В математике , то универсальное расслоение в теории расслоений со структурной группой заданной топологической группы G , является специфическим расслоением над классифицирующим пространством BG , таким образом, что каждый пучок с заданной структурной группой G над М является откатом с помощью непрерывное отображение M → BG .
Наличие универсального пакета [ править ]
В категории CW complex [ править ]
Когда определение классифицирующего пространства происходит в гомотопической категории из ХО комплексов , теоремы существования универсальных расслоений вытекают из теоремы Брауна представимости .
Для компактных групп Ли [ править ]
Сначала мы докажем:
- Предложение. Пусть G - компактная группа Ли . Существует стягиваемое пространство EG, на котором G действует свободно. Проекция EG → BG является G -главным расслоением.
Доказательство. Существует инъекция G в унитарную группу U ( n ) для достаточно большого n . [1] Если мы найдем EU ( n ), тогда мы можем принять EG как EU ( n ) . Конструкция EU ( n ) дается в классифицирующем пространстве для U ( n ) .
Следующая теорема является следствием предыдущего предложения.
- Теорема. Если M - паракомпактное многообразие и P → M - главное G- расслоение, то существует отображение f : M → BG , единственное с точностью до гомотопии, такое, что P изоморфно f ∗ ( EG ) , обратному образу G -расслоение EG → BG с помощью F .
Доказательство. С одной стороны, обратным движением расслоения π : EG → BG посредством естественной проекции P × G EG → BG является расслоение P × EG . С другой стороны, притягивание главного G- расслоения P → M проекцией p : P × G EG → M также является P × EG
Поскольку p - расслоение со стягиваемым слоем EG , сечения p существуют. [2] Такому сечению s сопоставим композицию с проекцией P × G EG → BG . На карте мы получаем это е мы искали.
Для единственности с точностью до гомотопии заметим, что существует взаимно однозначное соответствие между отображениями f : M → BG, такими, что f ∗ ( EG ) → M изоморфно P → M и сечениям p . Мы только что видели, как связать f с разделом. Наоборот, предположим, что f задано. Пусть Φ: f ∗ ( EG ) → P - изоморфизм:
Теперь просто определите раздел с помощью
Поскольку все секции p гомотопны, гомотопический класс f единственен.
Использование при изучении групповых действий [ править ]
Общее пространство универсального пучка обычно обозначается EG . Эти пространства представляют интерес сами по себе, несмотря на то, что обычно их можно сжимать . Например, при определении гомотопического фактора или гомотопическое пространства орбит из в действия группы из G , в тех случаях , когда пространство орбит является патологическим (в том смысле , будучи не- хаусдорфовым , например). Идея, если G действует в пространстве X , состоит в том, чтобы вместо этого рассмотреть действие на Y = X × EG и соответствующий фактор. Видетьэквивариантные когомологии для более подробного обсуждения.
Если EG стягивается , то X и Y являются гомотопическими эквивалентными пространствами. Но диагональное действие на Y , то есть когда G действует как на X, так и на EG- координаты, может иметь хорошее поведение, когда действие на X - нет.
Примеры [ править ]
См. Также [ править ]
- Черн класс
- тавтологическое расслоение , универсальное расслоение для полной линейной группы.
Внешние ссылки [ править ]
Заметки [ править ]
- ^ JJ Duistermaat и JA Kolk, - Группы Ли , Universitext, Springer. Следствие 4.6.5.
- ^ A. ~ Dold - Разделы единства в теории расслоений , Annals of Mathematics, vol. 78, № 2 (1963)
