Пучок волокна

Цилиндрическая расческа, демонстрирующая интуитивное понимание термина « пучок волокон» . Эта расческа похожа на пучок волокон, в котором базовое пространство представляет собой цилиндр, а волокна ( щетинки ) - линейные сегменты. При сопоставлении точка на любой щетине будет сопоставлена ​​с ее корнем на цилиндре.${\ displaystyle \ pi \ двоеточие E \ to B}$

В математике , и в частности в топологии , пучок волокон (или, на американском английском , пучок волокон ) - это пространство , которое локально является пространством продукта , но глобально может иметь другую топологическую структуру . В частности, сходство между пространством и пространством продукта определяется с помощью непрерывной сюръективной карты${\ displaystyle E}$${\ displaystyle B \ times F}$

${\ displaystyle \ pi \ двоеточие E \ to B}$

что в небольших областях E ведет себя так же, как проекция из соответствующих областей в . Карта , называемая проекцией или погружением связки, рассматривается как часть структуры связки. Пространство известно как общее пространство пучка волокон, как базовое пространство и как волокно .${\ displaystyle B \ times F}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle F}$

В тривиальном случае справедливо , а отображение π - это просто проекция из пространства произведения на первый фактор. Это называется тривиальным расслоением . Примеры нетривиальных расслоений включают ленту Мёбиуса и бутылку Клейна , а также нетривиальные накрывающие пространства . Слоистые расслоения, такие как касательное расслоение к многообразию и более общие векторные расслоения, играют важную роль в дифференциальной геометрии и дифференциальной топологии , как и главные расслоения .${\ displaystyle E}$${\ displaystyle B \ times F}$

Отображения между тотальными пространствами расслоений, которые «коммутируют» с отображениями проекций, называются отображениями расслоений , и класс расслоений образует категорию по отношению к таким отображениям. Пучок карта от самого базового пространства (с тождественным отображением в качестве проекции) , чтобы называется раздел о . Пучки волокон можно специализировать несколькими способами, наиболее распространенный из которых требует, чтобы карты переходов между локальными тривиальными участками лежали в определенной топологической группе , известной как структурная группа , действующей на волокно .${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle F}$

История [ править ]

В топологии термины волокно (нем. Faser ) и волоконное пространство ( gefaserter Raum ) впервые появились в статье Герберта Зайферта в 1933 г. ^{[1] [2],} но его определения ограничены очень частным случаем. Однако главное отличие от современной концепции расслоенного пространства состояло в том, что для Зейферта то, что сейчас называется базовым пространством (топологическим пространством) расслоенного (топологического) пространства E, не было частью структуры, а получено из нее как фактор - пространство Е . Первое определение послойного пространства было даноХасслер Уитни в 1935 году ^[3] под названием пространство сферы , но в 1940 году Уитни изменил название на сферический пучок . ^[4]

Теория расслоенных пространств, частным случаем которых являются векторные расслоения , главные расслоения , топологические расслоения и расслоенные многообразия, приписывается Зейферту, Хайнцу Хопфу , Жаку Фельдбау , ^[5] Уитни, Норману Стинроду , Чарльзу Эресманну , ^{[6] [ 7] [8]} Жан-Пьер Серр , ^[9] и другие.

Пучки волокон стали самостоятельным объектом исследования в период 1935–1940 гг. Первое общее определение появилось в работах Уитни. ^[10]

Уитни пришел к общему определению расслоения из своего исследования более конкретного понятия расслоения сфер , ^[11] то есть расслоения, слой которого является сферой произвольной размерности. ^[12]

Формальное определение [ править ]

Пучок волокон представляет собой структуру , где , и являются топологические пространства и является непрерывной сюръекция удовлетворяющей локальной тривиальности условию изложены ниже. Пространство называется базовое пространство расслоения, на общее пространство , и на волокно . Отображение π называется отображением проекции (или проекцией расслоения). Мы будем в дальнейшем считать, что базовое пространство будет подключен .${\ Displaystyle (Е, \, В, \, \ пи, \, F)}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ pi: E \ rightarrow B}$ ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle B}$

