В геометрии , A поверхность S является исключено (также называемый свиток ) , если через каждую точку S есть прямая линия , которая лежит на S . Примеры включают плоскость , боковую поверхность цилиндра или конуса , коническую поверхность с эллиптической направляющей , правый коноид , геликоид и касательную, развернутую к плавной кривой в пространстве.
Линейчатую поверхность можно описать как набор точек, проходящих по движущейся прямой. Например, конус формируется путем фиксации одной точки линии при перемещении другой точки по окружности . Поверхность является двояковыпуклой, если через каждую ее точку проходят две различные линии, лежащие на поверхности. Гиперболический параболоид и гиперболоид одного листа вдвойне линейчатые поверхности. Плоскость - единственная поверхность, которая содержит по крайней мере три четкие линии, проходящие через каждую из своих точек ( Fuchs & Tabachnikov 2007 ).
Свойства линейности или двойственности сохраняются проективными отображениями и, следовательно, являются понятиями проективной геометрии . В алгебраической геометрии линейчатые поверхности иногда считаются поверхностями в аффинном или проективном пространстве над полем, но они также иногда рассматриваются как абстрактные алгебраические поверхности без вложения в аффинное или проективное пространство, и в этом случае «прямая линия» означает аффинная или проективная линия.
Определение и параметрическое представление
Двумерное дифференцируемое многообразие называется линейчатой поверхностью , если оно представляет собой объединение однопараметрического семейства прямых. Линии этого семейства являются образующими линейчатой поверхности.
Линейчатая поверхность может быть описана параметрическим представлением вида
- (CR) .
Любая кривая с фиксированным параметром образующая (линия) и кривая - директриса представления. Векторы Опишите направления генераторов.
Директриса может схлопнуться в точку (в случае конуса см. Пример ниже).
В качестве альтернативы линейчатая поверхность (CR) может быть описана как
- (CD)
со второй директрисой .
Как вариант, можно начать с двух непересекающихся кривых. в качестве направляющих, и получить по (CD) линейчатую поверхность с направлениями линий
Для создания линейчатой поверхности двумя директрисами (или одной директрисой и векторами направлений линий) существенна не только геометрическая форма этих кривых, но и их специальные параметрические представления влияют на форму линейчатой поверхности (см. Примеры a ), г)).
Для теоретических исследований более выгодно представление (CR) , поскольку параметр появляется только один раз.
Примеры
Правый круговой цилиндр
:
с участием
Правый круговой конус
:
с участием
В этом случае можно было бы использовать вершину в качестве направляющей, то есть: а также как направления линии.
Для любого конуса можно выбрать вершину в качестве направляющей. Этот случай показывает: директриса линейчатой поверхности может вырождаться в точку .
Геликоид
Директриса ось z, направления линий и вторая директриса это спираль .
Геликоид - это частный случай линейчатых обобщенных геликоидов .
Цилиндр, конус и гиперболоиды
Параметрическое представление
имеет два горизонтальных круга в качестве направляющих. Дополнительный параметрпозволяет варьировать параметрические представления окружностей. Для
- каждый получает цилиндр , для
- один получает конус и для
- получается гиперболоид из одного листа с уравнением и полуоси .
Гиперболоид из одного листа - это двояковыпуклая поверхность.
Гиперболический параболоид
Если две директрисы в (CD) являются прямыми
один получает
- ,
который является гиперболическим параболоидом, который интерполирует 4 точки билинейно. [1]
Очевидно, линейчатая поверхность является двояковыпуклой , потому что любая точка лежит на двух линиях поверхности.
Для примера, показанного на диаграмме:
- .
Гиперболический параболоид имеет уравнение .
Лента Мебиуса
Линейчатая поверхность
с участием
- (кружок как директриса),
содержит ленту Мебиуса.
На диаграмме показана лента Мёбиуса для .
