В математике , А унитарное представление из группы G является линейным представлением π из G на комплексном гильбертовом пространстве V такое , что π ( г ) представляет собой унитарный оператор для каждого г ∈ G . Общая теория хорошо развита в случае, если G - локально компактная (хаусдорфова) топологическая группа и представления сильно непрерывны .
Теория широко применялась в квантовой механике с 1920-х годов, особенно под влиянием книги Германа Вейля 1928 года Gruppentheorie und Quantenmechanik . Одним из пионеров построения общей теории унитарных представлений для любой группы G, а не только для конкретных групп, полезных в приложениях, был Джордж Макки .
Контекст в гармоническом анализе [ править ]
Теория унитарных представлений групп тесно связана с гармоническим анализом . В случае абелевой группы G достаточно полную картину теории представлений группы G дает двойственность Понтрягина . Вообще говоря, классы унитарной эквивалентности (см. Ниже ) неприводимых унитарных представлений группы G составляют ее унитарно двойственные . Это множество можно отождествить со спектром C * -алгебры, ассоциированной с G, с помощью конструкции групповой C * -алгебры . Это топологическое пространство .
Общий вид Планшереля теорема пытается описать регулярное представление G на L 2 ( G ) с помощью меры по унитарному двойному. Для G абелева это дается теория двойственности Понтрягина. Для компактных G это делается по теореме Питера – Вейля ; в этом случае унитарное двойственное пространство является дискретным пространством , и мера присоединяет атом к каждой точке массы, равной ее степени.
Формальные определения [ править ]
Пусть G - топологическая группа. Сильно непрерывное унитарное представление из G в гильбертовом пространстве Н представляет собой группу гомоморфизм из G в унитарные группы Н ,
таким образом, что г → π ( г ) ξ является норма непрерывной функцией для каждого £ Е Н .
Заметим, что если G группа Ли , гильбертово пространство также допускает лежащие в основе гладкие и аналитические структуры. Вектор ξ в H называется гладким или аналитическим, если отображение g → π ( g ) ξ гладкое или аналитическое (по норме или в слабых топологиях на H ). [1] Гладкие векторы плотны в H согласно классическому аргументу Ларса Гординга , поскольку свертка с помощью гладких функций с компактным носителем дает гладкие векторы. Аналитические векторы являются плотными согласно классическому аргументу Эдварда Нельсона , усиленному Роу Гудманом, поскольку векторы в образе оператора теплопроводностиe –tD , соответствующие эллиптическому дифференциальному оператору D в универсальной обертывающей алгебре группы G , аналитичны. Не только гладкие или аналитические векторы образуют плотные подпространства; они также образуют общие ядра для неограниченных кососопряженных операторов, соответствующих элементам алгебры Ли в смысле спектральной теории . [2]
Два унитарных представления π 1 : G → U ( H 1 ), π 2 : G → U ( H 2 ) называются унитарно эквивалентными, если существует унитарное преобразование A : H 1 → H 2 такое, что π 1 ( g ) = * ∘ л 2 ( г ) ∘ для всех г в G . Когда это выполняется, A называется сплетающим операторомдля представлений (π 1 , H 1 ), (π 2 , H 2 ). [3]
Если - представление связной группы Ли на конечномерном гильбертовом пространстве , то унитарно тогда и только тогда, когда ассоциированное представление алгебры Ли отображается в пространство кососамосопряженных операторов на . [4]
Полная сводимость [ править ]
Унитарное представление вполне приводимое , в том смысле , что для любого замкнутого инвариантного подпространства , то ортогональное дополнение снова замкнутое инвариантное подпространство. Это на уровне наблюдения, но это фундаментальное свойство. Например, это означает, что конечномерные унитарные представления всегда являются прямой суммой неприводимых представлений в алгебраическом смысле.
Поскольку с унитарными представлениями работать намного проще, чем с общим случаем, естественно рассматривать унитаризуемые представления , которые становятся унитарными при введении подходящей комплексной структуры гильбертова пространства. Это очень хорошо работает для конечных групп , и в более общем смысле для компактных групп , с помощью аргумента усреднения, применяемого к произвольной эрмитовой структуре. [5] Например, естественное доказательство теоремы Машке проводится этим путем.
Унитаризуемость и унитарный двойственный вопрос [ править ]
В общем, для некомпактных групп более серьезный вопрос - какие представления унитаризуемы. Одной из важных нерешенных проблем математики является описание унитарного дуального , эффективная классификация неприводимых унитарных представлений всех вещественных редуктивных групп Ли . Все неприводимые унитарные представления допустимы (или, скорее, их модули Хариш-Чандры ), а допустимые представления задаются классификацией Ленглендса , и легко сказать, какие из них имеют нетривиальную инвариантную полуторалинейную форму . Проблема в том, что в общем случае трудно сказать, когда квадратичная формаположительно определенный . Для многих редуктивных групп Ли это было решено; см. примеры в теории представлений группы SL2 (R) и теории представлений группы Лоренца .
Заметки [ править ]
- ^ Уорнер (1972)
- ^ Рид и Саймон (1975)
- ^ Пол Салли (2013) Основы математического анализа , Американское математическое общество, стр. 234
- ^ Зал 2015 Предложение 4.8
- ^ Зал 2015 Раздел 4.4
Ссылки [ править ]
- Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
- Рид, Майкл; Саймон, Барри (1975), Методы современной математической физики, т. 2: Анализ Фурье, Самосопряженность , Academic Press, ISBN 0-12-585002-6
- Уорнер, Гарт (1972), Гармонический анализ на полупростых группах Ли I , Springer-Verlag, ISBN 0-387-05468-5
См. Также [ править ]
- Индуцированные представления
- Изотипическое представление
- Теория представлений SL2 (R)
- Представления группы Лоренца.
- Теорема Стоуна – фон Неймана
- Унитарное представление звездной супералгебры Ли
- Зональная сферическая функция
