В математике , A Мёбиусово полосы , полоса , или цикл ( США : / м oʊ б я ə ы , м eɪ - / MOH -bee-əs, MAY - , UK : / м ɜː б я ə с / ; [ 1] Немецкий: [ˈmøːbi̯ʊs] ), также пишется Mobius или Moebius , представляет собой поверхностьтолько с одной стороной (при вложении в трехмерное евклидово пространство ) и только с одной граничной кривой . Лента Мебиуса - простейшая неориентируемая поверхность. Может быть выполнен в виде линейчатой поверхности . Его открытие независимо приписывается немецким математикам Иоганну Бенедикту Листингу и Августу Фердинанду Мёбиусу в 1858 году, [2] [3] [4] [5], хотя похожие структуры можно увидеть в римских мозаиках c. 200–250 гг. Нашей эры. [6] [7] Мебиус опубликовал свои результаты в статьях «Theorie der elementaren Verwandtschaft» (1863) и «Ueber die Bestimmung des Inhaltes eines Polyëders» (1865). [8]
Пример ленты Мёбиуса можно создать, взяв полоску бумаги и сделав один конец полукрутка, а затем соединив концы, чтобы образовать петлю; его граница представляет собой простую замкнутую кривую, которую можно проследить по единственной безузловой струне. Любое топологическое пространство, гомеоморфное этому примеру, также называется лентой Мёбиуса, что позволяет использовать самые разнообразные геометрические реализации в виде поверхностей определенного размера и формы . Например, любой прямоугольник можно приклеить по левому краю к правому краю с изменением ориентации. Некоторые, но не все, из них можно гладко смоделировать как поверхности в евклидовом пространстве . Тесно связанной, но не гомеоморфной, поверхностью является полная открытая лента Мёбиуса , поверхность без границ, в которой ширина полосы бесконечно расширяется, чтобы стать евклидовой линией.
Половина поворота по часовой стрелке дает вложение ленты Мёбиуса, которую нельзя сдвинуть или растянуть, чтобы получить полукрутка против часовой стрелки; таким образом, лента Мебиуса, вложенная в евклидово пространство, является киральным объектом с правосторонностью или левосторонностью. Ленту Мёбиуса также можно врезать, скручивая полоску любое нечетное количество раз или завязывая и скручивая полоску перед соединением ее концов.
Найти алгебраические уравнения, вырезавшие ленту Мёбиуса, несложно, но эти уравнения не описывают ту же геометрическую форму, что и модель из скрученной бумаги выше. Такие бумажные модели представляют собой развертывающиеся поверхности, имеющие нулевую гауссову кривизну , и могут быть описаны дифференциально-алгебраическими уравнениями . [9]
Эйлерова характеристика из листа Мёбиуса является нулевым .
Характеристики
Лента Мебиуса обладает несколькими любопытными свойствами. Линия, проведенная по краю, проходит полный круг до точки, противоположной начальной точке. Если продолжить, линия вернется в начальную точку и будет вдвое длиннее исходной полосы: эта единственная непрерывная кривая пересекает всю границу.
При разрезании ленты Мебиуса по центральной линии ножницами получается одна длинная полоса с двумя полными витками, а не две отдельные полосы; в результате получается не лента Мёбиуса, а гомеоморфная цилиндру. Это происходит потому, что исходная полоса имеет только один край, вдвое длиннее исходной полосы. Обрезка создает второй независимый край такой же длины, по половине с каждой стороны ножниц. Если разрезать эту новую, более длинную полоску посередине, получатся две полоски, намотанные друг на друга, каждая с двумя полными витками.
Если полоса разрезается примерно на треть от края, образуются две связанные полосы. Центральная треть - более тонкая лента Мёбиуса такой же длины, как и исходная полоса. Другой - это тонкая полоса с двумя полными витками, близкая к краю исходной полоски, длина которой в два раза превышает длину исходной полоски. [2]
Другие аналогичные полосы могут быть получены аналогичным соединением полос с двумя или более полувинками вместо одной. Например, полоса с тремя полувитками при продольном делении становится перекрученной полосой, завязанной в узел трилистника ; если этот узел распутать, оказывается, что он содержит восемь полувручений. Полоса с N половинными поворотами, когда она делится пополам, становится полосой с N + 1 полными поворотами. [2] Дополнительные скручивания и повторное соединение концов создают фигурки, называемые Парадромными кольцами.
