В математике , A развертывающаяся поверхность (или гирлянда : архаическая) является гладкой поверхностью с нулевой гауссовой кривизной . То есть это поверхность, которую можно выровнять на плоскости без искажения (то есть ее можно согнуть без растяжения или сжатия). И наоборот, это поверхность, которая может быть изготовлена путем преобразования плоскости (то есть «складывания», «гибки», «прокатки», «резки» и / или «склеивания»). В трех измерениях все развертываемые поверхности являются линейчатыми (но не наоборот). В R 4 есть развертывающиеся поверхности, которые не линейны.[1]
Огибающая однопараметрического семейства плоскостей называется развертывающейся поверхностью.
Подробности [ править ]
Раскладывающиеся поверхности, которые могут быть реализованы в трехмерном пространстве, включают:
- Цилиндры и, в более общем смысле, «обобщенный» цилиндр; его поперечное сечение может быть любой гладкой кривой
- Конусы и, в более общем смысле, конические поверхности ; подальше от вершины
- Oloid и sphericon являются членами специального семейства твердых тел , которые развивают все их поверхность при прокатке вниз плоской поверхности.
- Самолеты (банально); который можно рассматривать как цилиндр, поперечное сечение которого представляет собой линию
- Касательные складывающиеся поверхности; которые построены путем продолжения касательных к пространственной кривой.
- Тор имеет метрику , при которых она развертывающаяся, который может быть встроен в трехмерное пространство по Нэшу теоремы вложения [2] и имеет простое представление в четырех измерениях как декартово произведение двух окружностей: см Клиффорд тор .
Формально в математике развертывающаяся поверхность - это поверхность с нулевой гауссовой кривизной . Одним из следствий этого является то, что все «развертываемые» поверхности, встроенные в трехмерное пространство, являются линейчатыми поверхностями (хотя гиперболоиды являются примерами линейчатых поверхностей, которые не развертываются). Из-за этого многие развертывающиеся поверхности можно визуализировать как поверхность, образованную перемещением прямой линии в пространстве. Например, конус формируется путем фиксации одной конечной точки линии при перемещении другой конечной точки по окружности .
Заявление [ править ]
Развивающиеся поверхности имеют несколько практических применений.
Развивающиеся механизмы - это механизмы, которые соответствуют развивающейся поверхности и могут демонстрировать движение (развертывание) за пределами поверхности. [3] [4]
Многие картографические проекции предполагают проецирование Земли на развивающуюся поверхность с последующим «разворачиванием» поверхности в область на плоскости.
Поскольку складывающиеся поверхности могут быть изготовлены путем сгибания плоского листа, они также важны при изготовлении объектов из листового металла , картона и фанеры . Промышленность , которая использует развитые поверхности широко является судостроение . [5]
Неразвертывающаяся поверхность [ править ]
Большинство гладких поверхностей (и большинство поверхностей в целом) не являются разворачиваемыми поверхностями. Неразвертывающиеся поверхности по-разному называются « двойной кривизной », « двойной кривизной », « сложной кривизной », « ненулевой гауссовой кривизной » и т. Д.
Некоторые из наиболее часто используемых неразвертывающихся поверхностей:
- Сферы не являются разворачивающимися поверхностями ни при каких метриках, так как их нельзя развернуть на плоскости.
- Геликоида является линейчатой поверхности - но в отличие от линейчатых поверхностей упоминалось выше, это не является развертывающейся поверхностью.
- Гиперболический параболоид и гиперболоид немного отличаются двукратно линейчатые поверхности - но в отличие от линейчатых поверхностей упоминалось выше, ни один не является развертывающейся поверхностью.
Применение неразвертывающихся поверхностей [ править ]
Многие gridshells и натяжные конструкции и аналогичная прочность конструкции усиления с помощи (любой) двумерно искривленной формой.
См. Также [ править ]
- Развитие (дифференциальная геометрия)
- Раскладной ролик
Ссылки [ править ]
- ^ Гильберт, Дэвид ; Кон-Фоссен, Стефан (1952), Геометрия и воображение (2-е изд.), Нью-Йорк: Челси, стр. 341–342, ISBN 978-0-8284-1087-8
- ^ Borrelli, V .; Jabrane, S .; Lazarus, F .; Thibert, B. (апрель 2012), «Flat тора в трехмерном пространстве и выпуклой интеграции», Труды Национальной академии наук , Труды Национальной академии наук, 109 (19): 7218-7223, DOI : 10.1073 /pnas.1118478109 , PMC 3358891 , PMID 22523238 .
- ^ «Развивающиеся механизмы | О разрабатываемых механизмах» . совместимые механизмы . Проверено 14 февраля 2019 .
- ^ Хауэлл, Ларри L .; Ланг, Роберт Дж .; Magleby, Spencer P .; Циммерман, Трент К .; Нельсон, Тодд Г. (13 февраля 2019 г.). «Разворачивающиеся механизмы на разворачивающихся поверхностях» . Наука Робототехника . 4 (27): eaau5171. DOI : 10.1126 / scirobotics.aau5171 . ISSN 2470-9476 .
- ^ Нолан, Т.Дж. (1970), Компьютерное проектирование разрабатываемых поверхностей корпуса , Анн-Арбор: University Microfilms International
Внешние ссылки [ править ]
 | Викискладе есть медиафайлы по теме « Развиваемые поверхности» . |
- Вайсштейн, Эрик В. «Развивающаяся поверхность» . MathWorld .
- Примеры развертываемых поверхностей на сайте Rhino3DE