Мы требуем , чтобы для каждого , есть открытая окрестность из (которая будет называться тривиализующими окрестностями) таким образом, что существует гомеоморфизм (где есть произведение площадь) таким образом , что π совпадает с проекцией на первый множитель. То есть следующая диаграмма должна коммутировать :${\ displaystyle x \ in B}$ ${\displaystyle U\subset B}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi :\pi ^{-1}(U)\rightarrow U\times F}$${\displaystyle U\times F}$

( 1 )

где - естественная проекция, - гомеоморфизм. Множество всего называется локальной тривиализацией связки.${\displaystyle {\text{proj}}_{1}:U\times F\rightarrow U}$${\displaystyle \varphi :\pi ^{-1}(U)\rightarrow U\times F}$${\displaystyle \left\{\left(U_{i},\,\varphi _{i}\right)\right\}}$

Таким образом , для любого , то прообраз гомеоморфно (с Рго ₁ ^-1 ({ р }) , очевидно , есть) и называется слой над р . Каждое расслоение является открытой картой , поскольку проекции продуктов - это открытые карты. Следовательно, несет фактор-топологию, определяемую отображением π .${\displaystyle p\in B}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(\{p\})}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \pi :E\rightarrow B}$${\displaystyle B}$

Пучок волокон часто обозначают${\displaystyle (E,\,B,\,\pi ,\,F)}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{}\\F\longrightarrow E\ {\xrightarrow {\,\ \pi \ }}\ B\\{}\end{matrix}}}$

( 2 )

это, по аналогии с короткой точной последовательностью , указывает, какое пространство является волокном, общее пространство и базовое пространство, а также карта от общего пространства к базовому.

Гладкое расслоение является расслоением в категории из гладких многообразий . То есть , и должны быть гладкие многообразия и все функции выше, должны быть гладкими отображениями .${\displaystyle E}$${\displaystyle B}$${\displaystyle F}$

Примеры [ править ]

Тривиальный набор [ править ]

Позвольте и позвольте быть проекции на первый фактор. Тогда расслоение (из ) над . Это не только локальный продукт, но и глобальный . Любое такое расслоение называется тривиальным расслоением . Любое расслоение над стягиваемым CW-комплексом тривиально.${\displaystyle E=B\times F}$${\displaystyle \pi :E\rightarrow B}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle B}$${\displaystyle E}$

Нетривиальные пакеты [ править ]

Лента Мебиуса [ править ]

Возможно, простейшим примером нетривиального расслоения является лента Мёбиуса . У нее есть окружность, которая проходит вдоль центра полосы в качестве основы, и отрезок прямой для волокна , так что лента Мебиуса представляет собой пучок отрезка прямой над окружностью. Окрестности из (где ) представляет собой дугу; на картинке это длина одного из квадратов. Прообраз на картинке представляет собой (несколько скрученный) кусок полосы шириной четыре квадрата и один длинный.${\displaystyle E}$${\displaystyle B}$${\displaystyle F}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \pi (x)\in B}$${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$

Существует гомеоморфизм ( в разделе «Формальное определение»), который отображает прообраз (тривиализирующей окрестности) в кусок цилиндра: изогнутый, но не скрученный. Эта пара локально тривиализирует полосу. Соответствующий тривиальный пучок был бы цилиндром , но полоса Мёбиуса имеет общий «поворот». Этот поворот виден только глобально; локально лента Мёбиуса и цилиндр идентичны (выполнение одного вертикального разреза в любом из них дает одинаковое пространство).${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle U}$${\displaystyle B\times F}$

Бутылка Клейна [ править ]

Аналогичным нетривиальным пучком является бутылка Клейна , которую можно рассматривать как пучок «скрученных» кругов над другим кругом. Соответствующее не витое (тривиальное) расслоение является 2- тора , .${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$

Покрывающая карта [ править ]

Покрытие пространства является расслоением таким образом, что пучок проекции является локальным гомеоморфизмом . Отсюда следует, что слой - дискретное пространство .

