В математике , эквивариантность является формой симметрии для функций из одного пространства с симметрией к другому (например, симметричным пространствам ). Функция называется в эквивариантную карту , когда его домен и кообласть которые действовали на одной и той же группой симметрии , и когда функция коммутирует с действием группы. То есть применение преобразования симметрии и последующее вычисление функции дает тот же результат, что и вычисление функции с последующим применением преобразования.
Эквивариантные отображения обобщают концепцию инвариантов , функций, значение которых не изменяется в результате преобразования симметрии их аргумента. Значение эквивариантной карты часто (неточно) называют инвариантом.
В статистическом выводе эквивалентность при статистических преобразованиях данных является важным свойством различных методов оценки; подробнее см. в инвариантной оценке . В чистой математике эквивариантность является центральным объектом изучения эквивариантной топологии и ее подтем, эквивариантных когомологий и эквивариантной стабильной теории гомотопий .
Примеры
Элементарная геометрия
В геометрии треугольников , то площадь и периметр треугольника инварианты: перевод или вращающаяся треугольник не меняет свою площадь или периметр. Однако центры треугольника, такие как центроид , центр описанной окружности , центр окружности и ортоцентр , не являются инвариантными, потому что перемещение треугольника также приведет к перемещению его центров. Вместо этого эти центры эквивариантны: применение любого евклидова конгруэнтности (сочетание сдвига и вращения) к треугольнику, а затем построение его центра дает ту же точку, что и построение сначала центра, а затем применение того же сравнения к центру. В более общем смысле, все центры треугольников также эквивариантны при преобразованиях подобия (комбинации сдвига, поворота и масштабирования) [1], а центроид эквивариантен при аффинных преобразованиях . [2]
Одна и та же функция может быть инвариантом для одной группы симметрий и эквивариантной для другой группы симметрий. Например, при преобразованиях подобия вместо конгруэнций площадь и периметр перестают быть неизменными: масштабирование треугольника также изменяет его площадь и периметр. Однако эти изменения происходят предсказуемым образом: если треугольник масштабируется с коэффициентом s , периметр также масштабируется на s, а площадь - на s 2 . Таким образом, функция, отображающая каждый треугольник на его площадь или периметр, может рассматриваться как эквивариантная для мультипликативного группового действия масштабных преобразований над положительными действительными числами.
Статистика
Другой класс простых примеров - это статистическая оценка . Средний образец (набор действительных чисел) обычно используются в качестве центральной тенденции образца. Он эквивариантен относительно линейных преобразований действительных чисел, поэтому, например, на него не влияет выбор единиц, используемых для представления чисел. Напротив, среднее не эквивариантно по отношению к нелинейным преобразованиям, таким как экспоненты.
Медианный образец эквивариантен для гораздо более широкой группы преобразований, в (строго) монотонной функции действительных чисел. Этот анализ показывает, что медиана более устойчива к определенным видам изменений в наборе данных и что (в отличие от среднего) она значима для порядковых данных . [3]
Для формализации этого стиля анализа использовались концепции инвариантной оценки и эквивариантной оценки.
Теория представлений
В теории представлений конечных групп векторное пространство, снабженное группой, действующей посредством линейных преобразований пространства, называется линейным представлением группы. Линейное отображение , что коммутирует с действием называется intertwiner . То есть сплетение - это просто эквивариантная линейная карта между двумя представлениями. В качестве альтернативы, для intertwiner представлений группы G над полем K это то же самое , как модульный гомоморфизм из K [ G ] - модулей , где K [ G ] является кольцом группы из G . [4]
При некоторых условиях, если X и Y оба являются неприводимыми представлениями , то сплетение (кроме нулевого отображения ) существует только в том случае, если два представления эквивалентны (то есть изоморфны как модули ). Тогда этот сплетник уникален с точностью до мультипликативного множителя (ненулевой скаляр из K ). Эти свойства сохраняются, когда образ K [ G ] является простой алгеброй с центром K (по так называемой лемме Шура : см. Простой модуль ). Как следствие, в важных случаях конструкции сплетения достаточно, чтобы показать, что представления фактически одинаковы. [5]
Формализация
Эквивариантности могут быть формализованы с использованием концепции G -set для группы G . Это математический объект , состоящий из математического множества S и действия группы (слева) от G на S . Если X и Y являются G -множествами для одной и той же группы G , то функция f : X → Y называется эквивариантной, если
- f ( g · x ) = g · f ( x )
для всех г ∈ G и всех й в X . [6]
Если одно или оба действия являются правильными, условие эквивалентности может быть соответствующим образом изменено:
- f ( x · g ) = f ( x ) · g ; (верно-верно)
- f ( x · g ) = g −1 · f ( x ) ; (право лево)
- f ( g · x ) = f ( x ) · g −1 ; (лево право)
Эквивариантные карты гомоморфизмы в категории из G - множеств (при фиксированном G ). [7] Следовательно, они также известны как G -морфизмы , [7] G- отображения , [8] или G- гомоморфизмы . [9] Изоморфизм из G множествам просто биективные эквивариантными карты. [7]
Условие эквивариантности также можно понимать как следующую коммутативную диаграмму . Обратите внимание, что обозначает карту, которая принимает элемент и возвращается .
