В квантовой физике , унитарность является условием , что временная эволюция квантового состояния в соответствии с уравнением Шредингера математически представлена унитарным оператором . Обычно это считается аксиомой или основным постулатом квантовой механики, в то время как обобщения или отклонения от унитарности являются частью предположений о теориях, которые могут выходить за рамки квантовой механики. [1] унитарности связан любое неравенство, вытекающее из унитарности оператора эволюции , то есть из утверждения , что эволюция времени варенье скалярные произведения в гильбертовом пространстве .
Гамильтонова эволюция
Временная эволюция, описываемая не зависящим от времени гамильтонианом , представлена однопараметрическим семейством унитарных операторов , для которых гамильтониан является генератором:. В картине Шредингера предполагается , что унитарные операторы действуют на квантовое состояние системы, тогда как в картине Гейзенберга временная зависимость вместо этого включается в наблюдаемые . [2]
Влияние унитарности на результаты измерений
В квантовой механике каждое состояние описывается как вектор в гильбертовом пространстве . Когда выполняется измерение, удобно описывать это пространство, используя векторный базис, в котором каждый базисный вектор имеет определенный результат измерения - например, векторный базис с определенным импульсом в случае измерения импульса. Оператор измерения диагонален в этом базисе. [3]
Вероятность получить конкретный результат измерения зависит от амплитуды вероятности, которая задается внутренним произведением физического состояния с базисными векторами, которые диагонализируют оператор измерения. Для физического состояния, которое измеряется после его развития во времени, амплитуда вероятности может быть описана либо внутренним произведением физического состояния. после временной эволюции с соответствующими базисными векторами или, что то же самое, внутренним произведением физического состояния с базисными векторами, эволюционирующими в обратном направлении во времени. Использование оператора эволюции во времени, имеем: [4]
Но по определению эрмитова спряжения это также:
Поскольку эти равенства верны для любых двух векторов, получаем
Это означает, что гамильтониан эрмитов, а оператор временной эволюцииявляется унитарной .
Поскольку по правилу Борна норма определяет вероятность получения определенного результата измерения, унитарность вместе с правилом Борна гарантирует, что сумма вероятностей всегда равна единице. Кроме того, унитарность вместе с правилом Борна означает, что операторы измерения в картине Гейзенберга действительно описывают, как ожидается, что результаты измерений будут развиваться во времени. Этот момент дополнительно подчеркивается гипотетическим контрпримером: рассмотрим случай неунитарности, когда можно получить другую вероятность, измеряя некоторый оператор(на изображении Гейзенберга) в момент времени t 1 , по сравнению с выполнением того же измерения, с учетом эволюции во времени, в момент времени t 2 , так что в это времяизмеряется. Посредством нескольких таких измерений можно затем построить эксперимент, в котором вероятность одного результата R 1 будет произвольно близка к 100%, если его проводить в момент времени t 1 , но вероятность другого результата R 2 будет произвольно близка к 100%, если взято в момент времени t 2 . Это приводит к противоречию, по крайней мере, в некоторых интерпретациях квантовой механики.
Например, скажем, Алиса и Боб проводят измерения в одной и той же системе в разное время. Алиса выполняет измерения в момент времени t 1, а Боб - в момент времени t 2 . согласно многомировой интерпретации , Боб почти наверняка окажется в мире, где результатом было R 2 . Но затем, когда Боб встречает Алису, Алиса, должно быть, также измерила R 2 . Таким образом, Алиса скажет Бобу, что она измерила очень нереалистичный результат с вероятностью, произвольно близкой к 0%. Таким образом, в таком сценарии физики сообщают, что они получили очень нереалистичные результаты, и понятие вероятности не работает.
Влияние на форму гамильтониана
Унитарность оператора временной эволюции эквивалентна эрмитовости гамильтониана . Эквивалентно это означает, что возможные измеренные энергии, которые являются собственными значениями гамильтониана, всегда являются действительными числами.
Амплитуда рассеяния и оптическая теорема
S-матрица используется для описания того, как физическая система изменяется в процессе рассеяния. Фактически, он равен оператору временной эволюции в течение очень длительного времени (приближающемуся к бесконечности), действующему на состояния импульса частиц (или связанного комплекса частиц) на бесконечности. Таким образом, он также должен быть унитарным оператором; вычисление, дающее неунитарную S-матрицу, часто подразумевает, что связанное состояние было упущено.
Оптическая теорема
Унитарность S-матрицы влечет, среди прочего, оптическую теорему . Это можно увидеть следующим образом: [5]
S-матрицу можно записать как:
где часть S-матрицы, обусловленная взаимодействиями; например просто означает, что S-матрица равна 1, никакого взаимодействия не происходит и все состояния остаются неизменными.
Унитарность S-матрицы:
тогда эквивалентно:
Левая часть - это удвоенная мнимая часть S-матрицы. Чтобы увидеть, что такое правая часть, давайте посмотрим на любой конкретный элемент этой матрицы, например, между некоторым начальным состоянием и конечное состояние , каждая из которых может включать множество частиц. Тогда матричный элемент:
где {A i } - это набор возможных состояний на оболочке, т.е. состояния импульса частиц (или связанного комплекса частиц) на бесконечности.
Таким образом, удвоенная мнимая часть S-матрицы равна сумме, представляющей произведения вкладов всех разбросов начального состояния S-матрицы в другое физическое состояние на бесконечности, с разбросами последнего до конечного состояние S-матрицы. Поскольку мнимая часть S-матрицы может быть вычислена с помощью виртуальных частиц, появляющихся в промежуточных состояниях диаграмм Фейнмана , из этого следует, что эти виртуальные частицы должны состоять только из реальных частиц, которые также могут появляться как конечные состояния. Математический аппарат, который используется для этого, включает калибровочную симметрию, а иногда и призраков Фаддеева-Попова .
Границы унитарности
Согласно оптической теореме амплитуда вероятности M любого процесса рассеяния должна подчиняться
Подобные границы унитарности подразумевают, что амплитуды и сечение не могут слишком сильно увеличиваться с энергией или они должны уменьшаться так же быстро, как определенная формула [ какая? ] диктует.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Уэллетт, Дженнифер . «Алиса и Боб встречаются со стеной огня» . Журнал Quanta . Проверено 8 июля +2016 .
- ^ «Лекция 5: Временная эволюция» (PDF) . 22.51 Квантовая теория радиационных взаимодействий . MIT OpenCourseWare . Проверено 21 августа 2019 .
- ^ Cohen-Таннуджа, К., Ий, Б., Laloe Ф., и дуйте, B. (2006). Квантовая механика (2 тома).
- Перейти ↑ Paris, MG (2012). Современные инструменты квантовой механики. Специальные темы Европейского физического журнала, 203 (1), 61-86.
- ^ Пескин, М. (2018). Введение в квантовую теорию поля , гл. 7.3. CRC Press.