Гиперболоид

Гиперболоид одного листа

коническая поверхность между ними

Гиперболоид двух листов

В геометрии , A гиперболоид вращения , иногда называется круговым гиперболоидом , является поверхность генерируется путем вращения гиперболы вокруг одной из его главных осей . Гиперболоид является поверхностью , полученной из гиперболоида вращения, деформируя его с помощью направленных скейлингов , или в более общем случае , из аффинного преобразования .

Гиперболоида представляет собой поверхность второго порядка , то есть поверхность определяется как нулевой набор из более полинома степени два в трех переменных. Среди квадратичных поверхностей гиперболоид характеризуется тем, что он не является конусом или цилиндром , имеет центр симметрии и пересекает множество плоскостей в гиперболы. Гиперболоид имеет три попарно перпендикулярные оси симметрии и три попарно перпендикулярные плоскости симметрии .

Для данного гиперболоида, если выбрать декартову систему координат , оси которой являются осями симметрии гиперболоида, а начало координат - центром симметрии гиперболоида, то гиперболоид может быть определен одним из двух следующих уравнений:

${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} - {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = 1, }$

или же

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1.}$

Обе поверхности асимптотичны конусу уравнения

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0.}$

Поверхность представляет собой гиперболоид вращения , если и только если В противном случае, оси однозначно определяются ( до обмена с х оси х и у оси х).${\displaystyle a^{2}=b^{2}.}$

Есть два вида гиперболоидов. В первом случае ( +1 в правой части уравнения): однополостный гиперболоид , также называемый гиперболическим гиперболоидом . Это связная поверхность , имеющая отрицательную гауссову кривизну в каждой точке. Это означает, что около каждой точки пересечение гиперболоида и его касательной плоскости в точке состоит из двух ветвей кривой, которые имеют различные касательные в точке. В случае однополостного гиперболоида эти ветви кривых являются линиями, и, следовательно, однополостный гиперболоид представляет собой двояковыпуклую поверхность.

Во втором случае ( −1 в правой части уравнения): двухлистный гиперболоид , также называемый эллиптическим гиперболоидом . Поверхность имеет две компоненты связности и положительную гауссову кривизну в каждой точке. Таким образом, поверхность является выпуклой в том смысле, что касательная плоскость в каждой точке пересекает поверхность только в этой точке.

Параметрические представления [ править ]

Можно определить декартовы координаты для гиперболоидов, аналогично сферическим координатам , сохраняя азимутальный угол θ ∈ [0, 2 π ) , но изменяя наклон v в гиперболические тригонометрические функции :

Одноповерхностный гиперболоид: v ∈ (−∞, ∞)

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cosh v\cos \theta \\y&=b\cosh v\sin \theta \\z&=c\sinh v\end{aligned}}}$

Двухповерхностный гиперболоид: v ∈ [0, ∞)

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sinh v\cos \theta \\y&=b\sinh v\sin \theta \\z&=\pm c\cosh v\end{aligned}}}$

Следующее параметрическое представление включает гиперболоиды одного листа, двух листов и их общий граничный конус, каждый с осью симметрии - осью:${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\vec {x}}(s,t)=\left({\begin{array}{lll}a{\sqrt {s^{2}+d}}\cos t\\b{\sqrt {s^{2}+d}}\sin t\\cs\end{array}}\right)}$

• Так как получается гиперболоид из одного листа,${\displaystyle d>0}$
• Для гиперболоида из двух листов и${\displaystyle d<0}$
• Для двойного конуса.${\displaystyle d=0}$

Можно получить параметрическое представление гиперболоида с другой координатной осью в качестве оси симметрии, перетасовывая положение члена к соответствующему компоненту в приведенном выше уравнении.${\displaystyle cs}$

Обобщенные уравнения [ править ]

В более общем смысле, произвольно ориентированный гиперболоид с центром в точке v определяется уравнением

${\displaystyle (\mathbf {x-v} )^{\mathrm {T} }A(\mathbf {x-v} )=1,}$

где A - матрица, а x , v - векторы .

В собственных векторах из А определяют основные направления гиперболоида и собственные значения матрицы А являются обратными квадратами полуосей: , и . Однолистовой гиперболоид имеет два положительных собственных значения и одно отрицательное собственное значение. Двухлистный гиперболоид имеет одно положительное собственное значение и два отрицательных собственных значения.${\displaystyle {1/a^{2}}}$${\displaystyle {1/b^{2}}}$${\displaystyle {1/c^{2}}}$

Свойства [ править ]

Гиперболоид одного листа [ править ]

Линии на поверхности [ править ]

• Гиперболоид из одного листа состоит из двух пучков линий. Это двояковыпуклая поверхность .

Если гиперболоид имеет уравнение, то прямые${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1}$

${\displaystyle g_{\alpha }^{\pm }:{\vec {x}}(t)={\begin{pmatrix}a\cos \alpha \\b\sin \alpha \\0\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}-a\sin \alpha \\b\cos \alpha \\\pm c\end{pmatrix}}\ ,\quad t\in \mathbb {R} ,\ 0\leq \alpha \leq 2\pi \ }$

содержатся в поверхности.

