Эквивариантные когомологии

В математике , эквивариантная когомологий (или Борель когомологий ) является теория когомологий из алгебраической топологии , которая применяется для топологических пространств с действием группы . Его можно рассматривать как общее обобщение групповых когомологий и обычной теории когомологий . В частности, эквивариантное кольцо когомологий пространства с действием топологической группы определяются как обычное кольцо когомологий с кольцом коэффициентов в гомотопическому фактора :${\ displaystyle X}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Lambda}$ ${\ displaystyle EG \ times _ {G} X}$

${\ displaystyle H_ {G} ^ {*} (X; \ Lambda) = H ^ {*} (EG \ times _ {G} X; \ Lambda).}$

Если это единичная группа , это обычное кольцо когомологий из , в то время как , если это сжимаемое , она сводится к кольцу когомологий классифицирующего пространства (то есть, группа когомологии , когда G конечен.) Если G действует свободно на X , тогда каноническое отображение является гомотопической эквивалентностью, и поэтому мы получаем:${\ displaystyle G}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle BG}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle EG \ times _ {G} от X \ до X / G}$${\displaystyle H_{G}^{*}(X;\Lambda )=H^{*}(X/G;\Lambda ).}$

Кроме того , можно определить эквивариантную когомологию из с коэффициентами в -модуле А ; это абелевы группы . Эта конструкция является аналогом когомологий с локальными коэффициентами.${\displaystyle H_{G}^{*}(X;A)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$

Если X - многообразие, G - компактная группа Ли и поле действительных чисел или поле комплексных чисел (наиболее типичная ситуация), то указанные выше когомологии могут быть вычислены с использованием так называемой модели Картана (см. Эквивариантные дифференциальные формы .)${\displaystyle \Lambda }$

Эту конструкцию не следует путать с другими теориями когомологий, такими как когомологии Бредона или когомологии инвариантных дифференциальных форм : если G - компактная группа Ли, то с помощью аргумента усреднения ^{[ цитата необходима ]} любую форму можно сделать инвариантной; таким образом, когомологии инвариантных дифференциальных форм не дают новой информации.

Как известно, двойственность Кошуля имеет место между эквивариантными когомологиями и обычными когомологиями.

Гомотопический фактор [ править ]

Гомотопический фактор , называемый также Гомотопическое пространством орбит или Борель строительством , является «гомотопический правильной» версией пространства орбит (частное от деления его -действию) , в котором впервые заменен большим , но гомотопическом эквивалентном пространстве так , что действие является гарантированно будет бесплатным .${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$

Для этого построим универсальное расслоение EG → BG для G и напомним, что EG допускает свободное G- действие. Тогда произведение EG × X , гомотопически эквивалентное X, поскольку EG стягиваемо, допускает «диагональное» G- действие, определяемое формулой ( e , x ). g = ( например , g ⁻¹ x ): более того, это диагональное действие является бесплатным, поскольку оно свободно на EG . Итак, мы определяем гомотопический фактор X _Gбыть пространством орбит ( EG × X ) / G этого свободного G-действия .

Другими словами, гомотопический фактор - это ассоциированное X -расслоение над BG, полученное действием G на пространстве X и главном расслоении EG → BG . Это расслоение X → X _G → BG называется борелевским расслоением .

Пример гомотопического частного [ править ]

Следующий пример - предложение 1 из [1] .

Пусть X - комплексная проективная алгебраическая кривая . Мы отождествляем X как топологическое пространство с множеством комплексных точек , которое является компактной римановой поверхностью . Пусть G - комплексная односвязная полупростая группа Ли. Тогда любое главный G расслоение на X изоморфно тривиальный, так как классифицирующее пространство является 2-связным и X имеет вещественную размерность 2. Устранить некоторые гладкие G -расслоение на X . Тогда любое главное G -расслоение на изоморфно${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle BG}$${\displaystyle P_{\text{sm}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P_{\text{sm}}}$. Другими словами, множество всех классов изоморфизма пар, состоящих из главного G- расслоения на X и комплексно-аналитической структуры на нем, можно отождествить с множеством комплексно-аналитических структур на или, что эквивалентно, множеством голоморфных связностей на X (поскольку связи интегрируемы по причине размерности). является бесконечномерным комплексным аффинным пространством и поэтому стягиваемо.${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle P_{\text{sm}}}$${\displaystyle \Omega }$