Простой расчет показывает (см. следующий раздел). Следовательно, данная реализация ленты Мёбиуса не развертываема . Но есть разворачивающиеся ленты Мёбиуса. [2]
Касательные плоскости, разворачивающиеся поверхности
Для нижеследующих соображений предполагается, что существует любая необходимая производная.
Для определения вектора нормали в точке нужны частные производные представления :
- ,
Следовательно, вектор нормали равен
Из-за (Смешанное произведение с двумя равными векторами всегда равно 0!), Vector является касательным вектором в любой точке . Касательные плоскости вдоль этой линии все одинаковы, если кратно . Это возможно, только если три векторалежат в плоскости, т.е. линейно зависимы. Линейную зависимость трех векторов можно проверить с помощью определителя этих векторов:
- Касательные плоскости вдоль линии равны, если
Важность этого определяющего условия показывает следующее утверждение:
- Линейчатая поверхность это развертывающаяся в плоскости, если для любой точки гауссова кривизна равна нулю. Это как раз тот случай, если
- в любой момент верно. [3]
Образующие любой линейчатой поверхности сливаются с одним семейством ее асимптотических прямых. Для развертывающихся поверхностей они также образуют одно семейство линий кривизны . Можно показать, что любая развертывающаяся поверхность представляет собой конус, цилиндр или поверхность, образованную всеми касательными к пространственной кривой. [4]
Дальнейшие примеры
Применение и история складывающихся поверхностей
Детерминантное условие для развертывающихся поверхностей используется для определения численно складываемых связей между пространственными кривыми (директрисами). На схеме показана развивающаяся связь между двумя эллипсами, находящимися в разных плоскостях (одна горизонтальная, другая вертикальная), и ее развитие. [5]
Впечатление об использовании развертываемых поверхностей в автоматизированном проектировании ( САПР ) дается в документе « Интерактивное проектирование развертываемых поверхностей» [6]
Историческое исследование по развёртывающимся можно найти в развертывающейся поверхности: их история и применение [7]
Линейчатые поверхности в алгебраической геометрии
В алгебраической геометрии линейчатые поверхности были первоначально определены как проективные поверхности в проективном пространстве, содержащие прямую линию, проходящую через любую заданную точку. Это сразу означает, что есть проективная линия на поверхности, проходящая через любую заданную точку, и это условие теперь часто используется как определение линейчатой поверхности: линейчатые поверхности определяются как абстрактные проективные поверхности, удовлетворяющие этому условию, что существует проективная линия. через любую точку. Это эквивалентно тому, что они бирациональны по отношению к произведению кривой и проективной прямой. Иногда линейчатую поверхность определяют как поверхность, удовлетворяющую более сильному условию, что она имеет расслоение над кривой со слоями, которые являются проективными прямыми. Это исключает проективную плоскость, которая имеет проективную прямую через каждую точку, но не может быть записана как такое расслоение.
Линейчатые поверхности появляются в классификации Энриквеса проективных комплексных поверхностей, потому что каждая алгебраическая поверхность размерности Кодаира - линейчатая поверхность (или проективная плоскость, если использовать ограничительное определение линейчатой поверхности). Любая минимальная проективная линейчатая поверхность, отличная от проективной плоскости, является проективным расслоением двумерного векторного расслоения над некоторой кривой. Линейчатые поверхности с базовой кривой рода 0 являются поверхностями Хирцебруха .
Линейчатые поверхности в архитектуре
Поверхности с двойной линией - это вдохновение для изогнутых гиперболоидных структур, которые можно построить с помощью решетки из прямых элементов, а именно:
- Гиперболические параболоиды, например, двускатные крыши .
- Гиперболоиды одного листа, такие как градирни и некоторые урны для мусора .
В ракетном двигателе RM-81 Agena использовались прямые охлаждающие каналы , расположенные на линейчатой поверхности и образующие горловину сопловой секции.
Охлаждение гиперболических башен на электростанции Didcot , Великобритания; поверхность может быть двояко линейчатой.
Дважды управляемая водонапорная башня с тороидальным резервуаром, работы Яна Богуславского в Цехануве , Польша.