Векторные и основные пакеты [ править ]

Особым классом расслоений, называемых векторными расслоениями , являются те, слои которых являются векторными пространствами (чтобы квалифицировать как векторное расслоение, структурная группа расслоения - см. Ниже - должна быть линейной группой ). Важные примеры векторных расслоений включают касательное расслоение и кокасательное расслоение гладкого многообразия. Из любого векторного расслоения, можно построить кадр пучок из оснований , который является главным расслоением (см ниже).

Другой специальный класс расслоений, называемых главными расслоениями , - это расслоения, на слоях которых задано свободное и транзитивное действие группы , так что каждый слой является главным однородным пространством . Пакет часто указывается вместе с группой, называя его основным -bundle. Группа также является структурной группой связки. Учитывая представление о на векторном пространстве , векторное расслоение с как структура группы может быть построена, известный как ассоциированное расслоение .${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \rho (G)\subseteq {\text{Aut}}(V)}$

Наборы сфер [ править ]

Сфера расслоение является расслоением, слой которого является п -сферы . Для векторного расслоения с метрикой (например, касательного расслоения к риманову многообразию ) можно построить связанное с ним расслоение единичных сфер , для которого слой над точкой представляет собой множество всех единичных векторов в . Когда рассматриваемое векторное расслоение является касательным расслоением , расслоение единичной сферы известно как единичное касательное расслоение .${\displaystyle E}$${\displaystyle x}$${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle TM}$

Расслоение сфер частично характеризуется своим классом Эйлера , который является классом когомологий степени в тотальном пространстве расслоения. В этом случае расслоение сфер называется круговым расслоением, а класс Эйлера равен первому классу Черна , который полностью характеризует топологию расслоения. Для любого , учитывая класс Эйлера расслоения, можно вычислить его когомологии, используя длинную точную последовательность, называемую последовательностью Гизина .${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n=1}$${\displaystyle n}$

Отображение торов [ править ]

Если Х представляет собой топологическое пространство и является Гомеоморфизмом того отображения тор имеет естественную структуру расслоения над кругом с волокном . Отображение торов гомеоморфизмов поверхностей особенно важно в топологии трехмерных многообразий .${\displaystyle f:X\rightarrow X}$ ${\displaystyle M_{f}}$${\displaystyle X}$

Факторные пробелы [ править ]

Если является топологической группой и является замкнутой подгруппой , то при некоторых обстоятельствах фактор-пространство вместе с фактор-отображением является расслоением, слой которого является топологическим пространством . Необходимым и достаточным условием для образования расслоения () является то, что отображение допускает локальные сечения ( Steenrod 1951 , § 7).${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G/H}$${\displaystyle \pi \colon G\to G/H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G,\,G/H,\,\pi ,\,H}$${\displaystyle \pi }$

Наиболее общие условия, при которых фактор-отображение будет допускать локальные сечения, неизвестны, хотя, если является группой Ли и замкнутой подгруппой (и, следовательно, подгруппой Ли по теореме Картана ), то фактор-отображение является расслоением. Одним из примеров этого является расслоение Хопфа , , что является расслоением над сферой которого тотальное пространство . С точки зрения групп Ли, их можно отождествить со специальной унитарной группой . Абелева подгруппа диагональных матриц изоморфна группе окружности , а фактор-группа диффеоморфна сфере.${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle S^{3}\to S^{2}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle SU(2)/U(1)}$

В более общем смысле, если это любая топологическая группа и замкнутая подгруппа, которая также является группой Ли, то это расслоение.${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G\to G/H}$

Разделы [ править ]

Участок (или сечение ) из пучка волокон является непрерывным отображением таким образом, что для всех х в B . Поскольку пучки, как правило, не имеют глобально определенных секций, одна из целей теории - объяснить их существование. Препятствие к существованию секции часто может быть измерено с помощью класса когомологий, что приводит к теории характеристических классов в алгебраической топологии .${\displaystyle \pi }$${\displaystyle f\colon B\to E}$${\displaystyle \pi (f(x))=x}$

Самый известный пример - теорема о волосатом шаре , в которой класс Эйлера является препятствием к касательному расслоению 2-сферы, имеющему нигде не исчезающее сечение.