Геометрия и топология
Один из способов представить ленту Мёбиуса, вложенную в трехмерное евклидово пространство, - это параметризация:
для а также . Это создает полосу Мебиуса шириной 1, центральная окружность которой имеет радиус 1, лежит в-плоскость с центром в . Параметр u перемещается по полосе, в то время как v перемещается от одного края к другому.
В цилиндрических полярных координатах , неограниченный вариант ленты Мёбиуса можно представить уравнением:
Широчайшее изометрическое вложение в 3-х пространстве
Если гладкая полоса Мебиуса в трех пространствах является прямоугольной, то есть создана путем отождествления двух противоположных сторон геометрического прямоугольника с изгибом, но без растяжения поверхности, то такое вложение, как известно, возможно, если соотношение сторон геометрического прямоугольника прямоугольник больше чем , с обозначением более коротких сторон. (Для меньшего соотношения сторон неизвестно, возможно ли плавное встраивание.) Поскольку соотношение сторон уменьшается в сторону, любое такое вложение, кажется, приближается к форме, которую можно представить как полосу из трех равносторонних треугольников, сложенных друг над другом, чтобы занять равносторонний треугольник.
Однако, если лента Мёбиуса в трехмерном пространстве непрерывно дифференцируема только один раз (класс C 1 ), то теорема Нэша-Койпера показывает, что нижней границы не существует.
Метод изготовления ленты Мебиуса из прямоугольной полосы, слишком широкой, чтобы ее можно было просто скрутить и соединить (например, прямоугольник длиной всего одну единицу и одну единицу шириной), заключается в том, чтобы сначала согнуть широкое направление вперед и назад, используя четное количество складок - «складка гармошкой» - так, чтобы сложенная полоса стала достаточно узкой, чтобы ее можно было скручивать и соединять, подобно тому, как можно соединить одну достаточно длинную полоску. [10] С двумя сгибами, например, полоса 1 × 1 стала бы согнутой полосой 1 × , поперечное сечение которой имеет форму «N», и останется «N» после полусгиба. Эта сложенная полоса, в три раза превышающая ее ширину, будет достаточно длинной, чтобы затем соединиться на концах. Этот метод в принципе работает, но становится непрактичным после достаточно большого количества складок, если используется бумага. Используя обычную бумагу, эту конструкцию можно сложить плоско , со всеми слоями бумаги в одной плоскости, но математически, возможно ли это без растяжения поверхности прямоугольника, неясно. [11]
Топология
Топологически полосу Мебиуса можно определить как квадрат с его верхней и нижней сторонами, обозначенными соотношением для , как на схеме.
Менее используемое представление ленты Мёбиуса - это топологический фактор тора. [12] Тор можно построить как квадрат с краями, обозначенными как (приклеить слева направо) и (приклеиваем снизу вверх). Если затем также идентифицировать ( x , y ) ~ ( y , x ) , то получим ленту Мёбиуса. Диагональ квадрата (точки ( x , x ), где обе координаты совпадают) становится границей ленты Мёбиуса и несет структуру орбифолда, которая геометрически соответствует «отражению» - геодезические (прямые) в ленте Мёбиуса отражают с края обратно в полосу. Notationally, это записывается как T 2 / S 2 - 2-тора quotiented с помощью действия группы из симметрической группы на два буквах (переключение координаты), и его можно рассматривать как конфигурационное пространство двух неупорядоченных точек на окружности , возможно, то же самое (ребро соответствует одинаковым точкам), а тор соответствует двум упорядоченным точкам на окружности.
Лента Мёбиуса представляет собой двумерное компактное многообразие (т. Е. Поверхность ) с краем. Это стандартный пример неориентируемой поверхности . Фактически, полоса Мебиуса является воплощением топологического явления неориентируемости . Это связано с тем, что двумерные формы (поверхности) являются формами наименьшей размерности, для которых возможна неориентируемость, а лента Мёбиуса - единственная поверхность, которая топологически является подпространством любой неориентируемой поверхности. В результате любая поверхность неориентируема тогда и только тогда, когда она содержит ленту Мёбиуса в качестве подпространства.