В случае, если гиперболоид представляет собой поверхность вращения и может быть создан вращением одной из двух линий или , которые наклонены к оси вращения (см. Рисунок). Это свойство называется теоремой Рена . ^[1] Более распространенная генерация однополостного гиперболоида вращения - это вращение гиперболы вокруг своей малой полуоси (см. Рисунок; вращение гиперболы вокруг другой оси дает двухполостную гиперболу вращения).${\displaystyle a=b}$${\displaystyle g_{0}^{+}}$${\displaystyle g_{0}^{-}}$

Гиперболоид из одного листа проективно эквивалентен гиперболическому параболоиду .

Сечения самолета [ править ]

Для простоты рассмотрены плоские сечения единичного гиперболоида с уравнением . Поскольку гиперболоид в общем положении является аффинным образом единичного гиперболоида, результат применим и к общему случаю.${\displaystyle \ H_{1}:x^{2}+y^{2}-z^{2}=1}$

• Плоскость с наклоном меньше 1 (1 - наклон линий на гиперболоиде) пересекается по эллипсу ,${\displaystyle H_{1}}$
• Самолет с наклоном , равным 1 , содержащей начало пересекается в паре параллельных линий ,${\displaystyle H_{1}}$
• Плоскость с наклоном 1, не содержащая начала координат, пересекается по параболе ,${\displaystyle H_{1}}$
• Тангенциальная плоскость пересекает в паре пересекающихся линий ,${\displaystyle H_{1}}$
• Не-касательная плоскость с наклоном больше , чем 1 пересекает в гиперболы . ^[2]${\displaystyle H_{1}}$

Очевидно, что любой однополостный гиперболоид вращения содержит окружности. Это также верно, но менее очевидно в общем случае (см. Круговой раздел ).

Гиперболоид двух листов [ редактировать ]

Гиперболоид двух листов не содержит линий. Обсуждение плоских сечений можно провести для единичного гиперболоида двух листов с помощью уравнения

${\displaystyle H_{2}:\ x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1}$.

который может быть создан вращающейся гиперболой вокруг одной из своих осей (той, которая пересекает гиперболу)

• Плоскость с наклоном меньше 1 (1 - наклон асимптот порождающей гиперболы) пересекается либо по эллипсу, либо по точке, либо вообще не пересекается ,${\displaystyle H_{2}}$
• Плоскость с наклоном 1, содержащая начало координат (середину гиперболоида), не пересекается ,${\displaystyle H_{2}}$
• Плоскость с наклоном 1, не содержащая начала координат, пересекается по параболе ,${\displaystyle H_{2}}$
• Самолет с наклоном больше , чем 1 пересекает в гиперболы . ^[3]${\displaystyle H_{2}}$

Очевидно, что любой двухлистный гиперболоид вращения содержит окружности. Это также верно, но менее очевидно в общем случае (см. Круговой раздел ).

Замечание: Гиперболоид из двух листов проективно эквивалентен сфере.

Другие свойства [ править ]

Симметрии [ править ]

Гиперболоиды с уравнениями :${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,\quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1\ }$

• точки, симметричные началу координат,
• симметричны координатным плоскостям и
• вращение симметрично оси z и симметрично любой плоскости, содержащей ось z, в случае (гиперболоид вращения).${\displaystyle a=b}$

Кривизна [ править ]

В то время как гауссова кривизна гиперболоида одного листа отрицательна, кривизна двухлистного гиперболоида положительна. Несмотря на свою положительную кривизну, гиперболоид из двух листов с другой подходящей метрикой также может использоваться в качестве модели для гиперболической геометрии.

Более чем в трех измерениях [ править ]

Воображаемые гиперболоиды часто встречаются в математике более высоких измерений. Например, в псевдоевклидовом пространстве используется квадратичная форма :

${\displaystyle q(x)=\left(x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}\right)-\left(x_{k+1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right),\quad k<n.}$

Когда c - любая константа , то часть пространства, заданная формулой

${\displaystyle \lbrace x\ :\ q(x)=c\rbrace }$

называется гиперболоидом . Вырожденный случай соответствует c = 0 .

В качестве примера рассмотрим следующий отрывок: ^[4]

... векторы скорости всегда лежат на поверхности, которую Минковский называет четырехмерным гиперболоидом, поскольку, выраженное в терминах чисто вещественных координат ( y ₁ , ..., y ₄ ) , его уравнение имеет вид y²
₁+ y²
₂+ y²
₃- у²
₄= −1 , аналог гиперболоида y²
₁+ y²
₂- у²
₃= −1 трехмерного пространства. ^[6]

Однако термин квазисфера также используется в этом контексте, поскольку сфера и гиперболоид имеют некоторую общность (см. § Отношение к сфере ниже).

