Неприводимое представление

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальная ортогональная SO ( n ) Унитарная U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В математике , в частности , в теории представлений о группах и алгебрах , с неприводимым представлением или irrep алгебраической структуры является ненулевым представлением , которое не имеет надлежащее нетривиальное подпредставления , с закрытым под действием .${\displaystyle (\rho ,V)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (\rho |_{W},W)}$${\displaystyle W\subset V}$${\displaystyle \{\rho (a):a\in A\}}$

Любое конечномерное унитарное представление в гильбертовом пространстве является прямой суммой неприводимых представлений. Поскольку неприводимые представления всегда неразложимы (т. Е. Не могут быть разложены далее в прямую сумму представлений), обратное может не иметь места, например, двумерное представление действительных чисел, действующих верхнетреугольными унипотентными матрицами, которое является неразложимым, но сводимым.${\displaystyle V}$

История [ править ]

Теория представления групп была обобщена Ричардом Брауэром с 1940-х годов, чтобы дать теорию модульного представления , в которой матричные операторы действуют в векторном пространстве над полем произвольной характеристики , а не в векторном пространстве над полем действительных чисел или над полем комплексные числа . Структура, аналогичная неприводимому представлению в получившейся теории, представляет собой простой модуль . ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle K}$

Обзор [ править ]

Позвольте быть представлением, т.е. гомоморфизмом группы, где - векторное пространство над полем . Если мы выберем основу для , можно представить себе функцию (гомоморфизм) из группы в набор обратимых матриц, и в этом контексте это называется матричным представлением . Однако это значительно упрощает, если мы думаем о пространстве без основы.${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle B}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle V}$

Линейное подпространство называется -инвариантным , если для всех и все . Со-ограничение на общую линейную группу -инвариантного подпространства известно как подпредставление . Представление называется неприводимым, если оно имеет только тривиальные подпредставления (все представления могут образовывать подпредставление с тривиальными -инвариантными подпространствами, например все векторное пространство и {0} ). Если существует собственное нетривиальное инвариантное подпространство, называется приводимым .${\displaystyle W\subset V}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \rho (g)w\in W}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle w\in W}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle G}$${\displaystyle W\subset V}$${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \rho }$

Обозначения и терминология представлений групп [ править ]

Элементы группы могут быть представлены матрицами , хотя термин «представленный» имеет в этом контексте конкретное и точное значение. Представление группы - это отображение элементов группы в общую линейную группу матриц. В качестве обозначения, пусть a , b , c ... обозначают элементы группы G с групповым произведением, обозначенным без какого-либо символа, поэтому ab является групповым произведением a и b, а также элементом G , и пусть представления обозначаются как D . Представление написано

${\displaystyle D(a)={\begin{pmatrix}D(a)_{11}&D(a)_{12}&\cdots &D(a)_{1n}\\D(a)_{21}&D(a)_{22}&\cdots &D(a)_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\D(a)_{n1}&D(a)_{n2}&\cdots &D(a)_{nn}\\\end{pmatrix}}}$

По определению групповых представлений, представление группового продукта переводится в матричное умножение представлений:

${\displaystyle D(ab)=D(a)D(b)}$

Если e является единичным элементом группы (так что ae = ea = a и т. Д.), То D ( e ) является единичной матрицей или, тождественно, блочной матрицей единичных матриц, поскольку мы должны иметь

${\displaystyle D(ea)=D(ae)=D(a)D(e)=D(e)D(a)=D(a)}$

и аналогично для всех остальных элементов группы. Последние два утверждения соответствуют требованию, чтобы D был гомоморфизмом групп .

Приводимые и неприводимые представления [ править ]

Представление является приводимым, если оно содержит нетривиальное G-инвариантное подпространство, то есть все матрицы могут быть представлены в виде верхнетреугольного блока одной и той же обратимой матрицей . Другими словами, если есть преобразование подобия:${\displaystyle D(a)}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle D'(a)\equiv P^{-1}D(a)P,}$

который отображает каждую матрицу в представлении в верхние треугольные блоки одного и того же шаблона. Каждый минорный блок упорядоченной последовательности является подпредставлением группы. То есть, если представление имеет размерность k, то мы имеем:

${\displaystyle D'(a)=P^{-1}D(a)P={\begin{pmatrix}D^{(11)}(a)&D^{(12)}(a)\\0&D^{(22)}(a)\\\end{pmatrix}},}$

где - нетривиальное подпредставление. Если мы сможем найти достаточно хорошую матрицу преобразования, которая отменяет , то она также разложима.${\displaystyle D^{(11)}(a)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle D^{(12)}(a)}$${\displaystyle D(a)}$

Примечание: даже если представление является приводимым, его матричное представление все еще может не быть верхней треугольной блочной формой. Чтобы получить матричное представление верхней треугольной блочной формы, первые несколько баз должны иметь возможность охватывать G-инвариантное подпространство.