Лента Мебиуса также является стандартным примером, используемым для иллюстрации математической концепции пучка волокон . В частности, это нетривиальное расслоение над окружностью S 1 с его слоем, равным единичному интервалу , I = [0, 1] . Рассмотрение только края ленты Мёбиуса дает нетривиальное двухточечное (или Z 2 ) расслоение над S 1 .
Компьютерная графика
Простая конструкция ленты Мебиуса, которую можно использовать для ее изображения в компьютерной графике или пакетах моделирования:
- Возьмите прямоугольную полоску. Поверните его вокруг фиксированной точки не в его плоскости. На каждом шаге также поворачивайте полосу вдоль линии в ее плоскости (линии, разделяющей полосу надвое) и перпендикулярно основному радиусу орбиты. Поверхность, образующаяся за один полный оборот, является лентой Мёбиуса.
- Возьмите ленту Мебиуса и разрежьте ее по середине. Это формирует новую полосу, которая представляет собой прямоугольник, соединенный путем поворота одного конца на целый оборот. Если снова разрезать его посередине, получится две взаимосвязанные полноповоротные полоски.
Геометрия открытой ленты Мебиуса
Открыта группа Мёбиусово образована удалением границы стандартного Мебиуса. Он строится из множества S = {( x , y ) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 1 и 0 < y <1} путем идентификации (склеивания) точек (0, y ) и (1, 1 - y ) для всех 0 < y <1 .
Он может быть построен как поверхность постоянной положительной, отрицательной или нулевой (гауссовой) кривизны . В случаях отрицательной и нулевой кривизны лента Мёбиуса может быть построена как (геодезически) полная поверхность, что означает, что все геодезические («прямые» на поверхности) могут быть неограниченно продолжены в любом направлении.
Постоянная отрицательная кривизна: как плоскость и открытый цилиндр, открытая лента Мёбиуса допускает не только полную метрику постоянной кривизны 0, но также и полную метрику постоянной отрицательной кривизны, скажем -1. Один из способов , чтобы увидеть это , чтобы начать с верхней полуплоскости (Пуанкаре) модель в гиперболической плоскости ℍ, а именно ℍ = {( х , у ) ∈ ℝ 2 | у > 0} с римановой метрикой дается ( дх 2 + Dy 2 ) / г 2 . Сохраняющие ориентацию изометрии этой метрики - это все отображения f : ℍ → ℍ вида f ( z ): = ( az + b ) / ( cz + d ) , где a , b , c , d - действительные числа, удовлетворяющие ad - bc = 1 . Здесь z - комплексное число с Im ( z )> 0 , и мы отождествили ℍ с { z ∈ ℂ | Im ( z )> 0} с упомянутой римановой метрикой. Тогда один меняющая ориентация изометрии г на ℍ дается г ( г ): = - г , где г обозначает комплексное сопряжение г . Из этих фактов следует, что отображение h : ℍ → ℍ, задаваемое формулой h ( z ): = −2⋅ z, является обращающей ориентацию изометрией отображения ℍ , порождающей бесконечную циклическую группу изометрий G. (Его можно выразить как h ( z ) = ( √ 2 i z + 0) / (0 z - I / √ 2 ) , а его квадрат - это изометрия h ( h ( z )): = 4⋅ z , которая может быть выражено как (2 z + 0) / (0 z + 1 ⁄ 2 ) .) Фактор ℍ / G действия этой группы, как легко видеть, топологически является лентой Мёбиуса. Но также легко проверить, что он полный и некомпактный, с постоянной отрицательной кривизной, равной −1.
Группа изометрий этой ленты Мёбиуса одномерна и изоморфна специальной ортогональной группе SO (2).
(Постоянная) нулевая кривизна: ее также можно построить как полную поверхность, начав с части плоскости R 2, определенной как 0 ≤ y ≤ 1, и отождествив ( x , 0) с (- x , 1) для всех x в R (реалы). Результирующая метрика превращает открытую ленту Мёбиуса в (геодезически) полную плоскую поверхность (т. Е. Имеющую гауссову кривизну, равную 0 всюду). Это единственная метрика на ленте Мебиуса, с точностью до равномерного масштабирования, которая является одновременно плоской и полной.
