S-матрица

В физике , то S-матрица или рассеяние матрица связывает начальное состояние и конечное состояние физической системы , совершающей процесс рассеяния . Он используется в квантовой механике , теории рассеяния и квантовой теории поля (КТП).

Более формально, в контексте QFT, S-матрица определяется как унитарная матрица, соединяющая наборы асимптотически свободных состояний частицы ( входящие и исходящие состояния ) в гильбертовом пространстве физических состояний. Многочастичное состояние называется свободным (невзаимодействующим), если оно преобразуется при преобразованиях Лоренца как тензорное произведение или, говоря физическим языком, прямое произведение одночастичных состояний, как предписывается уравнением (1) ниже. Асимптотически свободный тогда это означает, что государство имеет это проявление либо в далеком прошлом, либо в далеком будущем.

Хотя S-матрица может быть определена для любого фона ( пространства-времени ), который асимптотически разрешим и не имеет горизонтов событий , в случае пространства Минковского она имеет простую форму . В этом специальном случае, гильбертово пространство является пространством неприводимых унитарных представлений о неоднородной группы Лоренца (The группы Пуанкаре ); S-матрица - это оператор эволюции между (далеким прошлым) и (далеким будущим). Он определяется только в пределе нулевой плотности энергии (или бесконечного расстояния разделения частиц).${\ Displaystyle т = - \ infty}$${\ Displaystyle т = + \ infty}$

Можно показать, что если квантовая теория поля в пространстве Минковского имеет массовую щель , состояния в асимптотическом прошлом и в асимптотическом будущем описываются пространствами Фока .

История [ править ]

S-матрица была впервые введена Джоном Арчибальдом Уилером в статье 1937 года «О математическом описании легких ядер методом резонансной групповой структуры». ^[1] В этой статье Уилер ввел матрицу рассеяния - унитарную матрицу коэффициентов, связывающую «асимптотическое поведение произвольного частного решения [интегральных уравнений] с асимптотическим поведением решений стандартного вида», ^[2], но не разработал это полностью.

В 1940-х годах Вернер Гейзенберг независимо разработал и обосновал идею S-матрицы. Из-за проблемных расхождений, имевших место в квантовой теории поля в то время, Гейзенберг был мотивирован выделить основные черты теории , на которые не повлияли будущие изменения по мере развития теории. При этом он был вынужден ввести унитарную «характеристическую» S-матрицу. ^[2]

Однако сегодня точные результаты S-матрицы являются венцом конформной теории поля , интегрируемых систем и ряда других областей квантовой теории поля и теории струн . S-матрицы не заменяют теоретико-полевое рассмотрение, а скорее дополняют его конечные результаты.

Мотивация [ править ]

В физике частиц высоких энергий интересуются вычислением вероятности различных результатов в экспериментах по рассеянию . Эти эксперименты можно разбить на три этапа:

1. Столкнуться вместе набор входящих частиц (обычно две частицы с высокими энергиями).
2. Позволяя входящим частицам взаимодействовать. Эти взаимодействия могут изменить типы присутствующих частиц (например, если электрон и позитрон аннигилируют, они могут произвести два фотона ).
3. Измерение полученных исходящих частиц.

Процесс, с помощью которого входящие частицы превращаются (посредством их взаимодействия ) в исходящие, называется рассеянием . Для физики элементарных частиц физическая теория этих процессов должна иметь возможность вычислять вероятность для разных исходящих частиц, когда разные входящие частицы сталкиваются с разными энергиями.

S-матрица в квантовой теории поля достигает именно этого. Предполагается, что в этих случаях справедливо приближение малой плотности энергии.

Используйте [ редактировать ]

S-матрица тесно связана с амплитудой вероятности перехода в квантовой механике и с сечениями различных взаимодействий; эти элементы (отдельные числовые записей) в S-матрицы известны как амплитуды рассеяния . Полюса S-матрицы в плоскости комплексной энергии отождествляются со связанными состояниями , виртуальными состояниями или резонансами . Срезы ветвей S-матрицы в плоскости комплексных энергий связаны с открытием канала рассеяния .

В гамильтоновом подходе к квантовой теории поля S-матрица может быть вычислена как упорядоченная по времени экспонента интегрированного гамильтониана в картине взаимодействия ; это также может быть выражено с помощью интегралов по путям Фейнмана . В обоих случаях пертурбативный расчет S-матрицы приводит к диаграммам Фейнмана .

В теории рассеяния , то S-матрица представляет собой оператор отображение свободная частица в состояниях для свободной частицы из-состояний ( каналы рассеяния ) в картине Гейзенберга . Это очень полезно, потому что зачастую мы не можем точно описать взаимодействие (по крайней мере, не самое интересное).

В одномерной квантовой механике [ править ]

В целях иллюстрации сначала рассматривается простой прототип, в котором S-матрица является 2-мерной. В нем частицы с резкой энергией E разлетаются от локализованного потенциала V согласно правилам одномерной квантовой механики. Эта простая модель уже отображает некоторые особенности более общих случаев, но с ней легче работать.