Гиперболоидные структуры [ править ]

В строительстве используются однополостные гиперболоиды, структуры которых называются гиперболоидными структурами . Гиперболоид - это двояковыпуклая поверхность ; таким образом, он может быть построен из прямых стальных балок, что дает прочную конструкцию с меньшими затратами, чем другие методы. Примеры включают градирни , особенно электростанций , и многие другие конструкции .

• Галерея однополостных гиперболоидных структур
• Аджигольский маяк , Украина , 1911.

• Башня порта Кобе , Япония , 1963 год.

• Планетарий Джеймса С. Макдоннелла Научного центра Сент-Луиса , Сент-Луис , штат Миссури , 1963 год.

• Диспетчерская вышка международного аэропорта Ньюкасла , Ньюкасл-апон-Тайн , Англия , 1967 год.

• Передаточная башня Ештед , Чехия , 1968 год.

• Собор Бразилиа , Бразилия , 1970 год.

• Гиперболоидная водонапорная башня с тороидальным резервуаром, Цеханув , Польша , 1972 год.

• Рой Томсон Холл , Торонто , Канада , 1982.

• THTR-300 градирни для теперь выведена из эксплуатации ториевого ядерного реактора в Hamm -Uentrop, Германия , 1983.

• Corporation Street Bridge , Манчестер , Англия , 1999.

• Killesberg смотровая башня, Штутгарт , Германия , 2001.

• BMW Welt (Мир BMW), музей и место проведения мероприятий, Мюнхен , Германия , 2007 г.

• Canton Tower , Китай , 2010.

• Essarts-ле-Руа водонапорная башня, Франция .

Отношение к сфере [ править ]

В 1853 году Уильям Роуэн Гамильтон опубликовал свои « Лекции о кватернионах», в которых были представлены бикватернионы . Следующий отрывок со страницы 673 показывает, как Гамильтон использует алгебру бикватернионов и векторы из кватернионов для создания гиперболоидов из уравнения сферы :

... уравнение единичной сферы ρ ² + 1 = 0 , и преобразовать вектор ρ к бивекторной форме , такой как σ + τ √ −1 . Уравнение сферы затем распадается на систему из двух следующих:

σ ² - τ ² + 1 = 0 , S . στ = 0 ;

и предлагает рассматривать σ и τ как два действительных и прямоугольных вектора, так что

Т τ = ( Т σ ² - 1) ^1/2 .

Отсюда легко сделать вывод, что если мы предположим σ λ${\displaystyle \parallel }$ , где λ - вектор в данной позиции, новый действительный вектор σ + τ закончится на поверхности двулистного равностороннего гиперболоида ; и что, если, с другой стороны, принять τ λ${\displaystyle \parallel }$ , то геометрическое место конца вещественного вектора σ + τ будет равносторонним, но однополостным гиперболоидом . Таким образом, изучение этих двух гиперболоидов очень просто через бикватернионы связано с изучением сферы; ...

В этом отрывке S - это оператор, задающий скалярную часть кватерниона, а T - «тензор», теперь называемый нормой , кватерниона.

Современный взгляд на объединение сферы и гиперболоида использует идею конического сечения как среза квадратичной формы . Вместо конической поверхности требуются конические гиперповерхности в четырехмерном пространстве с точками p = ( w , x , y , z ) ∈ R ^4, определяемыми квадратичными формами . Сначала рассмотрим коническую гиперповерхность

${\displaystyle P=\lbrace p\ :\ w^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\rbrace }$ и

${\displaystyle H_{r}=\lbrace p\ :\ w=r\rbrace ,}$которая является гиперплоскостью .

Тогда это сфера радиуса r . С другой стороны, коническая гиперповерхность${\displaystyle P\cap H_{r}}$

${\displaystyle Q=\lbrace p\ :\ w^{2}+z^{2}=x^{2}+y^{2}\rbrace }$при условии, что это гиперболоид.${\displaystyle Q\cap H_{r}}$

В теории квадратичных форм , А блок квази-сфера является подмножеством квадратичного пространства X , состоящее из х ∈ Х такая , что квадратичная норма х равна единице. ^[7]

См. Также [ править ]

• пространство де Ситтера
• Эллипсоид
• Список поверхностей
• Параболоид / гиперболический параболоид
• Регулус
• Вращение осей
• Разделенный кватернион § Профиль
• Перевод осей

Ссылки [ править ]

• Вильгельм Блашке (1948) Analytische Geometrie , Kapital V: "Quadriken", Wolfenbutteler Verlagsanstalt.
• Дэвид А. Браннан, М. Ф. Эсплен и Джереми Дж. Грей (1999) Геометрия , стр. 39–41 Издательство Кембриджского университета .
• HSM Coxeter (1961) Введение в геометрию , стр. 130, John Wiley & Sons .

В Викицитатнике есть цитаты, связанные с: Гиперболоидом

Викискладе есть медиафайлы по теме гиперболоида .

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Гиперболоид» . MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик У. «Однополостный гиперболоид» . MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик У. «Двустворчатый гиперболоид» . MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик У. "Эллиптический гиперболоид" . MathWorld .