Группа изометрий этой ленты Мёбиуса одномерна и изоморфна ортогональной группе SO (2).
Постоянная положительная кривизна: лента Мебиуса постоянной положительной кривизны не может быть полной, поскольку известно, что единственными полными поверхностями постоянной положительной кривизны являются сфера и проективная плоскость . Проективная плоскость Р 2 постоянной кривизны +1 может быть построен как частное от единичной сфере ˙s 2 в R 3 по антиподальной карте A : S 2 → S 2 , определяемое А ( х , у , г ) = (- x , - y , - z ) . Открытая лента Мёбиуса гомеоморфна проективной плоскости с проколом, т. Е. P 2 без какой-либо одной удаленной точки. Это можно рассматривать как наиболее близкое к тому, что полоса Мебиуса постоянной положительной кривизны может стать полной поверхностью: всего в одной точке.
Группа изометрий этой ленты Мёбиуса также одномерна и изоморфна ортогональной группе O (2).
Пространство неориентированных прямых на плоскости диффеоморфно открытой ленте Мёбиуса. [13] Чтобы понять, почему, пусть L ( θ ) обозначает прямую, проходящую через начало координат под углом θ к положительной оси x. Для каждого L ( θ ) существует семейство P ( θ ) всех прямых на плоскости, перпендикулярных L ( θ ). Топологически семейство P ( θ ) - это просто прямая (поскольку каждая прямая в P ( θ ) пересекает прямую L ( θ ) только в одной точке). Таким образом, когда θ увеличивается в диапазоне 0 ° ≤ θ <180 ° , линия L ( θ ) представляет собой количество отдельных линий на плоскости. Но когда θ достигает 180 °, L (180 °) идентично L (0), и поэтому семейства P (0 °) и P (180 °) перпендикулярных линий также являются идентичными семействами. Линия L (0 °), однако, вернулась к себе, поскольку L (180 °) указала в противоположном направлении . Каждая линия на плоскости соответствует ровно одной линии в некотором семействе P ( θ ), ровно для одного θ , для 0 ° ≤ θ <180 ° , а P (180 °) идентичен P (0 °), но возвращает указанную в противоположное направление. Это гарантирует, что пространство всех прямых на плоскости - объединение всех L ( θ ) для 0 ° ≤ θ ≤ 180 ° - является открытой лентой Мёбиуса.
Группа биективных линейных преобразований GL (2, R ) плоскости в себя (вещественные матрицы 2 × 2 с ненулевым определителем) естественным образом индуцирует биекции пространства прямых на плоскости в себя, которые образуют группу само- гомеоморфизмы пространства прямых. Следовательно, эта же группа образует группу самогомеоморфизмов ленты Мёбиуса, описанную в предыдущем абзаце. Но на пространстве прямых на плоскости нет метрики, инвариантной относительно действия этой группы гомеоморфизмов. В этом смысле пространство прямых на плоскости не имеет естественной метрики.
Это означает, что лента Мебиуса обладает естественной 4-мерной группой Ли самогомеоморфизмов, заданной GL (2, R ) , но эта высокая степень симметрии не может быть продемонстрирована как группа изометрий какой-либо метрики.
Лента Мебиуса с круглой границей
Ребро или граница ленты Мёбиуса гомеоморфна (топологически эквивалентна) окружности . При обычных вложениях полосы в евклидово пространство, как и выше, граница не является истинной окружностью. Однако можно встроить ленту Мёбиуса в трех измерениях, так что граница представляет собой идеальный круг, лежащий в некоторой плоскости. Например, см. Рисунки 307, 308 и 309 раздела «Геометрия и воображение». [14]
Гораздо более геометрическое вложение начинается с минимальной бутылки Клейна, погруженной в 3-сферу, как обнаружил Блейн Лоусон. Затем мы берем половину этой бутылки Клейна, чтобы получить ленту Мебиуса, вложенную в 3-сферу (единичную сферу в 4-пространстве). Результат иногда называют «суданской лентой Мебиуса» [15], где «суданец» относится не к стране Судан, а к именам двух топологов, Сью Гудман и Дэниела Азимова. Применение стереографической проекции к суданской группе помещает ее в трехмерное пространство, как показано ниже - версию Джорджа Фрэнсиса можно найти здесь .