Каждая энергия Е дает S-матрица S = S ( E ) , который зависит от V . Таким образом, общий S-матрица может, образно говоря, быть визуализирована, в подходящем базисе, как «непрерывная матрица» с каждым элементом нуля , за исключением 2 × 2 -блоков по диагонали для данного V .

Определение [ править ]

Рассмотрим локализованную одномерного потенциального барьера V ( х ) , подвергнутый пучком квантовых частиц с энергией Е . Эти частицы падают на потенциальный барьер слева направо.

Решением уравнения Шредингера вне потенциального барьера являются плоские волны, заданные формулой

${\ displaystyle \ psi _ {L} (x) = Ae ^ {ikx} + Be ^ {- ikx}}$

для области слева от потенциального барьера, и

${\ Displaystyle \ psi _ {R} (х) = Ce ^ {ikx} + De ^ {- ikx}}$

для области справа от потенциального барьера, где

${\ Displaystyle к = {\ sqrt {2mE / \ hbar ^ {2}}}}$

- волновой вектор . В нашем обзоре зависимость от времени не требуется, и поэтому мы ее опускаем. Член с коэффициентом A представляет приходящую волну, а член с коэффициентом C представляет выходящую волну. B обозначает отражающую волну. Поскольку мы устанавливаем движение приходящей волны в положительном направлении (идущем слева), D равно нулю и может быть опущено.

«Амплитуда рассеяния», т. Е. Переходное перекрытие исходящих волн с приходящими волнами, является линейной зависимостью, определяющей S-матрицу,

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} B \\ C \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} S_ {11} & S_ {12} \\ S_ {21} & S_ {22} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} A \\ D \ end {pmatrix}}.}$

Вышеупомянутое соотношение можно записать как

${\ displaystyle \ Psi _ {out} = S \ Psi _ {in}}$

где

${\ Displaystyle \ Psi _ {out} = {\ begin {pmatrix} B \\ C \ end {pmatrix}}, \ quad \ Psi _ {in} = {\ begin {pmatrix} A \\ D \ end {pmatrix }}, \ qquad S = {\ begin {pmatrix} S_ {11} & S_ {12} \\ S_ {21} & S_ {22} \ end {pmatrix}}.}$

Элементы S полностью характеризуют рассеивающие свойства потенциального барьера V ( x ) .

Унитарная собственность [ править ]

Унитарность S-матрицы напрямую связана с сохранением тока вероятности в квантовой механике .

Вероятность тока J из волновой функции ф (х) определяется как

${\displaystyle J={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-\psi {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\right)}$.

Плотность тока слева от барьера равна

${\displaystyle J_{L}={\frac {\hbar k}{m}}\left(|A|^{2}-|B|^{2}\right)}$,

а плотность тока справа от барьера равна

${\displaystyle J_{R}={\frac {\hbar k}{m}}\left(|C|^{2}-|D|^{2}\right)}$.

Для сохранения плотности тока вероятности, J _L = J _R . Это означает, что S-матрица является унитарной матрицей .

Доказательство
${\displaystyle {\begin{aligned}&J_{L}=J_{R}\\&|A|^{2}-|B|^{2}=|C|^{2}-|D|^{2}\\&|B|^{2}+|C|^{2}=|A|^{2}+|D|^{2}\\&\Psi _{out}^{\dagger }\Psi _{out}=\Psi _{in}^{\dagger }\Psi _{in}\\&\Psi _{in}^{\dagger }S^{\dagger }S\Psi _{in}=\Psi _{in}^{\dagger }\Psi _{in}\\&S^{\dagger }S=I\\\end{aligned}}}$

Симметрия обращения времени [ править ]

Если потенциал V ( x ) действительный, то система обладает симметрией относительно обращения времени . При этом условии, если ψ (x) является решением уравнения Шредингера, то ψ * (x) также является решением.

Обращенное во времени решение дается выражением

${\displaystyle \psi _{L}^{*}(x)=A^{*}e^{-ikx}+B^{*}e^{ikx}}$

для области слева от потенциального барьера, и

${\displaystyle \psi _{R}^{*}(x)=C^{*}e^{-ikx}+D^{*}e^{ikx}}$

для области справа от потенциального барьера, где члены с коэффициентом B * , C * представляют приходящую волну, а члены с коэффициентом A * , D * представляют уходящую волну.

Они снова связаны S-матрицей,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A^{*}\\D^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{*}\\C^{*}\end{pmatrix}}\,}$

это,

${\displaystyle \Psi _{in}^{*}=S\Psi _{out}^{*}.}$

Теперь отношения

${\displaystyle \Psi _{in}^{*}=S\Psi _{out}^{*},\quad \Psi _{out}=S\Psi _{in}}$

вместе дают условие

${\displaystyle S^{*}S=I}$

Это условие в сочетании с соотношением унитарности означает, что S-матрица является симметричной в результате симметрии обращения времени,

${\displaystyle S^{T}=S.}$

Коэффициент пропускания и коэффициент отражения [ править ]

