Спираль

Правая спираль (cos t , sin t , t ) от t = 0 до 4π со стрелками, показывающими направление увеличения t

Спирали ( / ч я л ɪ к с / ), множественное число спиралей или спиралей ( / ч ɛ л ɪ с я г / ), является формой , как штопор или спиральной лестницы. Это тип гладкой пространственной кривой с касательными линиями под постоянным углом к фиксированной оси. Спирали важны в биологии , так как молекула ДНК состоит из двух переплетенных спиралей , и многие белкиимеют спиральные субструктуры, известные как альфа-спирали . Слово спираль происходит от греческого слова ἕλιξ , «скрученный, изогнутый». ^[1] «Заливная» спираль - например, «спиральный» (винтовой) наклон - называется геликоидом . ^[2]

Типы [ править ]

Спирали могут быть правосторонними или левосторонними. Если при взгляде вдоль оси спирали вращательное движение по часовой стрелке перемещает спираль от наблюдателя, то это называется правой спиралью; если в сторону наблюдателя, то это левая спираль. Направленность (или хиральность ) - это свойство спирали, а не перспективы: правую спираль нельзя повернуть так, чтобы она выглядела как левосторонняя, если ее не рассматривать в зеркале, и наоборот.

Сравнение двух типов спиралей . Это показывает две хиральности спиралей. Один левша, а другой правша. В каждом ряду две спирали сравниваются с разных точек зрения. Хиральность - это свойство объекта, а не перспективы (угол обзора).

Большинство резьб аппаратных винтов имеют правую спираль. Альфа-спираль в биологии, а также формы A и B ДНК также являются правыми спиралями. Z форма ДНК левой рукой.

Шаг спирали является высота одного полного оборота спирали, измеренное параллельно оси спирали.

Двойная спираль состоит из двух (обычно конгруэнтных ) спиралей с одной и теми же осями, отличаясь при перемещении вдоль оси. ^[3]

Коническая спираль может быть определена как спираль на коническую поверхность, с расстоянием до вершины экспоненциальной функции угла , указывающего направление от оси. Примером являются американские горки Corkscrew в парке развлечений Cedar Point .

Круглая спираль, (т.е. один с радиусом постоянная) имеет постоянную полосу кривизну и постоянную кручению .

Кривая называется общей спиралью или цилиндрической спиралью ^[4], если ее касательная составляет постоянный угол с фиксированной линией в пространстве. Кривая является общей спиралью тогда и только тогда, когда отношение кривизны к кручению постоянно. ^[5]

Геометрический шаг - это расстояние, на которое элемент воздушного винта продвинулся бы за один оборот, если бы он двигался по спирали, имеющей угол, равный углу между хордой элемента и плоскостью, перпендикулярной оси воздушного винта.

Кривая называется наклонной спиралью, если ее главная нормаль образует постоянный угол с фиксированной линией в пространстве. ^[6] Его можно построить, применив преобразование к движущейся системе отсчета общей спирали. ^[7]

Некоторые кривые, встречающиеся в природе, состоят из множества спиралей разной направленности, соединенных вместе переходами, известными как извращения усиков .

Математическое описание [ править ]

Спираль, состоящая из синусоидальных компонентов x и y

В математике спираль - это кривая в трехмерном пространстве. Следующая параметризация в декартовых координатах определяет конкретную спираль; ^[8] возможно, простейшее уравнение для одного -

{\ Displaystyle х (т) = \ соз (т), \,}

{\ Displaystyle у (т) = \ грех (т), \,}

{\ Displaystyle г (т) = т. \,}

По мере увеличения параметра t точка ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) отслеживает правую спираль с шагом 2 π (или наклоном 1) и радиусом 1 вокруг оси z в правая система координат.

В цилиндрических координатах ( r , θ , h ) та же спираль параметризуется:

{\ Displaystyle г (т) = 1, \,}

{\ Displaystyle \ тета (т) = т, \,}

{\ Displaystyle ч (т) = т. \,}

Круговая спираль радиуса a и наклона b / a (или шага 2 πb ) описывается следующей параметризацией:

{\ Displaystyle х (т) = а \ соз (т), \,}

{\ Displaystyle у (т) = а \ грех (т), \,}

{\ Displaystyle г (т) = бт. \,}

Другой способ математического построения спирали - построить комплексную функцию e ^xi как функцию действительного числа x (см . Формулу Эйлера ). Значение x, а также действительная и мнимая части значения функции дают этому графику три реальных измерения.

За исключением вращений , перемещений и изменений масштаба, все правые спирали эквивалентны спирали, определенной выше. Эквивалентная левосторонняя спираль может быть построена несколькими способами, самый простой из которых - отрицать любой из компонентов x , y или z .