Из минимальной бутылки Клейна Лоусона мы выводим вложение ленты в 3-сферу S 3 , рассматриваемую как подмножество C 2 , которое геометрически совпадает с R 4 . Преобразуем углы η , φ в комплексные числа z 1 , z 2 с помощью
Здесь параметр η изменяется от 0 до π, а φ - от 0 до 2 π . Поскольку | z 1 | 2 + | z 2 | 2 = 1 , вложенная поверхность целиком лежит в S 3 . Граница полосы задается формулой | z 2 | = 1 (соответствует η = 0, π ), который, очевидно, является окружностью на 3-сфере.
Для того, чтобы получить вложение Мёбиуса в R 3 одна карты S 3 до R 3 через стереографическую проекцию . Точкой проекции может быть любая точка на S 3 , которая не лежит на вложенной ленте Мёбиуса (это исключает все обычные точки проекции). Один из возможных вариантов:. Стереографические проекции преобразуют круги в круги и сохраняют круговую границу полосы. В результате получается гладкое вложение ленты Мёбиуса в R 3 с круговой кромкой и без самопересечений.
Суданская лента Мебиуса в трехмерной сфере S 3 геометрически представляет собой расслоение слоев над большим кругом, слои которого являются большими полукругами. Наиболее симметричное изображение стереографической проекции этой полосы в R 3 получается при использовании точки проекции, которая лежит на большом круге, проходящем через середину каждого из полукругов. Каждый выбор такой точки проекции приводит к изображению, совпадающему с любым другим. Но поскольку такая точка проекции лежит на самой полосе Мебиуса, два аспекта изображения значительно отличаются от случая (проиллюстрированного выше), когда точка не находится на полосе: 1) изображение в R 3 не является полной полосой Мебиуса. , а скорее полосу с удаленной одной точкой (от ее средней линии); и 2) изображение неограниченно - и по мере того, как оно удаляется от источника R 3 , оно все больше приближается к плоскости. Тем не менее, эта версия стереографического изображения имеет группу из 4 симметрий в R 3 (она изоморфна 4-группе Клейна ) по сравнению с проиллюстрированной выше ограниченной версией, имеющей группу симметрий единственной группы порядка 2. (Если разрешены все симметрии, а не только сохраняющие ориентацию изометрии R 3 , количество симметрий в каждом случае удваивается.)
Но наиболее геометрически симметричной версией из всех является исходная суданская лента Мебиуса в трехмерной сфере S 3 , где ее полная группа симметрий изоморфна группе Ли O (2). Имея бесконечную мощность (мощность континуума ), она намного больше, чем группа симметрии любого возможного вложения ленты Мёбиуса в R 3 .
Проективная геометрия
Используя проективную геометрию , открытую ленту Мёбиуса можно описать как множество решений полиномиального уравнения. Добавление полиномиального неравенства приводит к замкнутой ленте Мебиуса. Они связывают ленты Мебиуса с геометрией линейных расслоений и операцией раздутия в алгебраической геометрии .
Реальная проективная линия это набор по модулю масштабирования. То есть точка в является классом эквивалентности вида
Каждый класс эквивалентности с участием имеет уникального представителя, вторая координата которого равна 1, а именно . Эти точки образуют копию евклидовой линии.. Однако класс эквивалентноститакого представителя нет. Эта дополнительная точка ведет себя как бесконечность без знака, что делает топологически такой же, как круг . Преимуществопо окружности, что некоторые геометрические объекты имеют более простые уравнения в терминах А и В . Это случай ленты Мебиуса.
Реализация открытой ленты Мёбиуса дается множеством
Если мы удалим строку из M (или фактически любой строки), то получившееся подмножество можно вложить в евклидово пространство. Удаление этой строки дает набор
где m соответствует.
Существует реализация замкнутой ленты Мёбиуса как аналогичного множества, но с дополнительным неравенством для создания границы:
Граница N - это множество всех точек с. Геометрия N очень похож на М , поэтому мы остановимся на М в дальнейшем.
