Раскладной ролик
 | Похоже, что один из основных авторов этой статьи имеет тесную связь с ее предметом. ( Сентябрь 2020 г. ) |
В геометрии , A развертывающаяся валик представляет собой выпуклое твердое вещество , поверхность которого состоит из одной непрерывной развертывающейся поверхности. [1] [2] При катании по плоскости большинство раскладывающихся роликов развивают всю свою поверхность, так что все точки на поверхности касаются плоскости катания. Все раскладные ролики имеют линейчатую поверхность . Четыре семейство развёртывающихся роликов были описаны до настоящего времени: простые polysphericons, [3] , что выпуклые оболочки двух дисковых валиков (TDR выпуклых оболочки), [4] в polycons [5][1] и Платониконы. [2] [6]
Строительство
Каждое семейство раскладных роликов основано на различном принципе конструкции. В простых polysphericons являются подсемейство polysphericon семьи. [7] Они основаны на телах, образованных вращением правильных многоугольников вокруг одной из самых длинных диагоналей . Эти тела разрезаются пополам в их плоскости симметрии, и две половины воссоединяются после поворота на угол смещения относительно друг друга. [5] Все простые полисфериконы имеют два ребра, состоящих из одной или нескольких дуг окружности и четырех вершин. Все они, кроме сферикона , имеют поверхности, состоящие из одного вида конической поверхности и одной или нескольких конических илицилиндрические поверхности усеченного конуса . [1] Двухдисковые катки состоят из двух конгруэнтных симметричных круговых или эллиптических секторов . Секторы стыкуются между собой так, что плоскости, в которых они лежат, перпендикулярны друг другу, а их оси симметрии совпадают. [4] Выпуклые оболочки этих структур составляют члены семейства выпуклых корпусов TDR. Все члены этого семейства имеют два ребра (две дуги окружности или эллипса ). Они могут иметь либо 4 вершины , как у сферикона (который также является членом этого семейства), либо ни одной, как в олоиде.. Как и простые полисфериконы, поликоны основаны на правильных многоугольниках, но состоят из идентичных частей только одного типа конуса без частей усеченного конуса. Конус создается путем вращения двух смежных ребер правильного многоугольника (и в большинстве случаев их продолжений) вокруг оси симметрии многоугольника, проходящей через их общую вершину. Поликон, основанный на n -угольнике (многоугольник с n ребрами), имеет n ребер и n + 2 вершины. Сферикон, который также является членом этого семейства, имеет округлые края. Края гексакона параболические . Ребра всех остальных поликонов гиперболические . [1] Подобно polycons, в Platoniconsизготавливаются только с одним типом конической поверхности. Их уникальная особенность состоит в том, что каждое из них описывает одно из пяти Платоновых тел . В отличие от других семей, эта семья не бесконечна. На сегодняшний день открыто 14 платониконов. [2]
Катящееся движение
В отличие от осесимметричных тел, которые, если они не ограничены, могут выполнять линейное движение качения (например, сфера или цилиндр) или круговое ( например, конус ), раскладывающиеся ролики изгибаются при качении. [1] Их движение линейно только в среднем. В случае поликонов и платониконов, а также некоторых простых полисфериконов путь их центра масс состоит из дуг окружностей. В случае простых полисфериконов, поверхности которых содержат цилиндрические части, путь представляет собой комбинацию дуг окружности и прямых линий. Общее выражение для формы траектории центра масс выпуклых корпусов TDR еще предстоит получить. [4]Для обеспечения плавного качения центр масс катящегося тела должен поддерживать постоянную высоту. Все простые полисфериконы, поликоны и платониконы, а также некоторые выпуклые оболочки TDR обладают этим свойством. [1] [3] Некоторые выпуклые оболочки TDR, такие как олоид, не обладают этим свойством. Чтобы выпуклый корпус TDR сохранял постоянную высоту, должны выполняться следующие условия:
Где a и b - половина малой и большой осей эллиптических дуг, соответственно, а c - расстояние между их центрами. [4] Например, в случае, когда каркасная конструкция TDR выпуклого корпуса состоит из двух круговых сегментов с радиусом r , для сохранения центра масс на постоянной высоте расстояние между центрами секторов должно быть равно r . [8]
использованная литература
- ^ Б с д е е Hirsch, Дэвид (2020). «Поликоны: Сферикон (или Тетракон) нашел свою семью» . Журнал математики и искусств . 14 (4): 345–359. arXiv : 1901.10677 . DOI : 10.1080 / 17513472.2020.1711651 . S2CID 119152692 .
- ^ a b c Ситон, К.А. "Платониконы: Платоновы тела начинают катиться" . Издательство мозаики.
- ^ a b «Полисфериконы» . h-its.org . Гейдельбергский институт теоретических исследований.
- ^ a b c d Укке, Кристиан. «Двухдисковый каток - сочетание физики, искусства и математики» (PDF) . Ucke.de .
- ^ a b «Поликон» . h-it.de . Гейдельбергский институт теоретических исследований.
- ^ "Платониконы" . 2020.bridgesmathart.org . Организация мостов.
- ^ Emmer, Мишель (2005). Визуальный разум II . Пресса Массачусетского технологического института. п. 668-669. ISBN 0-262-05076-5.
- Перейти ↑ Stewart, AT (1966). «Два круга-ролик» . Американский журнал физики . 34 (2): 166–167. DOI : 10.1119 / 1.1972824 .
внешние ссылки
* Серия «Сферикон» . Список первых членов семейства полисфериконов и обсуждение их различных видов.
- Геометрические фигуры
- Евклидова твердотельная геометрия
