линейный" (= по прямой или изогнутой линии),

[6] "прямолинейный" (= по прямой, от латинского rectus = прямой и linere = распространение),

[7] «криволинейный» (= по изогнутой линии, от латинского curvus = изогнутый и linere = распространение).

[5] Кейн, Томас; Левинсон, Дэвид (1996). «2-4 вспомогательных системы отсчета». Dynamics Online . Саннивейл, Калифорния: OnLine Dynamics, Inc.

[od26-6] Кейн, Томас; Левинсон, Дэвид (1996). «2-6 Скорость и ускорение». Dynamics Online . Саннивейл, Калифорния: OnLine Dynamics, Inc.

[od27-7] Кейн, Томас; Левинсон, Дэвид (1996). «2-7 Две точки, закрепленные на твердом теле». Dynamics Online . Саннивейл, Калифорния: OnLine Dynamics, Inc.

[od28-8] Кейн, Томас; Левинсон, Дэвид (1996). «2-8 Движение одной точки на твердом теле». Dynamics Online . Саннивейл, Калифорния: OnLine Dynamics, Inc.