Разложимые и неразложимые представления [ править ]

Представление является разложимым, если все матрицы могут быть представлены в блочно-диагональной форме одной и той же обратимой матрицей . Другими словами, если есть преобразование подобия : ^[1]${\displaystyle D(a)}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle D'(a)\equiv P^{-1}D(a)P,}$

который диагонализирует каждую матрицу в представлении в один и тот же шаблон диагональных блоков . Тогда каждый такой блок является групповым подпредставлением, независимым от других. Представления D ( a ) и D ′ ( a ) называются эквивалентными представлениями . ^[2] Представление можно разложить в прямую сумму k > 1 матриц :

${\displaystyle D'(a)=P^{-1}D(a)P={\begin{pmatrix}D^{(1)}(a)&0&\cdots &0\\0&D^{(2)}(a)&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &D^{(k)}(a)\\\end{pmatrix}}=D^{(1)}(a)\oplus D^{(2)}(a)\oplus \cdots \oplus D^{(k)}(a),}$

так что D ( a ) является разложимым , и принято обозначать разложенные матрицы верхним индексом в скобках, как в D ^{( n )} ( a ) для n = 1, 2, ..., k , хотя некоторые авторы просто пишут числовая метка без скобок.

Размер D ( a ) - это сумма размеров блоков:

${\displaystyle \dim[D(a)]=\dim[D^{(1)}(a)]+\dim[D^{(2)}(a)]+\cdots +\dim[D^{(k)}(a)].}$

Если это невозможно, то есть k = 1 , то представление неразложимо. ^{[1] [3]}

Примечание : даже если представление является разложимым, его матричное представление все еще может не быть диагональной блочной формой. Чтобы получить матричное представление диагональной блочной формы, следует тщательно выбирать основу.

Связь между неприводимым представлением и разложимым представлением [ править ]

Неприводимое представление по своей природе неразложимо. Однако обратное может потерпеть неудачу.

Но при некоторых условиях у нас действительно есть неразложимое представление, являющееся неприводимым представлением.

• Когда группа конечна и имеет представление над полем , то неразложимое представление является неприводимым представлением. ^[4]${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {C} }$
• Когда группа конечна и у нее есть представление над полем , если это так , то неразложимое представление является неприводимым представлением.${\displaystyle G}$${\displaystyle K}$${\displaystyle char(K)\nmid |G|}$

Примеры неприводимых представлений [ править ]

Тривиальное представление [ править ]

Все группы имеют одномерное неприводимое тривиальное представление.${\displaystyle G}$

Одномерное представление [ править ]

Любое одномерное представление неприводимо в силу того, что у него нет собственных нетривиальных подпространств.

Неприводимые комплексные представления [ править ]

Неприводимые комплексные представления конечной группы G можно охарактеризовать, используя результаты теории характеров . В частности, все такие представления распадаются как прямая сумма артикулов, а количество артикулов равно количеству классов сопряженности . ^[5]${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

• Неприводимые комплексные представления в точности задаются отображениями , где - корень -й степени из единицы .${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\displaystyle 1\mapsto \gamma }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle n}$

• Пусть - -мерное комплексное представление с базисом . Затем разлагается как прямая сумма арматуры${\displaystyle V}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \{v_{i}\}_{i=1}^{n}}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle V_{\text{triv}}=\mathbb {C} \left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}\right)}$

и ортогональное подпространство, заданное формулой

${\displaystyle V_{\text{std}}=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}:a_{i}\in \mathbb {C} ,\sum _{i=1}^{n}a_{i}=0\right\}.}$

Первый нереп является одномерным и изоморфным тривиальному представлению . Последний размерен и известен как стандартное представление . ^[5]${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle S_{n}}$

• Позвольте быть группой. Регулярное представление о является свободным комплексное векторное пространство на основе с действием группы , обозначаемые все неприводимые представления появляются в разложении в прямую сумму irreps.${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \{e_{g}\}_{g\in G}}$${\displaystyle g\cdot e_{g'}=e_{gg'}}$${\displaystyle \mathbb {C} G.}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {C} G}$

Пример неприводимого представления над ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$[ править ]

• Пусть - группа и - конечномерное неприводимое представление группы G над . По теореме о стабилизаторе орбиты орбита каждого элемента, на который действует группа, имеет размер, равный степени . Поскольку размеры всех этих орбит в сумме равны размеру и находятся на орбите размера 1, содержащей только себя, должны быть другие орбиты размера 1, чтобы сумма соответствовала. То есть есть такие, что на всех . Это заставляет каждое неприводимое представление группы быть одномерным.${\displaystyle G}$${\displaystyle p}$${\displaystyle V=\mathbb {F} _{p}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle p}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p}$${\displaystyle G}$${\displaystyle 0\in V}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle gv=v}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

Приложения в теоретической физике и химии [ править ]

В квантовой физике и квантовой химии , каждое множество вырожденных собственных состояний в оператор Гамильтона содержит векторное пространство V для представления группы симметрии гамильтониана, в «мультиплета», лучше всего изученного за счет снижения до его неприводимые части. Таким образом, идентификация неприводимых представлений позволяет маркировать состояния, предсказывать, как они будут расщепляться при возмущениях; или переход к другим государствам в V . Таким образом, в квантовой механике неприводимые представления группы симметрии системы частично или полностью маркируют энергетические уровни системы, позволяя определить правила отбора .^[6]