Геометрию M можно описать с помощью линий, проходящих через начало координат. Каждая линия, проходящая через начало координат в - множество решений уравнения . Набор решений не меняется при масштабируется, поэтому линия зависит только от класса эквивалентности . То есть линии, проходящие через начало координат, параметризованы. Кроме того, каждая точка в , кроме , лежит на единственной линии, проходящей через начало координат, в частности, на линии, определяемой . Точкаоднако лежит на каждой линии, проходящей через начало координат. Для этой точки уравнение перерождается в . Это всегда правда, поэтому каждыйэто решение. Следовательно, множество M можно описать как непересекающееся объединение множества прямых, проходящих через начало координат. Это то же самое, что объединение линий через начало координат, за исключением того, что оно содержит по одной копии исходной точки для каждой линии. Эти дополнительные копии оригинала являются копиейи составляют центральную окружность ленты Мебиуса. Сами строки описывают правление ленты Мебиуса. Эта точка зрения на M показывает его как общее пространство тавтологического линейного расслоения на а также разрушение происхождения в.
Чтобы увидеть полуповорот в M , начните с точки в . Это соответствует единственной точке M , а именно. Нарисуйте полукруг против часовой стрелки, чтобы получить путь на M, задаваемый. Путь останавливается в, где он дает точку . За исключением P и Q , каждая точка пути лежит на другой прямой, проходящей через начало координат. Следовательнопроходит один раз вокруг центра окружности М . Однако, хотя P и Q лежат на одной линии определения, они находятся на противоположных сторонах начала координат. Это изменение знака - алгебраическое проявление полувручения.
Связанные объекты
Тесно связанный «странный» геометрический объект - бутылка Клейна . Теоретически бутылка Клейна может быть изготовлена путем склеивания двух лент Мебиуса по краям; однако это невозможно сделать в обычном трехмерном евклидовом пространстве без создания самопересечений. [16]
Другое тесно связанное многообразие - это вещественная проективная плоскость . Если круговой диск вырезать из реальной проективной плоскости, то останется лента Мёбиуса. [17] Если пойти в другом направлении, если приклеить диск к ленте Мёбиуса, указав их границы, результатом будет проективная плоскость. Чтобы визуализировать это, полезно деформировать ленту Мёбиуса так, чтобы ее граница была обычной окружностью (см. Выше). Реальная проективная плоскость, как и бутылка Клейна, не может быть встроена в трехмерное пространство без самопересечений.
В теории графов , то лестница Мёбиусово представляет собой кубический граф тесно связан с Мёбиуса.
В 1968 году Гонсало Велес Ян (UCV, Каракас, Венесуэла) обнаружил трехмерные тела с мёбскими характеристиками; [18] они были позже описаны Мартином Гарднером как призматические кольца, которые стали тороидальными многогранниками в его колонке «Математические игры» в журнале Scientific American в августе 1978 года . [19]
Приложения
Лента Мёбиуса нашла несколько технических применений. Гигантские ленты Мебиуса использовались в качестве конвейерных лент, которые служат дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается одинаково, а также в качестве записывающих лент с непрерывной петлей (чтобы удвоить время воспроизведения). Полосы Мебиуса широко используются при производстве лент для компьютерных принтеров и пишущих машинок , поскольку они позволяют ленте быть вдвое шире печатающей головки при равномерном использовании обеих половин. [20]
Мёбиусово резистор представляет собой электронный элемент схемы , который отменяет свое собственное индуктивное сопротивление. Никола Тесла запатентовал аналогичную технологию в 1894 году: [21] «Катушка для электромагнитов» была предназначена для использования с его системой глобальной передачи электричества без проводов.
Лента Мебиуса - это конфигурационное пространство двух неупорядоченных точек на окружности. Следовательно, в теории музыки пространство всех двух нот аккордов, известных как диады , принимает форму ленты Мебиуса; это и другие обобщения - это важное приложение орбифолдов к теории музыки . [22] [23]
В физике / электротехнике как:
- Компактный резонатор с резонансной частотой, вдвое меньшей, чем у линейных катушек идентичной конструкции [24]
- Безиндукционный резистор [25]
- Сверхпроводники с высокой температурой перехода [26]
- Резонатор Мёбиуса [27]
В химии / нанотехнологиях как:
- Молекулярные узлы с особыми характеристиками (узелок [2], хиральность).