Гиперболоидная башня порта Кобе , Кобе , Япония, с двойной линией.
Гиперболоидная водонапорная башня 1896 года в Нижнем Новгороде .
Сетчатая оболочка из Шуховской башни в Москве, чьи участки вдвойне правила.
Винтовая лестница с линейками внутри Торраццо Кремоны .
Деревенская церковь в Село, Словения: и крыша (коническая), и стена (цилиндрическая) являются линейчатыми поверхностями.
Гиперболический параболоид крыша железнодорожной станции Варшава Ochota в Варшаве , Польша.
Линейчатая коническую шляпу .
Гофрированная черепица, разделенная параллельными линиями в одном направлении и синусоидальными в перпендикулярном направлении.
Устройство плоской поверхности путем разметки ( стяжки ) бетона.
Рекомендации
- ^ Г. Фарин: Кривые и поверхности для компьютерного геометрического проектирования , Academic Press, 1990, ISBN 0-12-249051-7 , стр. 250
- ^ В. Вундерлич: Über Эйн abwickelbares Möbiusband , Ежемесячнике für Mathematik 66, 1962, С. 276-289.
- ^ В. Кюнель: Дифференциальная геометрия, стр. 58–60
- ^ Г. Фарин: с. 380
- ^ Э. Хартманн: Геометрия и алгоритмы для САПР , конспект лекции, TU Дармштадт, стр. 113
- ^ Тан, Бо, Валлнер, Поттманн: Интерактивный дизайн складывающихся поверхностей , ACM Trans. График. (МЕСЯЦ 2015), DOI: 10.1145 / 2832906
- ^ Снежана Lawrence : развертывающиеся поверхности: их история и применение , в Nexus Network Journal 13 (3) · Октябрь 2011, DOI : 10.1007 / s00004-011-0087-г
- Ду Карму, Манфредо П.: Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей , Прентис-Холл; 1-е издание, 1976 г. ISBN 978-0132125895
- Barth, Wolf P .; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные сложные поверхности , Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Folge., 4 , Springer-Verlag, Berlin, doi : 10.1007 / 978-3-642-57739-0 , ISBN 978-3-540-00832-3, MR 2030225
- Бовиль, Арно (1996), Комплексные алгебраические поверхности , Студенческие тексты Лондонского математического общества, 34 (2-е изд.), Cambridge University Press , DOI : 10.1017 / CBO9780511623936 , ISBN 978-0-521-49510-3, Руководство по ремонту 1406314
- Edge, WL (1931), Теория линейчатых поверхностей , Cambridge University Press - через Интернет-архив. Обзор: Бюллетень Американского математического общества 37 (1931), 791-793, DOI : 10.1090 / S0002-9904-1931-05248-4
- Fuchs, D .; Табачников, Серж (2007), «16.5 Не бывает неплоских трехлинейчатых поверхностей», Математический омнибус: тридцать лекций по классической математике , Американское математическое общество, с. 228, ISBN 9780821843161.
- Ли, Ta-chʻien (ред.) (2011), Проблемы и решения в математике, 3103 (2-е изд.), World Scientific Publishing CompanyCS1 maint: дополнительный текст: список авторов ( ссылка ).
- Гильберт, Дэвид ; Кон-Фоссен, Стефан (1952), Геометрия и воображение (2-е изд.), Нью-Йорк: Челси, ISBN 978-0-8284-1087-8.
- Исковских В.А. (2001) [1994], "Линейчатая поверхность" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Sharp, John (2008), D-Forms: удивительные новые трехмерные формы из плоских изогнутых форм , Tarquin, ISBN 978-1-899618-87-3. Обзор: блестки, Carlo H. (2009), Журнал математики и искусство 3: 229-230, DOI : 10,1080 / 17513470903332913
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Линейчатая поверхность» . MathWorld .
- Изображения с линейчатой поверхностью из Университета Аризоны
- Примеры развертываемых поверхностей на сайте Rhino3DE