Коэффициент пропускания от левых потенциального барьера есть, когда D = 0 ,

${\displaystyle T_{L}={\frac {|C|^{2}}{|A|^{2}}}=|S_{21}|^{2}.}$

Коэффициент отражения слева от потенциального барьера равен, когда D = 0 ,

${\displaystyle R_{L}={\frac {|B|^{2}}{|A|^{2}}}=|S_{11}|^{2}.}$

Точно так же коэффициент прохождения справа от потенциального барьера равен, когда A = 0 ,

${\displaystyle T_{R}={\frac {|B|^{2}}{|D|^{2}}}=|S_{12}|^{2}.}$

Коэффициент отражения справа от потенциального барьера равен, когда A = 0 ,

${\displaystyle R_{R}={\frac {|C|^{2}}{|D|^{2}}}=|S_{22}|^{2}.}$

Соотношения между коэффициентами прохождения и отражения следующие:

${\displaystyle T_{L}+R_{L}=1}$

а также

${\displaystyle T_{R}+R_{R}=1.}$

Это следствие унитарности S-матрицы.

Оптическая теорема в одном измерении [ править ]

В случае свободных частиц V ( x ) = 0 S-матрица ^[3]

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.}$

Однако всякий раз, когда V ( x ) отлична от нуля, S-матрица отличается от приведенной выше формы, чтобы

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}2ir&1+2it\\1+2it&2ir^{*}{\frac {1+2it}{1-2it^{*}}}\end{pmatrix}}.}$

Это отклонение параметризуется двумя сложными функциями энергии, r и t . Из унитарности также следует связь между этими двумя функциями:

${\displaystyle |r|^{2}+|t|^{2}=\operatorname {Im} (t).}$

Аналог этого тождества в трех измерениях известен как оптическая теорема .

Определение в квантовой теории поля [ править ]

Картинка взаимодействия [ править ]

Простой способ определения S-матрицы начинается с рассмотрения картины взаимодействия . ^[4] Пусть гамильтониан Н быть разделен на свободную часть H ₀ и взаимодействие V , H = H ₀ + V . В этой картине, операторы ведут себя как свободные операторы поля и векторы состояния имеют динамику в соответствии с взаимодействием V . Позволять

${\displaystyle \left|\Psi (t)\right\rangle }$

обозначают состояние, которое развилось из свободного начального состояния

${\displaystyle \left|\Phi _{i}\right\rangle .}$

Затем элемент S-матрицы определяется как проекция этого состояния на конечное состояние.

${\displaystyle \left\langle \Phi _{f}\right|.}$

Таким образом

${\displaystyle S_{fi}\equiv \lim _{t\rightarrow +\infty }\left\langle \Phi _{f}|\Psi (t)\right\rangle \equiv \left\langle \Phi _{f}\right|S\left|\Phi _{i}\right\rangle ,}$

где S - S-оператор . Большим преимуществом этого определения является то, что оператор временной эволюции U, развивающий состояние в картине взаимодействия, формально известен ^[5].

${\displaystyle U(t,t_{0})=Te^{-i\int _{t_{0}}^{t}d\tau V(\tau )},}$

где T обозначает заказанный по времени продукт . Выражаясь в этом операторе,

${\displaystyle S_{fi}=\lim _{t_{2}\rightarrow +\infty }\lim _{t_{1}\rightarrow -\infty }\left\langle \Phi _{f}\right|U(t_{2},t_{1})\left|\Phi _{i}\right\rangle ,}$

откуда

${\displaystyle S=U(\infty ,-\infty ).}$

Расширение использования знаний об U дает ряд Дайсона ,

${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }dt_{1}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dt_{n}T\left[V(t_{1})\cdots V(t_{n})\right],}$

или, если V представляет собой гамильтониану плотность,

${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }dx_{1}^{4}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dx_{n}^{4}T\left[{\mathcal {H}}(t_{1})\cdots {\mathcal {H}}(t_{n})\right].}$

Будучи особым типом оператора временной эволюции, S унитарен. Для любого начального состояния и любого конечного состояния можно найти

${\displaystyle S_{fi}=\left\langle \Phi _{f}|S|\Phi _{i}\right\rangle =\left\langle \Phi _{f}\left|\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }dx_{1}^{4}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dx_{n}^{4}T\left[{\mathcal {H}}(t_{1})\cdots {\mathcal {H}}(t_{n})\right]\right|\Phi _{i}\right\rangle .}$

Этот подход несколько наивен в том смысле, что потенциальные проблемы замалчиваются. ^[6] Это сделано намеренно. Подход работает на практике, и некоторые технические вопросы рассматриваются в других разделах.

Входящие и исходящие состояния [ править ]

Здесь используется несколько более строгий подход для решения потенциальных проблем, которые не были учтены в описанном выше подходе к картине взаимодействия. Конечный результат, конечно, такой же, как и при выборе более быстрого маршрута. Для этого нужны понятия входящего и выходящего состояний. Они будут развиваться двумя способами: из вакуума и из состояний свободных частиц. Излишне говорить, что эти два подхода эквивалентны, но они освещают вопрос с разных сторон.

