Круговая группа

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальный ортогональный SO ( n ) Унитарный U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В математике , то круг группа , обозначается , является мультипликативной группой всех комплексных чисел с абсолютным значением 1, то есть единичный круг в комплексной плоскости или просто комплексные числа единиц ^[1]${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$

${\displaystyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}~.}$

Группа круг образует подгруппу из , мультипликативной группы всех ненулевых комплексных чисел. Поскольку абелева , отсюда следует, что она также является абелевой . Круговая группа также является группой комплекснозначных унитарных матриц 1 × 1 ; они действуют на комплексной плоскости путем вращения вокруг начала координат. Группа окружностей может быть параметризована углом поворота с помощью${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle {\mbox{U}}(1)}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \theta \mapsto z=e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .}$

Это экспоненциальная карта для группы кругов.

Группа окружности играет центральную роль в двойственности Понтрягина и в теории групп Ли .

Обозначения для группы окружностей основаны на том факте, что при стандартной топологии (см. Ниже) группа окружностей является 1- тором . В более общем смысле ( прямое произведение времени на себя ) геометрически является -тор.${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Элементарное введение [ править ]

Один из способов подумать о группе кругов - это то, что она описывает, как добавлять углы , где разрешены только углы от 0 ° до 360 °. Например, на схеме показано, как добавить 150 ° к 270 °. Ответ должен быть 150 ° + 270 ° = 420 ° , но, думая о группе кругов, нам нужно «забыть» тот факт, что мы один раз обернули круг. Поэтому мы изменяем наш ответ на 360 °, что дает 420 ° = 60 ° (по модулю 360 ° ).

Другое описание относится к обычному сложению, где разрешены только числа от 0 до 1 (при этом 1 соответствует полному вращению). Для этого нам может потребоваться выбросить цифры, предшествующие десятичной запятой. Например, когда мы вычисляем 0,784 + 0,925 + 0,446 , ответ должен быть 2,155, но мы отбрасываем ведущие 2, поэтому ответ (в группе кружков) будет всего 0,155.

Топологическая и аналитическая структура [ править ]

Группа круга - это больше, чем просто абстрактный алгебраический объект. Он имеет естественную топологию, если рассматривать его как подпространство комплексной плоскости. Поскольку умножение и инверсия являются непрерывными функциями на , круговая группа имеет структуру топологической группы . Более того, поскольку единичная окружность является замкнутым подмножеством комплексной плоскости, группа окружности является замкнутой подгруппой (сама рассматривается как топологическая группа).${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$

Можно сказать и больше. Окружность - это одномерное вещественное многообразие, а умножение и инверсия - это вещественно-аналитические отображения на окружности. Это дает круговой группе структуру однопараметрической группы , экземпляра группы Ли . На самом деле, до изоморфизма, это единственная 1 мерная компактная , связная группа Ли. Более того, всякая  размерная компактная связная абелева группа Ли изоморфна .${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$

Изоморфизмы [ править ]

Группа кругов встречается в математике в самых разных формах. Мы перечисляем здесь некоторые из наиболее распространенных форм. В частности, мы показываем, что

${\displaystyle \mathbb {T} \cong {\mbox{U}}(1)\cong \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong {\mbox{SO}}(2).}$

Обратите внимание, что косая черта (/) здесь обозначает факторгруппу .

Множество всех унитарных матриц 1 × 1 явно совпадает с круговой группой; унитарное условие эквивалентно тому, что его элемент имеет абсолютное значение 1. Следовательно, круговая группа канонически изоморфна первой унитарной группе .${\displaystyle {\mbox{U}}(1)}$

Экспоненциальная функция приводит к групповому гомоморфизму из аддитивных вещественных чисел в группу окружности с помощью карты${\displaystyle \exp :\mathbb {R} \to \mathbb {T} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {T} }$

${\displaystyle \theta \mapsto e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta ~.}$

Последнее равенство - это формула Эйлера или комплексная экспонента. Действительное число θ соответствует углу (в радианах ) на единичной окружности, измеренному против часовой стрелки от положительной  оси x . То, что это отображение является гомоморфизмом, следует из того факта, что умножение единичных комплексных чисел соответствует сложению углов:

${\displaystyle e^{i\theta _{1}}e^{i\theta _{2}}=e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}\,.}$

Это экспоненциальное отображение явно является сюръективной функцией от до . Однако это не инъективно . Ядро этой карты является множество всех целых кратных . Тогда по первой теореме об изоморфизме имеем, что${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \,.}$

После изменения масштаба мы также можем сказать, что он изоморфен .${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$

Если комплексные числа реализованы как вещественные матрицы 2 × 2 (см. Комплексное число ), единичные комплексные числа соответствуют ортогональным матрицам 2 × 2 с единичным определителем . В частности, у нас есть

${\displaystyle e^{i\theta }\leftrightarrow {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}=f\left(e^{i\theta }\right)~.}$

