Frustum

Набор пирамидальных усиков
Примеры: пятиугольная и квадратная усеченная.
Лица	n трапеций , 2 n -угольника
Края	3 п
Вершины	2 п
Группа симметрии	C _{n v} , [1, n ], (* nn )
Характеристики	выпуклый

В геометрии , A усеченное ^[а] (множественное число: frusta или усеченные ) представляет собой части твердое вещество (обычно конус или пирамиды ) , которая лежит между одной или двумя параллельными плоскостями резки его. Правая усеченный является параллельным усечением из правой пирамиды или правого конуса. ^[3]

В компьютерной графике , то просмотр усеченного является трехмерным область , которая видна на экране. Он образован обрезанной пирамидой; в частности, отсечение усеченного конуса - это метод определения скрытой поверхности .

В аэрокосмической промышленности усеченный обтекатель - это обтекатель между двумя ступенями многоступенчатой ракеты (такой как Сатурн V ), имеющий форму усеченного конуса.

Если принудительно сделать все края идентичными , усеченная пирамида превратится в однородную призму .

Элементы, особые случаи и связанные концепции [ править ]

Квадратный усеченный

Правильный октаэдр может быть увеличен на 3-х гранях, чтобы создать треугольную усеченную вершину.

Ось усеченного конуса - это ось исходного конуса или пирамиды. Усеченный конус считается круглым, если у него круглые основания; это правильно, если ось перпендикулярна обоим основаниям, и наклонная в противном случае.

Высота усеченного конуса - это расстояние по перпендикуляру между плоскостями двух оснований.

Конусы и пирамиды можно рассматривать как вырожденные случаи усечения, когда одна из секущих плоскостей проходит через вершину (так что соответствующее основание сводится к точке). Пирамидальные усики являются подклассом призматоидов .

Две усики, соединенные в основании, образуют двустворчатый ствол .

Формула [ править ]

Объем [ править ]

Формула объема усеченной квадратной пирамиды была введена древнеегипетскими математиками в так называемом Московском математическом папирусе , написанном в 13-й династии ( около 1850 г. до н.э. ):

{\ displaystyle V = {\ tfrac {1} {3}} h \ left (a ^ {2} + ab + b ^ {2} \ right).}

где a и b - длина основания и верхней стороны усеченной пирамиды, а h - высота. Египтяне знали правильную формулу для получения объема усеченной квадратной пирамиды, но никаких доказательств этого уравнения в московском папирусе не приводится.

Объем конической или пирамидальной усеченного является объем твердого вещества перед нарезкой вершинный офф, минус объем вершины:

{\ displaystyle V = {\ frac {h_ {1} B_ {1} -h_ {2} B_ {2}} {3}}}

где B ₁ - площадь одного основания, B ₂ - площадь другого основания, а h ₁ , h ₂ - высоты перпендикуляра от вершины к плоскостям двух оснований.

Учитывая, что

{\ displaystyle {\ frac {B_ {1}} {h_ {1} ^ {2}}} = {\ frac {B_ {2}} {h_ {2} ^ {2}}} = {\ frac {\ sqrt {B_ {1} B_ {2}}} {h_ {1} h_ {2}}} = \ alpha}

,

формулу для объема можно выразить как произведение этой пропорциональности α / 3 и разности кубов только высот h ₁ и h ₂ .

{\ displaystyle V = {\ frac {h_ {1} \ alpha h_ {1} ^ {2} -h_ {2} \ alpha h_ {2} ^ {2}} {3}} = {\ frac {\ alpha } {3}} (ч_ {1} ^ {3} -ч_ {2} ^ {3})}

Факторизуя разность двух кубов, a ³ - b ³ = (a - b) (a ² + ab + b ² ) , получаем h ₁ - h ₂ = h , высоту усеченной вершины и αч ₁² + ч ₁ч ₂ + ч ₂²/3.

Распределяя α и заменяя его определение, получают среднее значение Герона для областей B ₁ и B ₂ . Альтернативная формула поэтому

{\ displaystyle V = {\ frac {h} {3}} \ left (B_ {1} + {\ sqrt {B_ {1} B_ {2}}} + B_ {2} \ right)}

.

Герон Александрийский известен тем, что вывел эту формулу и встретил мнимую единицу , квадратный корень из отрицательной единицы. ^[4]

В частности, объем усеченного кругового конуса равен

{\ displaystyle V = {\ frac {\ pi h} {3}} \ left (r_ {1} ^ {2} + r_ {1} r_ {2} + r_ {2} ^ {2} \ right)}

где r ₁ , r ₂ - радиусы двух оснований.

Объем усеченной пирамиды, основания которой представляют собой n- сторонние правильные многоугольники, равен

{\ displaystyle V = {\ frac {nh} {12}} \ left (a_ {1} ^ {2} + a_ {1} a_ {2} + a_ {2} ^ {2} \ right) \ cot { \ frac {\ pi} {n}}}

где a ₁ и a ₂ - стороны двух оснований.

Площадь [ править ]

Коническая усеченная

3D модель усеченного конуса.

Для правой круговой конической усеченной кости ^[5]^[6]

{\begin{aligned}{\text{Lateral surface area}}&=\pi \left(r_{1}+r_{2}\right)s\\&=\pi \left(r_{1}+r_{2}\right){\sqrt {\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+h^{2}}}\end{aligned}}

а также

{\begin{aligned}{\text{Total surface area}}&=\pi \left(\left(r_{1}+r_{2}\right)s+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\right)\\&=\pi \left(\left(r_{1}+r_{2}\right){\sqrt {\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+h^{2}}}+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\right)\end{aligned}}

где r ₁ и r ₂ - базовый и верхний радиусы соответственно, а s - наклонная высота усеченного конуса.