Из вакуума [ править ]

Если a (k) ^† является оператором рождения , его эрмитово сопряженный оператор является оператором уничтожения и разрушает вакуум,

${\displaystyle a(k)\left|*,0\right\rangle =0.}$

В обозначениях Дирака определим

${\displaystyle |*,0\rangle }$

как квантовое состояние вакуума , т.е. состояние без реальных частиц. Звездочка означает, что не все вакуумы обязательно равны и, конечно, не равны нулевому состоянию 0 в гильбертовом пространстве . Предполагается, что все вакуумные состояния инвариантны Пуанкаре , инвариантны относительно сдвигов, поворотов и бустов ^[6], формально

${\displaystyle P^{\mu }|*,0\rangle =|*,0\rangle ,\quad M^{\mu \nu }|*,0\rangle =|*,0\rangle ,}$

где P ^μ - генератор сдвига в пространстве и времени, а M ^μν - генератор преобразований Лоренца . Таким образом, описание вакуума не зависит от системы координат. С состояниями входа и выхода, которые необходимо определить, связаны операторы входящего и выходящего поля (также известные как поля ) Φ _i и Φ _o . Здесь внимание сосредоточено на простейшем случае - скалярной теории , чтобы проиллюстрировать это с наименьшей возможной загромождением обозначений. Поля in и out удовлетворяют

${\displaystyle (\Box ^{2}+m^{2})\phi _{i,o}(x)=0,}$

свободное уравнение Клейна – Гордона . Постулируется, что эти поля имеют те же отношения равновременной коммутации ( ETCR ), что и свободные поля,

${\displaystyle {\begin{aligned}{[\phi _{i,o}(x),\pi _{i,o}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}&=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} ),\\{[\phi _{i,o}(x),\phi _{i,o}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}&={[\pi _{i,o}(x),\pi _{i,o}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}=0\end{aligned}},}$

где π _{i , j} - поле, канонически сопряженное с Φ _{i , j} . Ассоциированные к и из полей два набора операторов рождения и уничтожения, _я ( к ) ^† и _е ( к ) ^† , действующий в одном гильбертовом пространстве , ^[7] на двух различных комплектациях ( Фока пространств ; начальная пробел i , заключительный пробел f ). Эти операторы удовлетворяют обычным правилам коммутации,

${\displaystyle {\begin{aligned}{[a_{i,o}(\mathbf {p} ),a_{i,o}^{\dagger }(\mathbf {p} ')]}&=i\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p'} ),\\{[a_{i,o}(\mathbf {p} ),a_{i,o}(\mathbf {p'} )]}&={[a_{i,o}^{\dagger }(\mathbf {p} ),a_{i,o}^{\dagger }(\mathbf {p'} )]}=0.\end{aligned}}}$

Действие операторов рождения на их соответствующие вакуумы и состояния с конечным числом частиц во входящем и выходящем состояниях определяется выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|i,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle &=a_{i}^{\dagger }(k_{1})\cdots a_{i}^{\dagger }(k_{n})\left|i,0\right\rangle ,\\\left|f,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle &=a_{f}^{\dagger }(p_{1})\cdots a_{f}^{\dagger }(p_{n})\left|f,0\right\rangle ,\end{aligned}}}$

где игнорировались вопросы нормализации. В следующем разделе подробно описано, как нормализовать общее состояние n- частицы . Начальное и конечное пространства определяются как

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{i}=\operatorname {span} \{\left|i,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =a_{i}^{\dagger }(k_{1})\cdots a_{i}^{\dagger }(k_{n})\left|i,0\right\rangle \},}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{f}=\operatorname {span} \{\left|f,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle =a_{f}^{\dagger }(p_{1})\cdots a_{f}^{\dagger }(p_{n})\left|f,0\right\rangle \}.}$

Предполагается, что асимптотические состояния обладают хорошо определенными свойствами преобразования Пуанкаре, т. Е. Предполагается, что они трансформируются как прямое произведение одночастичных состояний. ^[8] Это характеристика невзаимодействующего поля. Из этого следует, что все асимптотические состояния являются собственными состояниями оператора импульса P ^μ , ^[6]

${\displaystyle P^{\mu }\left|i,k_{1}\ldots k_{m}\right\rangle =k_{1}^{\mu }+\cdots +k_{m}^{\mu }\left|i,k_{1}\ldots k_{m}\right\rangle ,\quad P^{\mu }\left|f,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle =p_{1}^{\mu }+\cdots +p_{n}^{\mu }\left|f,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle .}$

В частности, они являются собственными состояниями полного гамильтониана,

${\displaystyle H=P^{0}.}$

Обычно постулируется, что вакуум является стабильным и уникальным, ^{[6] [nb 1]}

${\displaystyle |i,0\rangle =|f,0\rangle =|*,0\rangle \equiv |0\rangle .}$.

Предполагается, что взаимодействие включается и выключается адиабатически.

Фотография Гейзенберга [ править ]

Картина Гейзенберга используется в дальнейшем. На этом рисунке состояния не зависят от времени. Таким образом, вектор состояния Гейзенберга представляет полную пространственно-временную историю системы частиц. ^[8] Обозначение состояний входа и выхода относится к асимптотическому виду. Состояние Ψ _{α , in} характеризуется тем, что при t → −∞ содержание частиц представляет собой совокупность, представленную α . Аналогично, состояние Ψ _{β , out} будет иметь содержание частиц, представленное β для t → + ∞.. Используя предположение, что входящие и исходящие состояния, а также взаимодействующие состояния обитают в одном и том же гильбертовом пространстве, и предполагая полноту нормированных входных и исходящих состояний (постулат асимптотической полноты ^[6] ), начальные состояния можно разложить в основа конечных состояний (или наоборот). Явное выражение будет дано позже, после введения дополнительных обозначений и терминологии. Коэффициенты разложения - это в точности элементы S-матрицы, которые будут определены ниже.