Эта функция показывает , что круг группа является изоморфной к специальной ортогональной группе , так как${\displaystyle {\mbox{SO}}(2)}$

${\displaystyle f\left(e^{i\theta _{1}}e^{i\theta _{2}}\right)={\begin{bmatrix}\cos(\theta _{1}+\theta _{2})&-\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\\\sin(\theta _{1}+\theta _{2})&\cos(\theta _{1}+\theta _{2})\end{bmatrix}}=f\left(e^{i\theta _{1}}\right)\times f\left(e^{i\theta _{2}}\right)}$где - матричное умножение.${\displaystyle \times }$

Этот изоморфизм имеет геометрическую интерпретацию, согласно которой умножение на единичное комплексное число является собственным вращением в комплексной (и действительной) плоскости, и каждое такое вращение имеет такую ​​форму.

Свойства [ править ]

Каждая компактная группа Ли размерности> 0 имеет подгруппу, изоморфную группе окружности. Это означает, что с точки зрения симметрии можно ожидать , что компактная группа симметрии, действующая непрерывно, будет иметь однопараметрические подгруппы окружности, действующие; последствия в физических системах проявляются, например, во вращательной инвариантности и спонтанном нарушении симметрии .${\displaystyle {\mbox{G}}}$

Группа круг имеет множество подгрупп , но его только собственные замкнутые подгруппы состоят из корней из единицы : Для каждого целого , то й корни из единицы образуют циклическую группу из того , что является единственно с точностью до изоморфизма.${\displaystyle n>0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Таким же образом , что действительные числа являются завершение из б -адических рациональных чисел для каждого натурального числа , круг группа является завершением группы прюферова для , заданной с помощью обратного предела .${\displaystyle b>1}$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \varprojlim \mathbb {Z} /b^{n}\mathbb {Z} }$

Представления [ править ]

В представлениях группы окружности легко описать. Из леммы Шура следует, что все неприводимые комплексные представления абелевой группы одномерны. Поскольку круговая группа компактна, любое представление

${\displaystyle \rho :\mathbb {T} \to {\mbox{GL}}(1,\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} ^{\times }~,}$

должны принимать значения в . Следовательно, неприводимые представления группы окружности - это просто гомоморфизмы группы окружности в себя.${\displaystyle {\mbox{U}}(1)\cong \mathbb {T} }$

Все эти представления неэквивалентны. Представление является сопряженным с ,${\displaystyle \phi _{-n}}$${\displaystyle \phi _{n}}$

${\displaystyle \phi _{-n}={\overline {\phi _{n}}}\,.}$

Эти изображения - всего лишь персонажи круговой группы. Группа характеров из , очевидно , является бесконечной циклической группа , порожденной :${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle \phi _{1}}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathbb {T} ,\mathbb {T} )\cong \mathbb {Z} .\,}$

Неприводимые вещественные представления группы окружностей - это тривиальное представление (одномерное) и представления

${\displaystyle \rho _{n}(e^{i\theta })={\begin{bmatrix}\cos n\theta &-\sin n\theta \\\sin n\theta &\cos n\theta \end{bmatrix}},\quad n\in \mathbb {Z} ^{+},}$

принимая значения в . Здесь у нас есть только положительные целые числа, поскольку представление эквивалентно .${\displaystyle {\mbox{SO}}(2)\,}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \rho _{-n}}$${\displaystyle \rho _{n}}$

Структура группы [ править ]

Группа круга - это делимая группа . Его подгруппа кручения задается множеством всех корней th из единицы для всех и изоморфна . Структурная теорема для делимых групп и аксиома выбора вместе говорят нам , что изоморфна прямой сумму от с количеством копий . ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} ~}$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Q} ~}$

Количество копий должно быть ( мощность континуума ), чтобы мощность прямой суммы была правильной. Но прямая сумма копий изоморфна , как и векторное пространство размерности более . Таким образом${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} ~}$

${\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {R} \oplus (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )~.}$

Изоморфизм

${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\cong \mathbb {R} \oplus (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}$

можно доказать таким же образом, поскольку является также делимой абелевой группой, чья подгруппа кручения совпадает с подгруппой кручения группы .${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {T} ~}$

См. Также [ править ]

• Группа рациональных точек на единичной окружности
• Подгруппа с одним параметром
• Ортогональная группа
• Фазовый фактор (применение в квантовой механике)
• Группа Прюфера ( счетно бесконечный аналог)
• Соленоид
• Номер вращения

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Джеймс, Роберт С .; Джеймс, Гленн (1992). Математический словарь (Пятое изд.). Чепмен и Холл. ISBN 9780412990410.

Дальнейшее чтение [ править ]

• Хуа Луогэн (1981), начиная с единичного круга , Springer Verlag , ISBN 0-387-90589-8 . 

Внешние ссылки [ править ]

• Гомеоморфизм и структура группы на окружности.