Группы лжи [ править ]

Группа Лоренца [ править ]

Повторения D ( K ) и D ( J ) , где J - генератор вращений, а K - генератор ускорений, можно использовать для построения спиновых представлений группы Лоренца, поскольку они связаны со спиновыми матрицами квантовых механика. Это позволяет им выводить релятивистские волновые уравнения . ^[7]

См. Также [ править ]

Ассоциативные алгебры [ править ]

• Простой модуль
• Несборный модуль
• Представление ассоциативной алгебры

Группы лжи [ править ]

• Теория представлений алгебр Ли
• Теория представлений SU (2)
• Теория представлений SL2 (R)
• Теория представлений галилеевой группы
• Теория представлений групп диффеоморфизмов
• Теория представлений группы Пуанкаре
• Теорема старшего веса

Ссылки [ править ]

Книги [ править ]

• Х. Вейль (1950). Теория групп и квантовая механика . Courier Dover Publications. п. 203 . ISBN 978-0-486-60269-1. магнитные моменты в релятивистской квантовой механике.
• PR Бункер; Пер Дженсен (2004). Основы симметрии молекул . CRC Press. ISBN 0-7503-0941-5.[1]
• AD Boardman; Де О'Коннер; П. А. Янг (1973). Симметрия и ее приложения в науке . Макгроу Хилл. ISBN 978-0-07-084011-9.
• В. Гейне (2007). Теория групп в квантовой механике: введение в ее настоящее использование . Дувр. ISBN 978-0-07-084011-9.
• В. Гейне (1993). Теория групп в квантовой механике: введение в ее настоящее использование . Courier Dover Publications. ISBN 978-048-6675-855.

• Э. Аберс (2004). Квантовая механика . Эддисон Уэсли. п. 425. ISBN 978-0-13-146100-0.
• Б. Р. Мартин, Г. Шоу. Физика элементарных частиц (3-е изд.). Манчестерская серия по физике, John Wiley & Sons. п. 3. ISBN 978-0-470-03294-7.
• Вайнберг, С. (1995), Квантовая теория полей , 1 , Cambridge University Press, стр.  230–231 , ISBN 978-0-521-55001-7
• Вайнберг, С. (1996), Квантовая теория полей , 2 , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55002-4
• Вайнберг, С. (2000), Квантовая теория полей , 3 , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66000-6
• Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности . Винтажные книги. ISBN 978-0-679-77631-4.
• П. У. Аткинс (1970). Молекулярная квантовая механика (части 1 и 2): введение в квантовую химию . 1 . Издательство Оксфордского университета. С. 125–126. ISBN 978-0-19-855129-4.

Статьи [ править ]

• Bargmann, V .; Вигнер, EP (1948). «Теоретико-групповое обсуждение релятивистских волновых уравнений» . Proc. Natl. Акад. Sci. США . 34 (5): 211–23. Полномочный код : 1948PNAS ... 34..211B . DOI : 10.1073 / pnas.34.5.211 . PMC  1079095 . PMID  16578292 .
• Э. Вигнер (1937). "Об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца" (PDF) . Анналы математики . 40 (1): 149–204. Bibcode : 1939AnMat..40..149W . DOI : 10.2307 / 1968551 . JSTOR  1968551 . Руководство по ремонту  1503456 .

Дальнейшее чтение [ править ]

• Артин, Майкл (1999). «Некоммутативные кольца» (PDF) . Глава V.

Внешние ссылки [ править ]

• "Комиссия по математической и теоретической кристаллографии, Летние школы по математической кристаллографии" (PDF) . 2010 г.
• ван Беверен, Eef (2012). «Некоторые заметки по теории групп» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 20 мая 2011 года . Проверено 7 июля 2013 .
• Телеман, Константин (2005). "Теория представлений" (PDF) .
• Финли. "Некоторые заметки о таблицах Юнга как полезные для ремонта su (n)" (PDF) .^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
• Хант (2008). "Неприводимые обозначения симметрии представления (IR)" (PDF) .
• Дермисек, Радован (2008). «Представительства группы Лоренца» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 23 ноября 2018 года . Проверено 7 июля 2013 .
• Мацейко, Джозеф (2007). "Представления групп Лоренца и Пуанкаре" (PDF) .
• Войт, Питер (2015). "Квантовая механика для математиков: представления группы Лоренца" (PDF) ., см. главу 40
• Дрейк, Кайл; Файнберг, Майкл; Гильдия, Дэвид; Турецкий, Эмма (2009). "Представления группы симметрии пространства-времени" (PDF) .
• Финли. "Алгебра Ли для групп Пуанкаре и Лоренца" (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 17 июня 2012 года.
• Бекарт, Ксавьер; Буланже, Никлас (2006). «Унитарные представления группы Пуанкаре в любом измерении пространства-времени». arXiv : hep-th / 0611263 .
• «Словарь научных и технических терминов МакГроу-Хилла» .