В то время как векторы состояния постоянны во времени в картине Гейзенберга, физические состояния, которые они представляют, нет . Если система оказывается находится в состоянии Ф в момент времени т = 0 , то он будет находится в состоянии U ( τ ) Ψ = е ^{- iHτ} ф в момент времени т = т . Это не (обязательно) тот же вектор состояния Гейзенберга, но это эквивалентный вектор состояния, а это означает, что после измерения он будет обнаружен как одно из конечных состояний из разложения с ненулевым коэффициентом. Изменяя τ, мы видим, что наблюдаемая Ψ(не измеряется) действительно является вектором состояния картины Шредингера . Повторяя измерение достаточно много раз и усредняя, ​​можно сказать, что в момент времени t = τ действительно обнаруживается тот же вектор состояния, что и в момент времени t = 0 . Это отражает расширение входящего состояния в исходное состояние.

Из состояний свободных частиц [ править ]

С этой точки зрения следует рассмотреть, как проводится эксперимент по архетипическому рассеянию. Начальные частицы подготавливаются в четко определенных состояниях, где они настолько далеко друг от друга, что не взаимодействуют. Их каким-то образом заставляют взаимодействовать, и конечные частицы регистрируются, когда они настолько далеко друг от друга, что перестают взаимодействовать. Идея состоит в том, чтобы найти в картине Гейзенберга состояния, которые в далеком прошлом имели вид состояний свободных частиц. Это будет в штатах. Точно так же выходное состояние будет состоянием, которое в далеком будущем будет иметь вид состояния свободной частицы. ^[8]

Будут использоваться обозначения из общей ссылки на этот раздел, Weinberg (2002) . Общее невзаимодействующее многочастичное состояние задается формулой

${\displaystyle \Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2};\cdots },}$

где

• p - импульс,
• σ - z-компонента спина или, в безмассовом случае, спиральность ,
• n - разновидность частиц.

Эти состояния нормированы как

${\displaystyle \left(\Psi _{p_{1}'\sigma _{1}'n_{1}';p_{2}'\sigma _{2}'n_{2}';\cdots },\Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2};\cdots }\right)=\delta ^{3}(\mathbf {p} _{1}'-\mathbf {p} _{1})\delta _{\sigma _{1}'\sigma _{1}}\delta _{n_{1}'n_{1}}\delta ^{3}(\mathbf {p} _{2}'-\mathbf {p} _{2})\delta _{\sigma _{2}'\sigma _{2}}\delta _{n_{2}'n_{2}}\cdots \quad \pm {\text{ permutations}}.}$

Перестановки работают как таковые; если s ∈ S _k - перестановка k объектов (для k -частичного состояния) такая, что

${\displaystyle n_{s(i)}'=n_{i},\quad 1\leq i\leq k,}$

тогда получается ненулевой член. Знак плюс, если s не включает нечетное число транспозиций фермионов, и в этом случае это минус. Обозначения обычно сокращаются, позволяя одной греческой букве обозначать всю коллекцию, описывающую состояние. В сокращенном виде нормализация становится

${\displaystyle \left(\Psi _{\alpha '},\Psi _{\alpha }\right)=\delta (\alpha '-\alpha ).}$

При интегрировании по состояниям свободных частиц в этих обозначениях пишут

${\displaystyle d\alpha \cdots \equiv \sum _{n_{1}\sigma _{1}n_{2}\sigma _{2}\cdots }\int d^{3}p_{1}d^{3}p_{2}\cdots ,}$

где сумма включает только такие члены, что никакие два члена не равны по модулю перестановки индексов типа частицы. Предполагается, что искомые наборы состояний будут полными . Это выражается как

${\displaystyle \Psi =\int d\alpha \ \Psi _{\alpha }\left(\Psi _{\alpha },\Psi \right),}$

который можно перефразировать как

${\displaystyle \int d\alpha \ \left|\Psi _{\alpha }\right\rangle \left\langle \Psi _{\alpha }\right|=1,}$

где при каждом фиксированном α правая часть является оператором проекции на состояние α . При неоднородном преобразовании Лоренца (Λ, a ) поле преобразуется по правилу

${\displaystyle U(\Lambda ,a)\Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2}\cdots }=e^{-ia_{\mu }((\Lambda p_{1})^{\mu }+(\Lambda p_{2})^{\mu }+\cdots )}{\sqrt {\frac {(\Lambda p_{1})^{0}(\Lambda p_{2})^{0}\cdots }{p_{1}^{0}p_{2}^{0}\cdots }}}\sum _{\sigma _{1}'\sigma _{2}'\cdots }D_{\sigma _{1}'\sigma _{1}}^{(j_{1})}(W(\Lambda ,p_{1}))D_{\sigma _{2}'\sigma _{2}}^{(j_{2})}(W(\Lambda ,p_{2}))\cdots \Psi _{\Lambda p_{1}\sigma _{1}'n_{1};\Lambda p_{2}\sigma _{2}'n_{2}\cdots },}$