Длина дуги, кривизна и кручение [ править ]

Длина круговой спирали радиуса a и наклона b / a (или шага 2 πb ), выраженная в прямоугольных координатах как

{\ Displaystyle т \ mapsto (а \ соз т, а \ грех т, бт), т \ в [0, Т]}

равно , ее кривизна равна, а ее кручение равно . Спираль имеет постоянные ненулевые кривизну и кручение. ${\ Displaystyle Т \ cdot {\ sqrt {а ^ {2} + Ь ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {| a |} {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {b} {a ^ {2} + b ^ {2}}}.}$

Спираль - это вектор-функция

$\mathbf {r} =a\cos t\mathbf {i} +a\sin t\mathbf {j} +bt\mathbf {k}$

$\mathbf {v} =-a\sin t\mathbf {i} +a\cos t\mathbf {j} +b\mathbf {k}$

$\mathbf {a} =-a\cos t\mathbf {i} -a\sin t\mathbf {j} +0\mathbf {k}$

$|\mathbf {v} |={\sqrt {(-a\sin t)^{2}+(a\cos t)^{2}+b^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

$|\mathbf {a} |={\sqrt {(-a\sin t)^{2}+(a\cos t)^{2}}}=a$

$s(t)=\int _{0}^{t}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}d\tau ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}t$

Таким образом, спираль может быть изменена как функция , которая должна иметь единицу скорости: $s$

$\mathbf {r} (s)=a\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +a\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +{\frac {bs}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {k}$

Единичный касательный вектор равен

${\frac {d\mathbf {r} }{ds}}=\mathbf {T} ={\frac {-a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {k}$

Нормальный вектор

${\frac {d\mathbf {T} }{ds}}=\kappa \mathbf {N} ={\frac {-a}{a^{2}+b^{2}}}\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +{\frac {-a}{a^{2}+b^{2}}}\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k}$

Его кривизна равна . ${\bigg |}{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}{\bigg |}=\kappa ={\frac {|a|}{a^{2}+b^{2}}}$

Единичный вектор нормали равен

$\mathbf {N} =-\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} -\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k}$

Вектор бинормали равен

$\mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N} ={\frac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{\bigg [}b\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} -b\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +a\mathbf {k} {\bigg ]}$

${\frac {d\mathbf {B} }{ds}}={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}{\bigg [}b\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +b\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k} {\bigg ]}$

Его кручение есть . $\tau ={\bigg |}{\frac {d\mathbf {B} }{ds}}{\bigg |}={\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}$

Примеры [ править ]

В музыке , звуковая система часто моделируются с спиралями или двойными спиралями, чаще всего , выступающие из круга , такие как круг пятых , таким образом , чтобы представлять октаву эквивалентность .

Кристаллическая структура свернутой молекулярной спирали , описанная Lehn et al. в Helv. Чим. Acta. , 2003, 86, 1598–1624.
Естественная левосторонняя спираль, созданная вьющимся растением.
Заряженная частица в однородном магнитном поле движется по спиральной траектории
Винтовая пружина

См. Также [ править ]

Альфа-спираль
Спираль Бурдейка – Кокстера
Коллагеновая спираль
Спиральная симметрия
Спиральность
Угол наклона спирали
Hemihelix
Поверхность ракушки
Соленоид
Суперспираль
Тройная спираль

Ссылки [ править ]

^ ἕλιξ Архивировано 16 октября 2012 г. в Wayback Machine , Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Греко-английский лексикон , о Персее
^ Вайсштейн, Эрик В. "Геликоид" . MathWorld .
^ " Double Helix Archived 2008-04-30 в Wayback Machine " Шандор Кабай, Wolfram Demonstrations проект .
^ О'Нил, Б. Элементарная дифференциальная геометрия, 1961, стр.72.
^ О'Нил, Б. Элементарная дифференциальная геометрия, 1961, стр. 74
^ Идзумия, С. и Такеучи, Н. (2004) Новые специальные кривые и развертывающиеся поверхности. Turk J Math. Архивировано 4 марта 2016 г. в Wayback Machine , 28: 153–163.
^ Меннингер, Т. (2013), Явная параметризация аппарата Френе наклонной спирали . arXiv: 1302.3175 Архивировано 5 февраля 2018 г. на Wayback Machine .
^ Вайсштейн, Эрик В. "Helix" . MathWorld .

< https://www.merriam-webster.com/dictionary/geometrical%20pitch

[1] ἕλιξ Архивировано 16 октября 2012 г. в Wayback Machine , Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Греко-английский лексикон , о Персее

[2] Вайсштейн, Эрик В. "Геликоид" . MathWorld .

[3] " Double Helix Archived 2008-04-30 в Wayback Machine " Шандор Кабай, Wolfram Demonstrations проект .

[4] О'Нил, Б. Элементарная дифференциальная геометрия, 1961, стр.72.

[5] О'Нил, Б. Элементарная дифференциальная геометрия, 1961, стр. 74

[6] Идзумия, С. и Такеучи, Н. (2004) Новые специальные кривые и развертывающиеся поверхности. Turk J Math. Архивировано 4 марта 2016 г. в Wayback Machine , 28: 153–163.

[7] Меннингер, Т. (2013), Явная параметризация аппарата Френе наклонной спирали . arXiv: 1302.3175 Архивировано 5 февраля 2018 г. на Wayback Machine .

[8] Вайсштейн, Эрик В. "Helix" . MathWorld .

[1]