Часто бывает необходимо определять разделы только локально (особенно когда глобальные разделы не существуют). Локальное сечение пучка волокон является непрерывным отображением , где U представляет собой открытое множество в B , и для всех х в U . Если это локальная тривиализация диаграмма , то локальные участки всегда существуют над U . Такие участки находятся в соответствии 1-1 с непрерывными отображениями . Секции образуют связку .${\displaystyle f\colon U\to E}$${\displaystyle \pi (f(x))=x}$${\displaystyle (U,\,\varphi )}$${\displaystyle U\to F}$

Структурные группы и функции перехода [ править ]

Пучки волокон часто имеют группу симметрий, которые описывают условия согласования между перекрывающимися локальными диаграммами тривиализации. В частности, пусть G - топологическая группа , непрерывно действующая на расслоении F слева. Мы ничего не теряем , если мы требуем G действовать добросовестно на F так , что можно рассматривать как группу гомеоморфизмов из F . A G - атлас для расслоения ( E , B , π , F) представляет собой набор локальных диаграмм тривиализации, такой что для любых перекрывающихся диаграмм и функции${\displaystyle \{(U_{k},\,\varphi _{k})\}}$${\displaystyle \varphi _{i},\varphi _{j}}$${\displaystyle (U_{i},\,\varphi _{i})}$${\displaystyle (U_{j},\,\varphi _{j})}$

${\displaystyle \varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}\colon \left(U_{i}\cap U_{j}\right)\times F\to \left(U_{i}\cap U_{j}\right)\times F}$

дан кем-то

${\displaystyle \varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}(x,\,\xi )=\left(x,\,t_{ij}(x)\xi \right)}$

где t _ij  : U _i ∩ U _j → G - непрерывное отображение, называемое функцией перехода . Два G -атласа эквивалентны, если их объединение также является G -атласом. G -расслоение является расслоением с классом эквивалентности G -atlases. Группа G называется структурной группой расслоения; аналогичный термин в физике - калибровочная группа .

В гладкой категории G -расслоение - это гладкое расслоение, где G - группа Ли, и соответствующее действие на F является гладким, а все функции перехода являются гладкими отображениями.

Переходные функции t _ij удовлетворяют следующим условиям

1. ${\displaystyle t_{ii}(x)=1\,}$
2. ${\displaystyle t_{ij}(x)=t_{ji}(x)^{-1}\,}$
3. ${\displaystyle t_{ik}(x)=t_{ij}(x)t_{jk}(x).\,}$

Третье условие применяется на тройном перекрывается U _я П U _J ∩ U _к и называется условием коцикличности (см Чех ). Важность этого состоит в том, что функции перехода определяют расслоение (если принять условие коцикла Чеха).

Главный G расслоением является G расслоением , где волокна F является главным однородным пространством для левого действия G сам ( что то же самое, можно указать , что действие G на слое F свободно и транзитивно, то есть регулярный ). В этом случае часто бывает удобно отождествить F с G и таким образом получить (правое) действие G на главном расслоении.

Объединить карты [ править ]

Полезно иметь представление о отображении между двумя пучками волокон. Предположим, что M и N - базовые пространства, и - расслоения над M и N соответственно. Отображение расслоения (или морфизм расслоения ) состоит из пары непрерывных ^[13] функций${\displaystyle \pi _{E}\colon E\to M}$${\displaystyle \pi _{F}\colon F\to N}$

${\displaystyle \varphi \colon E\to F,\quad f\colon M\to N}$

такой что . То есть коммутирует следующая диаграмма :${\displaystyle \pi _{F}\circ \varphi =f\circ \pi _{E}}$

Для расслоений со структурной группой G , и полное пространства (справа) G -пространствами (такие как главное расслоение), расслоение морфизмы также должны быть G - эквивариантное на волокна. Это означает, что это также G -морфизм из одного G -пространства в другое, т. Е. Для всех и .${\displaystyle \varphi \colon E\to F}$${\displaystyle \varphi (xs)=\varphi (x)s}$${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle s\in G}$

Если базовые пространства M и N совпадают, то морфизм расслоения над M из расслоения в - это отображение, такое что . Это означает , что расслоение карта охватывает идентичность M . То есть и диаграмма коммутирует${\displaystyle \pi _{E}\colon E\to M}$${\displaystyle \pi _{F}\colon F\to M}$${\displaystyle \varphi \colon E\to F}$${\displaystyle \pi _{E}=\pi _{F}\circ \varphi }$${\displaystyle \varphi \colon E\to F}$${\displaystyle f\equiv \mathrm {id} _{M}}$