( 1 )

где W (Λ, p ) - вигнеровское вращение, а D ^{( j )} - (2 j + 1) -мерное представление SO (3) . Полагая Λ = 1, a = ( τ , 0, 0, 0) , для которого U равно exp ( iHτ ) , в (1) немедленно следует, что

${\displaystyle H\Psi =E_{\alpha }\Psi ,\quad E_{\alpha }=p_{1}^{0}+p_{2}^{0}+\cdots ,}$

таким образом, входящие и исходящие состояния sough after являются собственными состояниями полного гамильтониана, которые обязательно не взаимодействуют из-за отсутствия членов смешанной энергии частиц. Обсуждение в разделе выше предполагает, что входные состояния Ψ ⁺ и исходящие состояния Ψ ^- должны быть такими, чтобы

${\displaystyle e^{-iH\tau }\int d\alpha \ g(\alpha )\Psi _{\alpha }^{\pm }=\int d\alpha \ e^{-iE_{\alpha }\tau }g(\alpha )\Psi _{\alpha }^{\pm }}$

для больших положительных и отрицательных τ имеет вид соответствующего пакета, представленного g , состояний свободных частиц, g предполагается гладким и соответствующим образом локализованным по импульсу. Волновые пакеты необходимы, иначе временная эволюция даст только фазовый фактор, указывающий на свободные частицы, чего не может быть. Правая часть следует из того, что входящие и исходящие состояния являются собственными состояниями гамильтониана согласно вышеизложенному. Чтобы формализовать это требование, предположим, что полный гамильтониан H можно разделить на два члена: гамильтониан свободной частицы H ₀ и взаимодействие V , H = H ₀ + Vтаким образом, что собственные состояния Ф & _gamma из H ₀ имеет одинаковый внешний вид, что и в- или из состояний в отношении к нормализации и свойствам преобразований Лоренца,

${\displaystyle H_{0}\Phi _{\alpha }=E_{\alpha }\Phi _{\alpha },}$

${\displaystyle (\Phi _{\alpha }',\Phi _{\alpha })=\delta (\alpha '-\alpha ).}$

Состояния входа и выхода определяются как собственные состояния полного гамильтониана,

${\displaystyle H\Psi _{\alpha }^{\pm }=E_{\alpha }\Psi _{\alpha }^{\pm },}$

удовлетворение

${\displaystyle e^{-iH\tau }\int d\alpha \ g(\alpha )\Psi _{\alpha }^{\pm }\rightarrow e^{-iH_{0}\tau }\int d\alpha \ g(\alpha )\Phi _{\alpha }.}$

при τ → −∞ или τ → + ∞ соответственно. Определять

${\displaystyle \Omega (\tau )\equiv e^{+iH\tau }e^{-iH_{0}\tau },}$

тогда

${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{\pm }=\Omega (\mp \infty )\Phi _{\alpha }.}$

Это последнее выражение будет работать только с волновыми пакетами. Из этих определений следует, что входящие и исходящие состояния нормализуются таким же образом, как и состояния свободных частиц,

${\displaystyle (\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{+})=(\Phi _{\beta },\Phi _{\alpha })=(\Psi _{\beta }^{-},\Psi _{\alpha }^{-})=\delta (\beta -\alpha ),}$

и три набора унитарно эквивалентны. Теперь перепишем уравнение для собственных значений:

${\displaystyle (E_{\alpha }-H_{0}\pm i\epsilon )\Psi _{\alpha }^{\pm }=\pm i\epsilon \Psi _{\alpha }^{\pm }+V\Psi _{\alpha }^{\pm },}$

где добавлены члены ± iε , чтобы оператор на LHS стал обратимым. Поскольку состояния in и out сводятся к состояниям свободных частиц при V → 0 , положим

${\displaystyle i\epsilon \Psi _{\alpha }^{\pm }=i\epsilon \Phi _{\alpha }}$

на RHS, чтобы получить

${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{\pm }=\Phi _{\alpha }+(E_{\alpha }-H_{0}\pm i\epsilon )^{-1}V\Psi _{\alpha }^{\pm }.}$

Тогда воспользуйтесь полнотой состояний свободных частиц,

${\displaystyle V\Psi _{\alpha }^{\pm }=\int d\beta \ (\Phi _{\beta },V\Psi _{\alpha }^{\pm })\Phi _{\beta }\equiv \int d\beta \ T_{\beta \alpha }^{\pm }\Phi _{\beta },}$

наконец получить

${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{\pm }=\Phi _{\alpha }+\int d\beta \ {\frac {T_{\beta \alpha }^{\pm }\Phi _{\beta }}{E_{\alpha }-E_{\beta }\pm i\epsilon }}.}$

Здесь H ₀ заменено на собственное значение в состояниях свободных частиц. Это уравнение Липпмана – Швингера .