Пусть - группа всех автоморфизмов (т . Е. Калибровочной группы .) Тогда гомотопический фактор by классифицирует комплексно-аналитические (или эквивалентно алгебраические) главные G -расслоения на X ; т. е. это в точности классифицирующее пространство дискретной группы .${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle P_{\text{sm}}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle B{\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Можно определить модули стеки главных расслоений как стек фактор , а затем гомотопическое фактор является, по определению, гомотопическим типом из .${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$ ${\displaystyle [\Omega /{\mathcal {G}}]}$${\displaystyle B{\mathcal {G}}}$${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$

Эквивариантные характеристические классы [ править ]

Пусть Е быть эквивариантное векторное расслоение на А , G -многообразием M . Это приводит к появлению векторного расслоения на гомотопическому фактор , так что он тянет-обратно в расслоении над . Эквивариантный характеристический класс E тогда является обычным характеристическим классом E , который является элементом пополнения кольца когомологий . (Для применения теории Черна – Вейля используется конечномерная аппроксимация EG .)${\displaystyle {\widetilde {E}}}$${\displaystyle EG\times _{G}M}$${\displaystyle {\widetilde {E}}=EG\times E}$${\displaystyle EG\times M}$${\displaystyle {\widetilde {E}}}$${\displaystyle H^{*}(EG\times _{G}M)=H_{G}^{*}(M)}$

В качестве альтернативы, можно сначала определить эквивариантный класс Черна, а затем определить другие характеристические классы как инвариантные полиномы классов Черна, как в обычном случае; например, эквивариантный класс Тодда эквивариантного линейного расслоения - это функция Тодда, вычисленная в эквивариантном первом классе Черна расслоения. (Эквивариантный класс Тодда линейного расслоения является степенным рядом (не полиномом, как в неэквивариантном случае) в эквивариантном первом классе Черна; следовательно, он принадлежит пополнению кольца эквивариантных когомологий.)

В неэквивариантном случае первый класс Черна можно рассматривать как биекцию между множеством всех классов изоморфизма комплексных линейных расслоений на многообразии M и ^[1]. В эквивариантном случае это переводится как: эквивариантный первый класс Черна дает биекция между множеством всех классов изоморфизма эквивариантных комплексных линейных расслоений и .${\displaystyle H^{2}(M;\mathbb {Z} ).}$${\displaystyle H_{G}^{2}(M;\mathbb {Z} )}$

Теорема локализации [ править ]

Теорема о локализации - один из самых мощных инструментов эквивариантных когомологий.

См. Также [ править ]

• Эквивариантная дифференциальная форма
• Карта Кирвана
• Формула локализации эквивариантных когомологий
• ГКМ сорт
• Когомологии Бредона

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Атья, Майкл ; Ботт, Рауль (1984), «Отображение момента и эквивариантные когомологии», Топология , 23 : 1–28, DOI : 10.1016 / 0040-9383 (84) 90021-1
• Мишель Брион, "Эквивариантные когомологии и эквивариантная теория пересечений" [2]
• Гореский, Марк ; Коттвиц, Роберт ; МакФерсон, Роберт (1998), "Эквивариантная когомология, кошу двойственность и теорема локализации", Inventiones Mathematicae , 131 : 25-83, CiteSeerX  10.1.1.42.6450 , DOI : 10.1007 / s002220050197 , S2CID  6006856
• Сян, Ву-И (1975). Теория когомологий топологических групп преобразований . Нью-Йорк: Спрингер.
• Ту, Лоринг В. (март 2011 г.). "Что такое ... Эквивариантные когомологии?" (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 58 (3): 423–426.

Дальнейшее чтение [ править ]

• VW Guillemin и С. Штернберг. Суперсимметрия и эквивариантная теория де Рама. Springer-V erlag, Берлин, 1999 г.
• CM Вернь, Эквивалентная когомология и теория Стокса

Внешние ссылки [ править ]

• Эквивариантные когомологии и модель Картана - отличная обзорная статья, описывающая основы теории и основные важные теоремы
• "Эквивариантные когомологии" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Янг-Хун Кием, Введение в эквивариантную теорию когомологий.
• Что такое эквивариантные когомологии группы, действующей на себя сопряжением?