Площадь поверхности правой усеченной кости, основания которой представляют собой подобные правильные n- сторонние многоугольники, равна

A={\frac {n}{4}}\left[\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}\right)\cot {\frac {\pi }{n}}+{\sqrt {\left(a_{1}^{2}-a_{2}^{2}\right)^{2}\sec ^{2}{\frac {\pi }{n}}+4h^{2}\left(a_{1}+a_{2}\right)^{2}}}\right]

где a ₁ и a ₂ - стороны двух оснований.

Примеры [ править ]

Шоколадные конфеты марки Rolo имеют форму правильного круглого конуса, но не плоские сверху.

На оборотной стороне (реверсе) однодолларовой банкноты Соединенных Штатов пирамидальная усеченная фигура изображена на реверсе Великой печати Соединенных Штатов , увенчанной Оком Провидения .
Зиккураты , ступенчатые пирамиды и некоторые древние курганы коренных американцев также образуют усеченную пирамиду с дополнительными функциями, такими как добавленные лестницы.
Китайские пирамиды .
Центр Джона Хэнкока в Чикаго , штат Иллинойс, представляет собой усеченную пирамиду, основания которой представляют собой прямоугольники.
Монумент Вашингтона узкий квадрат на основе пирамидальной усеченного увенчанный небольшой пирамиды.
Просмотр усеченный в 3D компьютерной графики может использоваться виртуальной Фото- и видеокамерами поля зрения моделируемого пирамидальным усеченным.
В английском переводе сборника рассказов Станислава Лема « Кибериада» стихотворение « Любовь и тензорная алгебра» утверждает, что «каждая усеченная пирамида стремится быть конусом».
Ведра и типичные абажуры - повседневные примеры усеченных конусов.
Питьевые стаканы и некоторые космические капсулы также являются некоторыми примерами.

См. Также [ править ]

Сферический усеченный

Заметки [ править ]

^ Термин «усеченная пирамида» происходит от латинского « frustum», что означает «кусок» или «крошка». Английское слово часто ошибочно пишется как frustrum , другое латинское слово, родственное английскому слову «фрустрат». ^[1] Путаница между этими двумя словами очень старая: предупреждение о них можно найти в Приложении Проби , а работы Плавта содержат каламбур. ^[2]

Ссылки [ править ]

^ Кларк, Джон Спенсер (1895), Руководство для учителей: Книги I-VIII .. Полный курс Пранга по изучению форм и рисованию, Книги 7-8 , Prang Educational Company, стр. 49.
^ Fontaine, Майкл (2010), Смешные слова в Plautine комедии , Oxford University Press, стр. 117, 154, ISBN 9780195341447.
^ Уильям Ф. Керн, Джеймс Р. Бланд, Твердое измерение с доказательствами , 1938, стр. 67
^ Нахин, Пол. Воображаемая сказка: история √ −1 . Издательство Принстонского университета. 1998 г.
^ "Mathwords.com: Frustum" . Проверено 17 июля 2011 года .
^ Аль-Саммаррайе, Ахмед Т .; Вафай, Камбиз (2017). «Увеличение теплоотдачи за счет углов схождения в трубе». Числовая теплопередача, Часть A: Приложения . 72 (3): 197-214. DOI : 10.1080 / 10407782.2017.1372670 . S2CID 125509773 .

Внешние ссылки [ править ]

Найдите усеченную пирамиду в Викисловаре, бесплатном словаре.

Викискладе есть медиафайлы по теме Frustums .

Вывод формулы объема усеченных пирамиды и конуса (Mathalino.com)
Вайсштейн, Эрик В. «Пирамидальная усеченная фигура» . MathWorld .
Вайсштейн, Эрик В. "Коническая усеченная фигура" . MathWorld .
Бумажные модели усеченных пирамид
Бумажная модель усеченного конуса (усеченного конуса)
Дизайнерские бумажные модели усеченных конусов (усеченных конусов)

[3] Термин «усеченная пирамида» происходит от латинского « frustum», что означает «кусок» или «крошка». Английское слово часто ошибочно пишется как frustrum , другое латинское слово, родственное английскому слову «фрустрат». ^[1] Путаница между этими двумя словами очень старая: предупреждение о них можно найти в Приложении Проби , а работы Плавта содержат каламбур. ^[2]

[1] Кларк, Джон Спенсер (1895), Руководство для учителей: Книги I-VIII .. Полный курс Пранга по изучению форм и рисованию, Книги 7-8 , Prang Educational Company, стр. 49.

[2] Fontaine, Майкл (2010), Смешные слова в Plautine комедии , Oxford University Press, стр. 117, 154, ISBN 9780195341447.

[4] Уильям Ф. Керн, Джеймс Р. Бланд, Твердое измерение с доказательствами , 1938, стр. 67

[5] Нахин, Пол. Воображаемая сказка: история √ −1 . Издательство Принстонского университета. 1998 г.

[6] "Mathwords.com: Frustum" . Проверено 17 июля 2011 года .

[7] Аль-Саммаррайе, Ахмед Т .; Вафай, Камбиз (2017). «Увеличение теплоотдачи за счет углов схождения в трубе». Числовая теплопередача, Часть A: Приложения . 72 (3): 197-214. DOI : 10.1080 / 10407782.2017.1372670 . S2CID 125509773 .

[а]