Предположим , что оба и определены над одной и той же базовой пространства М . Изоморфизм расслоения - это отображение расслоения между π _E  : E → M и π _F  : F → M такое, что и такое, что φ также является гомеоморфизмом. ^[14]${\displaystyle \pi _{E}\colon E\to M}$${\displaystyle \pi _{F}\colon F\to M}$${\displaystyle (\varphi ,\,f)}$${\displaystyle f\equiv \mathrm {id} _{M}}$

Дифференцируемые пучки волокон [ править ]

В категории дифференцируемых многообразий расслоения естественно возникают как субмерсия одного многообразия в другое. Не всякая (дифференцируемая) субмерсия ƒ:  M  →  N с дифференцируемого многообразия M на другое дифференцируемое многообразие N порождает дифференцируемое расслоение. Во-первых, отображение должно быть сюръективным, а ( M , N , ƒ) называется расслоенным многообразием . Однако этого необходимого условия недостаточно, и обычно используется множество достаточных условий.

Если M и N компактны и связны, то любая субмерсия f  :  M  →  N порождает расслоение в том смысле, что существует расслоение F, диффеоморфное каждому из слоев такое, что ( E , B , π , F ) = ( M , N , ƒ, F ) - расслоение. (Сюръективность ƒ следует из предположений, уже данных в этом случае.) В более общем смысле, предположение компактности может быть ослаблено, если субмерсия ƒ:  M  →  N считается сюръективным собственным отображением, А это означает , что ƒ ^-1 ( K ) компактно для каждого компактного подмножества K из N . Еще одно достаточное условие, установленное Эресманном (1951) , состоит в том, что если ƒ:  M  →  N - сюръективная субмерсия с M и N дифференцируемыми многообразиями такая, что прообраз ƒ ⁻¹ { x } компактен и связен для всех x  ∈  N , то ƒ допускает совместимую структуру расслоения ( Michor 2008 , §17). harvtxt error: no target: CITEREFEhresmann1951 (help)

Обобщения [ править ]

• Понятие связки применимо ко многим большему количеству категорий в математике за счет соответствующей модификации условия локальной тривиальности; ср. главное однородное пространство и торсор (алгебраическая геометрия) .
• В топологии расслоение - это отображение π  : E → B, которое обладает некоторыми теоретико-гомотопическими свойствами, общими с расслоениями. В частности, при мягких технических предположениях расслоение всегда обладает свойством гомотопического подъема или свойством гомотопического покрытия (см. Подробности в Steenrod (1951 , 11.7)). Это определяющее свойство расслоения.
• Участок жгута волокон - это «функция, выходной диапазон которой постоянно зависит от входа». Это свойство формально отражено в понятии зависимого типа .

См. Также [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Стинрод, Норман (1951), Топология пучков волокон , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08055-0
• Бликер, Дэвид (1981), теория калибровки и вариационные принципы , чтение, масса: издательство Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-10096-9
• Эресманн, Чарльз . "Les Connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable". Colloque de Topologie (Espaces fibrés), Брюссель, 1950 . Жорж Тон, Льеж; Masson et Cie., Paris, 1951. С. 29–55.
• Хусемоллер, Дейл (1994), пучки волокон , Springer Verlag, ISBN 978-0-387-94087-8
• Мичор, Питер В. (2008), Вопросы дифференциальной геометрии , Аспирантура по математике , Vol. 93, Провиденс: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-2003-2
• Войцеховский М.И. (2001) [1994], "Волокнистое пространство" , Энциклопедия математики , EMS Press

Внешние ссылки [ править ]

• Связка волокон , PlanetMath
• Роуленд, Тодд. «Пучок волокна» . MathWorld .
• Создание символической скульптуры Джона Робинсона "Вечность"
• Сарданашвили, Геннадий , Расслоения, многообразия струй и лагранжева теория. Лекции для теоретиков, arXiv : 0908.1886