Обобщение
Эквивариантные карты могут быть легко обобщены на произвольные категории . Каждую группу G можно рассматривать как категорию с одним объектом ( морфизмы в этой категории - это просто элементы группы G ). Для произвольной категории С , А представление о G в категории C является функтор из G в C . Такой функтор выбирает объект C и подгруппу из автоморфизмов этого объекта. Например, G -set эквивалентно функтор из G в категорию множеств , набор и линейное представление эквивалентно функтор к категории векторных пространств над полем, Vect K .
Для двух представлений, ρ и σ, группы G в C , эквивариантное отображение между этими представлениями является просто естественным преобразованием из ρ в σ. Используя естественные преобразования , как морфизмов, можно образовать категорию всех представлений G в C . Это просто категория функтора C G .
В качестве другого примера возьмем C = Top , категорию топологических пространств . Представление G в Top - это топологическое пространство, на котором G действует непрерывно . Эквивариантное отображение затем непрерывное отображение F : X → Y между представлениями, коммутирующими с действием G .
Смотрите также
- Теорема Кертиса – Хедлунда – Линдона , характеризация клеточных автоматов в терминах эквивариантных отображений.
Рекомендации
- ^ Kimberling, Кларк (1994), "Центральные точки и центральные линии в плоскости треугольника", Математика Magazine , 67 (3): 163-187, DOI : 10,2307 / 2690608 , JSTOR 2690608 , MR 1573021. «Подобные треугольники имеют одинаково расположенные центры», с. 164.
- ^ Центроид - единственный аффинный эквивариантный центр треугольника, но более общие выпуклые тела могут иметь другие аффинные эквивариантные центры; см. например Нейман, BH (1939), "О некоторых аффинных инвариантов замкнутых выпуклых областей", журнал Лондонского математического общества , вторая серия, 14 (4): 262-272, DOI : 10,1112 / jlms / s1-14.4.262 , MR 0000978.
- ^ Сарл, Уоррен С. (14 сентября 1997 г.), Теория измерений: часто задаваемые вопросы (версия 3) (PDF) , SAS Institute Inc.. Пересмотр главы в « Распространении информации» Международного института статистических приложений (4-е изд.), Том. 1, 1995, Уичито: ACG Press, стр. 61–66.
- ^ Фукс, Юрген; Швейгерт, Кристоф (1997), Симметрии, алгебры Ли и представления: выпускной курс для физиков , Кембриджские монографии по математической физике, Cambridge University Press, Cambridge, p. 70, ISBN 0-521-56001-2, Руководство по ремонту 1473220.
- ^ Sexl, Roman U .; Урбантке, Хельмут К. (2001), Относительность, группы, частицы: Специальная теория относительности и релятивистская симметрия в физике поля и частиц , Springer Physics, Вена: Springer-Verlag, с. 165, DOI : 10.1007 / 978-3-7091-6234-7 , ISBN 3-211-83443-5, Руководство по ремонту 1798479.
- ^ Питтс, Эндрю М. (2013), Номинальные множества: имена и симметрия в компьютерных науках , Кембриджские тракты в теоретической компьютерной науке, 57 , Cambridge University Press, Определение 1.2, стр. 14, ISBN 9781107244689.
- ^ а б в Ауслендер, Морис; Бухсбаум, Дэвид (2014), Группы, Кольца, Модули , Дуврские книги по математике, Дуврские публикации, стр. 86–87, ISBN 9780486490823.
- ^ Сегал, ГБ (1971), «Эквивариантная стабильная теория гомотопии», Actes du Congrès International des Mathématiciens (Ницца, 1970), Том 2 , Готье-Виллар, Париж, стр. 59–63, MR 0423340.
- ^ Адхикари, Махима Ранджан; Адхикари, Авишек (2014), Базовая современная алгебра с приложениями , Нью-Дели: Springer, стр. 142, DOI : 10.1007 / 978-81-322-1599-8 , ISBN 978-81-322-1598-1, Руководство по ремонту 3155599.