В состояниях, выраженных как исходящие состояния [ править ]

Начальные состояния могут быть расширены в основе конечных состояний (или наоборот). Используя соотношение полноты,

${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{-}=\int d\beta (\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})\Psi _{\beta }^{+}=\int d\beta |\Psi _{\beta }^{+}\rangle \langle \Psi _{\beta }^{+}|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle =\sum _{n_{1}\sigma _{1}n_{2}\sigma _{2}\cdots }\int d^{3}p_{1}d^{3}p_{2}\cdots (\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})\Psi _{\beta }^{+},}$

${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{-}=\left|i,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =C_{0}\left|f,0\right\rangle \ +\sum _{m=1}^{\infty }\int {d^{4}p_{1}\ldots d^{4}p_{m}C_{m}(p_{1}\ldots p_{m})\left|f,p_{1}\ldots p_{m}\right\rangle }~,}$

где | C _м | ² - вероятность того, что взаимодействие преобразует

${\displaystyle \left|i,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =\Psi _{\alpha }^{-}}$

в

${\displaystyle \left|f,p_{1}\ldots p_{m}\right\rangle =\Psi _{\beta }^{+}}$.

По обычным правилам квантовой механики

${\displaystyle C_{m}(p_{1}\ldots p_{m})=\left\langle f,p_{1}\ldots p_{m}\right|i,k_{1}\ldots k_{n}\rangle =(\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})}$

и можно написать

${\displaystyle \left|i,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =C_{0}\left|f,0\right\rangle \ +\sum _{m=1}^{\infty }\int {d^{4}p_{1}\ldots d^{4}p_{m}\left|f,p_{1}\ldots p_{m}\right\rangle }\left\langle f,p_{1}\ldots p_{m}\right|i,k_{1}\ldots k_{n}\rangle ~.}$

Коэффициенты разложения - это в точности элементы S-матрицы, которые будут определены ниже.

S-матрица [ править ]

S-матрица теперь определяется ^[8]

${\displaystyle S_{\beta \alpha }=\langle \Psi _{\beta }^{-}|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle =\langle f,\beta |i,\alpha \rangle ,\qquad |f,\beta \rangle \in {\mathcal {H}}_{f},\quad |i,\alpha \rangle \in {\mathcal {H}}_{i}.}$

Здесь α и β - сокращения, которые представляют содержание частиц, но подавляют отдельные метки. С S-матрицей связан S-оператор S, определенный в ^[8]

${\displaystyle \langle \Phi _{\beta }|S|\Phi _{\alpha }\rangle \equiv S_{\beta \alpha },}$

где Φ _γ - состояния свободных частиц. ^{[8] [nb 2]} Это определение соответствует прямому подходу, используемому в картине взаимодействия. Кроме того, из-за унитарной эквивалентности,

${\displaystyle \langle \Psi _{\beta }^{+}|S|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle =S_{\beta \alpha }=\langle \Psi _{\beta }^{-}|S|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle .}$

В качестве физического требования S должен быть унитарным оператором . Это утверждение сохранения вероятности в квантовой теории поля. Но

${\displaystyle \langle \Psi _{\beta }^{-}|S|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle =S_{\beta \alpha }=\langle \Psi _{\beta }^{-}|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle .}$

Тогда по полноте

${\displaystyle S|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle =|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle ,}$

так что S - это унитарное преобразование из состояний входа в состояние выхода. Лоренц-инвариантность - еще одно важное требование к S-матрице. ^{[8] [nb 3]} S-оператор представляет собой квантовое каноническое преобразование начального состояния in в конечное состояние out . Кроме того, S выходит из вакуумного состояния инвариантны и преобразование в -пространстве полей для из -пространства полей, ^{[NB 4]}

${\displaystyle S\left|0\right\rangle =\left|0\right\rangle }$

${\displaystyle \phi _{f}=S\phi _{i}S^{-1}~.}$

С точки зрения операторов создания и уничтожения это становится

${\displaystyle a_{f}(p)=Sa_{i}(p)S^{-1},a_{f}^{\dagger }(p)=Sa_{i}^{\dagger }(p)S^{-1},}$

следовательно

${\displaystyle {\begin{aligned}S|i,k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\rangle &=Sa_{i}^{\dagger }(k_{1})a_{i}^{\dagger }(k_{2})\cdots a_{i}^{\dagger }(k_{n})|0\rangle =Sa_{i}^{\dagger }(k_{1})S^{-1}Sa_{i}^{\dagger }(k_{2})S^{-1}\cdots Sa_{i}^{\dagger }(k_{n})S^{-1}S|0\rangle \\&=a_{o}^{\dagger }(k_{1})a_{o}^{\dagger }(k_{2})\cdots a_{o}^{\dagger }(k_{n})S|0\rangle =a_{o}^{\dagger }(k_{1})a_{o}^{\dagger }(k_{2})\cdots a_{o}^{\dagger }(k_{n})|0\rangle =|o,k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\rangle .\end{aligned}}}$

Аналогичное выражение имеет место, когда S работает слева в состоянии out. Это означает, что S-матрица может быть выражена как

${\displaystyle S_{\beta \alpha }=\langle o,\beta |i,\alpha \rangle =\langle i,\beta |S|i,\alpha \rangle =\langle o,\beta |S|o,\alpha \rangle .}$

Если S правильно описывает взаимодействие, эти свойства также должны быть верными:

• Если система состоит из одной частицы в собственном состоянии импульса | к ⟩ , то S | к ⟩ = | к ⟩ . Это следует из приведенного выше расчета как частный случай.
• Элемент S-матрицы может быть отличным от нуля только в том случае, если выходное состояние имеет тот же общий импульс, что и входное состояние. Это следует из требуемой лоренц-инвариантности S-матрицы.