- Молекулярные двигатели [28]
- Объем графена (нанографит) с новыми электронными характеристиками, такими как винтовой магнетизм [29]
- Особый тип ароматичности: ароматичность Мебиуса
- Заряженные частицы, попавшие в магнитное поле Земли, которые могут двигаться по ленте Мебиуса.
- Cyclotide (циклический белок) Kalata В1, активное вещество завода Oldenlandia аШшза , содержит Möbius топологии для пептидной цепи.
Искусство и развлечения
Принцип ленты Мебиуса использовался как метод создания иллюзии магии . Уловка, известная как афганские банды, была очень популярна в первой половине двадцатого века. Существует множество версий этого трюка, которые выполнялись известными иллюзионистами, такими как Гарри Блэкстон-старший и Томас Нельсон Даунс . [30] [31]
В творческих работах
В дизайне универсального символа переработки (♲) есть три стрелки, образующие петлю Мебиуса. По словам ее дизайнера Гэри Андерсона , «фигура была спроектирована как лента Мебиуса, чтобы символизировать непрерывность внутри конечного объекта». [32]
Смотрите также
- Многообразие Калаби – Яу
- Перекрестная крышка
- Пупочный тор
- Теория ленты
Рекомендации
- ^ Уэллс, Джон С. (2008). Словарь произношения Longman (3-е изд.). Лонгман. ISBN 978-1-4058-8118-0.
- ^ a b c Август Фердинанд Мёбиус, Архив истории математики MacTutor . History.mcs.st-andrews.ac.uk. Проверено 26 апреля 2017.
- ^ Клиффорд А. Пиковер (март 2005 г.). Полоса Мёбиуса: Чудесная группа доктора Августа Мёбиуса по математике, играм, литературе, искусству, технологиям и космологии . Пресс Рот Грома. ISBN 978-1-56025-826-1.
- ^ Райнер Хергес (2004). Мёбиус, Эшер, Бах - Необычный оркестр в Kunst und Wissenschaft . В: Naturwissenschaftliche Rundschau 6/58/2005 . С. 301–310. ISSN 0028-1050 .
- ^ Крис Родли (редактор) (1997). Линч на Линче . Лондон, Бостон. п. 231.CS1 maint: дополнительный текст: список авторов ( ссылка )
- ^ Ларисон, Лоррейн Л. (1973). «Полоса Мебиуса в римских мозаиках». Американский ученый . 61 (5): 544–547. Bibcode : 1973AmSci..61..544L .
- ^ Картрайт, Julyan HE; Гонсалес, Диего Л. (2016). «Ленты Мёбиуса перед Мёбиусом: топологические намеки в древних представлениях». Математический интеллигент . 38 (2): 69–76. arXiv : 1609.07779 . Bibcode : 2016arXiv160907779C . DOI : 10.1007 / s00283-016-9631-8 . Руководство по ремонту 3507121 .
- ^ Андрей Н. Колмогоров , Адольф П. Юшкевич (ред.), Математика XIX века: геометрия, аналитическая теория функций , Биркхойзер, 2012, с. 101.
- ^ Старостин Е.Л .; ван дер Хейден GHM (2007). «Форма ленты Мебиуса». Материалы природы . 6 (8): 563–7. DOI : 10.1038 / nmat1929 . PMID 17632519 .
- ^ Барр, Стивен (1964). Эксперименты в топологии . Нью-Йорк: Компания Томаса И. Кроуэлла. С. 48 , 200–201.
- ^ Дмитрий Фукс и Серж Табачников , Математический омнибус: Тридцать лекций по классической математике , 2007, стр. 199, на http://www.math.psu.edu/tabachni/Books/taba.pdf Архивировано 24 апреля2016 г. на Wayback Машина
- Перейти ↑ Tony Phillips, Tony Phillips 'Take on Math in the Media , Американское математическое общество , октябрь 2006 г.
