В функциональном анализе , А унитарный оператор является сюръективным ограниченным оператором на гильбертовом пространстве , сохраняющее скалярное произведение . Унитарные операторы обычно берутся как действующие на гильбертовом пространстве, но то же самое понятие служит для определения понятия изоморфизма между гильбертовыми пространствами.
Унитарный элемент является обобщением унитарного оператора. В унитальной алгебре элемент U называется унитарным элементом, если U * U = UU * = I , где I - единичный элемент. [1]
Определение [ править ]
Определение 1. унитарный оператор является ограниченным линейный оператор U : Н → Н в гильбертовом пространстве H , удовлетворяющее условию U * U = UU * = I , где U * является сопряженным из U и I : Н → Н является идентичность оператор.
Более слабое условие U * U = I определяет изометрию . Другое условие, UU * = I , определяет коизометрию . Таким образом, унитарный оператор - это ограниченный линейный оператор, который одновременно является изометрией и коизометрией [2] или, что то же самое, сюръективной изометрией. [3]
Эквивалентное определение следующее:
Определение 2. унитарный оператор является ограниченным линейный оператор U : Н → Н в гильбертовом пространстве H , для которых справедливы следующие:
- U является сюръективны , и
- U сохраняет скалярное произведение в гильбертовом пространстве H . Другими словами, для всех векторов x и y в H мы имеем:
Понятие изоморфизма в категории гильбертовых пространств фиксируется, если домен и диапазон могут различаться в этом определении. Изометрии сохраняют последовательности Коши , поэтому свойство полноты гильбертовых пространств сохраняется [4]
Следующее, казалось бы, более слабое определение также эквивалентно:
Определение 3. унитарный оператор является ограниченным линейный оператор U : Н → Н в гильбертовом пространстве H , для которых справедливы следующие:
- диапазон U является плотным в H , и
- U сохраняет скалярное произведение гильбертова пространства, Н . Другими словами, для всех векторов x и y в H мы имеем:
Чтобы увидеть, что определения 1 и 3 эквивалентны, заметьте, что U, сохраняющее скалярное произведение, означает, что U является изометрией (таким образом, ограниченным линейным оператором ). Тот факт, что U имеет плотный диапазон значений, гарантирует, что он имеет ограниченный обратный U −1 . Ясно, что U −1 = U * .
Таким образом, унитарные операторы являются просто автоморфизмами гильбертовых пространств, т. Е. Они сохраняют структуру (в данном случае структуру линейного пространства, скалярное произведение и, следовательно, топологию ) пространства, в котором они действуют. Группа всех унитарных операторов из заданного пространства Гильберта H к себе иногда называют Гильберта группа из H , обозначается Hilb ( H ) или U ( H ) .
Примеры [ править ]
- Функция тождества тривиально унитарный оператор.
- Повороты в R 2 являются простейшим нетривиальным примером унитарных операторов. Вращения не изменяют длину вектора или угол между двумя векторами. Этот пример можно расширить до R 3 .
- На векторном пространстве С из комплексных чисел , умножения на числах абсолютного значения 1 , то есть число вида е iθ для thetas ; ∈ R , является унитарным оператором. θ называется фазой, и это умножение называется умножением на фазу. Обратите внимание, что значение θ по модулю 2 π не влияет на результат умножения, и поэтому независимые унитарные операторы на C параметризуются кружком. Соответствующая группа, представляющая собой круг, называется U (1) .
- В более общем смысле, унитарные матрицы - это в точности унитарные операторы в конечномерных гильбертовых пространствах , поэтому понятие унитарного оператора является обобщением понятия унитарной матрицы. Ортогональные матрицы - это частный случай унитарных матриц, в которых все элементы действительны. Это унитарные операторы на R n .
- Двусторонний сдвиг на пространстве последовательностей л 2 индексируются с помощью целых чисел является унитарным. В общем, любой оператор в гильбертовом пространстве, который действует путем перестановки ортонормированного базиса, является унитарным. В конечномерном случае такими операторами являются матрицы перестановок .
- Односторонний сдвиг (сдвиг вправо) является изометрией; его сопряжение (сдвиг влево) - коизометрия.
- Оператор Фурье - это унитарный оператор, то есть оператор, выполняющий преобразование Фурье (с надлежащей нормализацией). Это следует из теоремы Парсеваля .
- Унитарные операторы используются в унитарных представлениях .
- Квантовые логические вентили - это унитарные операторы. Не все врата эрмитские .
Линейность [ править ]
Требование линейности в определении унитарного оператора можно отбросить, не меняя смысла, потому что оно может быть выведено из линейности и положительной определенности скалярного произведения :
Аналогично вы получаете
Свойства [ править ]
- Спектр унитарного оператора U лежит на единичной окружности. То есть для любого комплексного числа λ в спектре | λ | = 1 . Это можно увидеть как следствие спектральной теоремы для нормальных операторов . По теореме U унитарно эквивалентно умножению на измеримую по Борелю f на L 2 ( μ ) для некоторого пространства конечной меры ( X , μ ) . Теперь UU * = I подразумевает | f (х ) | 2 = 1 , μ -ae. Это показывает, что существенный диапазон f , следовательно, спектр U лежит на единичной окружности.
- Линейное отображение унитарно, если оно сюръективно и изометрично. (Используйте идентификатор поляризации, чтобы показать только часть if.)
См. Также [ править ]
- Антиунитарный
- Квантовый логический вентиль
- Унитарная матрица
- Унитарное преобразование
Сноски [ править ]
- ^ Доран & Belfi 1986 , стр. 55
- ^ Халмош 1982 , п. 127, стр. 69
- ^ Conway 1990 , предложение I.5.2
- ^ Конвей 1990 , определение I.5.1
Ссылки [ править ]
- Конвей, Дж. Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для выпускников по математике. 96 . Springer Verlag . ISBN 0-387-97245-5.
- Доран, Роберт С .; Белфи (1986). Характеризации C * -алгебр: теоремы Гельфанда-Наймарка . Нью-Йорк: Марсель Деккер. ISBN 0-8247-7569-4.
- Халмос, Пол (1982). Проблемная книга гильбертова пространства . Тексты для выпускников по математике. 19 (2-е изд.). Springer Verlag. ISBN 978-0387906850.
- Ланг, Серж (1972). Дифференциальные многообразия . Ридинг, Массачусетс - Лондон - Дон Миллс, Онтарио: Addison-Wesley Publishing Co., Inc. ISBN 978-0387961132.