Оператор эволюции U [ править ]

Определите зависящий от времени оператор создания и уничтожения следующим образом:

${\displaystyle a^{\dagger }\left(k,t\right)=U^{-1}(t)a_{i}^{\dagger }\left(k\right)U\left(t\right)}$

${\displaystyle a\left(k,t\right)=U^{-1}(t)a_{i}\left(k\right)U\left(t\right)~,}$

Итак, для полей

${\displaystyle \phi _{f}=U^{-1}(\infty )\phi _{i}U(\infty )=S^{-1}\phi _{i}S~,}$

где

${\displaystyle S=e^{i\alpha }\,U(\infty )}$ .

Мы учитываем разность фаз, определяемую выражением

${\displaystyle e^{i\alpha }=\left\langle 0|U(\infty )|0\right\rangle ^{-1}~,}$

потому что для S ,

${\displaystyle S\left|0\right\rangle =\left|0\right\rangle \Longrightarrow \left\langle 0|S|0\right\rangle =\left\langle 0|0\right\rangle =1~.}$

Подставляя явное выражение для U , имеем

${\displaystyle S={\frac {1}{\left\langle 0|U(\infty )|0\right\rangle }}{\mathcal {T}}e^{-i\int {d\tau H_{\rm {int}}(\tau )}}~,}$

где - взаимодействующая часть гамильтониана, - временное упорядочение.${\displaystyle H_{\rm {int}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

При осмотре видно, что эта формула не является явно ковариантной.

Серия Дайсона [ править ]

Наиболее широко используемым выражением для S-матрицы является ряд Дайсона. Это выражает оператор S-матрицы в виде ряда :

${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int \cdots \int d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}\ldots d^{4}x_{n}T[{\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x_{1}){\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x_{2})\cdots {\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x_{n})]}$

где:

• ${\displaystyle T[\cdots ]}$обозначает упорядочение по времени ,
• ${\displaystyle \;{\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x)}$обозначает плотность гамильтониана взаимодействия, которая описывает взаимодействия в теории.

Не-S-матрица [ править ]

Поскольку превращение частиц в черную дыру в излучение Хокинга нельзя было описать с помощью S-матрицы, Стивен Хокинг предложил «не-S-матрицу», для которой он использовал знак доллара, и которую поэтому также называли «долларовой матрицей». ". ^[9]

См. Также [ править ]

• Диаграмма Фейнмана
• Формула восстановления LSZ
• Теорема Вика
• Теорема Хаага
• Картинка взаимодействия

Замечания [ править ]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Ландау Л.Д. , Лифшиц Е.М. (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория . Vol. 3 (3-е изд.). Pergamon Press . ISBN 978-0-08-020940-1. |volume= has extra text (help) §125
• Вайнберг, С. (2002), Квантовая теория полей, том I , Cambridge University Press , ISBN 0-521-55001-7
• Мерцбахер, Ойген (1961), Квантовая механика , Wiley & Sons, Глава 13, §3; Глава 19, §6, ISBN 0-471-59670-1
• Сакураи, Джей Джей ; Наполитано, Дж. (2011) [1964]. Современная квантовая механика (2-е изд.). Эддисон Уэсли . Глава 6. ISBN 978-0-8053-8291-4.
• Барут, Асим Орхан (1967). Теория матрицы рассеяния для взаимодействий элементарных частиц . Макмиллан.
• Альберт Мессия (1999). Квантовая механика . Dover Publications. ISBN 0-486-40924-4.
• Тони Филипс (ноябрь 2001 г.). «Конечномерные диаграммы Фейнмана» . Что нового в математике . Американское математическое общество . Проверено 23 октября 2007 .
• Стивен Гасиорович (1974). Квантовая физика . Wiley & Sons. ISBN 0-471-29281-8.
• Greiner, W .; Райнхардт, Дж. (1996), Квантование поля , Springer Publishing , ISBN 3-540-59179-6
• Муссардо, Г. (1992). «Некритические статистические модели: теории факторизованного рассеяния и программа начальной загрузки». Отчеты по физике . 218 (5–6): 215–379. Bibcode : 1992PhR ... 218..215M . DOI : 10.1016 / 0370-1573 (92) 90047-4 .
• Замолодчиков А.Б .; Замолодчиков, А.Б. (1979). «Факторизованные S-матрицы в двух измерениях как точные решения некоторых моделей релятивистской квантовой теории поля». Летопись физики . 120 (2): 253. Bibcode : 1979AnPhy.120..253Z . DOI : 10.1016 / 0003-4916 (79) 90391-9 .