- ^ Паркер, Филлип (1993). «Пространства геодезии» . Aportaciones Matemáticas . Notas de Investigación: 67–79.
- ^ Гильберт, Дэвид ; Кон-Фоссен, Стефан (1952). Геометрия и воображение (2-е изд.). Челси. ISBN 978-0-8284-1087-8.
- ^ Дэн Азимов; Дуг Лернер (1984). «Выпуск 17 Электронный театр SIGGRAPH '84» .
- ^ Спивак, Майкл (1979). Всестороннее введение в дифференциальную геометрию, том I (2-е изд.). Уилмингтон, Делавэр: опубликовать или погибнуть. п. 591.
- ^ Гильберт, Дэвид; Кон-Фоссен, С. (1999). Геометрия и воображение (2-е изд.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 316. ISBN. 978-0-8218-1998-2.
- ^ Wolfram Демонстрационный проект: Velez-Джана Мёбиуса тороидальный Многогранник
- ↑ Это был третий раз, когда Гарднер представил ленту Мебиуса в своей колонке.
- ^ Хогарт, Ian W. и Kiewning, Friedhelm. (1991) «Пишущая машинка или лента для принтера и способ ее изготовления» Патент США 5,062,725.
- ^ Тесла, Никола (1894) "Катушка для электромагнитов" Патент США 512,340.
- ^ Клара Московиц, Музыка, сведенная к красивой математике, LiveScience
- ^ Дмитрий Тимочко (7 июля 2006 г.). «Геометрия музыкальных аккордов». Наука . 313 (5783): 72–4. Bibcode : 2006Sci ... 313 ... 72T . CiteSeerX 10.1.1.215.7449 . DOI : 10.1126 / science.1126287 . PMID 16825563 .
- ^ Пруд, Дж. М. (2000). «Двухмодовые резонаторы Мебиуса и полосовые фильтры». Протоколы IEEE по теории и методам микроволнового излучения . 48 (12): 2465–2471. Bibcode : 2000ITMTT..48.2465P . DOI : 10.1109 / 22.898999 .
- ^ Дэвис, Ричард Л. (1966) "Неиндуктивный электрический резистор" Патент США 3,267,406
- ^ Энрикес, Рауль Перес (2002). «Структурный параметр для высокотемпературной сверхпроводимости из октаэдрической ленты Мебиуса в перовските типа RBaCuO: 123». Rev Mex Fis . 48 (приложение 1): 262. arXiv : cond-mat / 0308019 . Bibcode : 2003 second.mat..8019P .
- ^ "Печатные резонаторы: теория ленты Мебиуса и приложения" (PDF) . Микроволновый журнал . 56 (11). Ноябрь 2013.
- ^ Лукин, О; Фогтле, Ф (2005). «Создание узлов и нитей молекул: химия и хиральность молекулярных узлов и их сборок». Angewandte Chemie International Edition . 44 (10): 1456–77. DOI : 10.1002 / anie.200460312 . PMID 15704147 .
- ^ Ямасиро, Ацуши; Шимои, Юкихиро; Харигая, Кикуо; Вакабаяси, Кацунори (2004). «Новые электронные состояния в графеновых лентах - Конкурирующие порядки вращения и заряда». Physica E . 22 (1–3): 688–691. arXiv : cond-mat / 0309636 . Bibcode : 2004PhyE ... 22..688Y . DOI : 10.1016 / j.physe.2003.12.100 .
- ^ Превос, Питер (2018). Лента Мебиуса в магии: трактат об афганских бандах . Кенгуру-квартира: третье полушарие.
- ^ Гарднер, Мартин (1956). Математика, магия и тайна . Нью-Йорк: Dover Books. С. 70–73.
- ^ Джонс, Пенни; Джерри Пауэлл (май 1999 г.). «Гэри Андерсон найден!» (PDF) . Переработка ресурсов: Журнал переработки и компостирования Северной Америки : 1–2 . Проверено 26 мая 2011 .
Внешние ссылки
- Механизм Мёбиуса - функциональная модель планетарной передачи, в которой одна шестерня представляет собой ленту Мёбиуса.
- Вайсштейн, Эрик В. «Лента Мёбиуса» . MathWorld .