Перспективность

Эта статья может сбивать с толку или непонятна читателям . Помогите, пожалуйста, прояснить статью . Об этом идет речь в Обсуждении: перспектива § Вопрос . ( Май 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В геометрии и в его применении к чертежу , A перспективности является формирование изображения в картинной плоскости сцены смотреть с фиксированной точкой.

Графика [ править ]

Наука графической перспективы использует перспективность для создания реалистичных изображений с правильными пропорциями. По словам Кирсти Андерсен , первым автором, описавшим перспективность, был Леон Альберти в своей работе De Pictura (1435 г.). ^[1] На английском языке Брук Тейлор представил свою « Линейную перспективу» в 1715 году, где он объяснил: «Перспектива - это искусство рисования на плоскости любых фигур по правилам геометрии». ^[2] Во второй книге « Новые принципы линейной перспективы» (1719 г.) Тейлор писал:

Когда линии, проведенные в соответствии с определенным законом из нескольких частей любой фигуры, разрезают плоскость и этим разрезанием или пересечением описывают фигуру на этой плоскости, эта фигура, описанная таким образом, называется проекцией другой фигуры. Линии, образующие эту проекцию, вместе взятые, называются Системой лучей . И когда все эти Лучи проходят через одну и ту же Точку, их называют Конусом Лучей . И когда эта Точка рассматривается как Глаз наблюдателя, эта Система Лучей называется Оптическим Конусом ^[3]

Проективная геометрия [ править ]

Перспективность:
${\ displaystyle ABCD \ doublebarwedge A'B'C'D ',}$

В проективной геометрии точки прямой называются проективным диапазоном , а множество прямых на плоскости на точке называется пучком .

Даны две прямые и на плоскости и точка P этой плоскости ни на одной прямой, биективное отображение между точками диапазона и диапазона, определяемого линиями пучка на P , называется перспективностью (или, точнее, центральные перспективности с центром P ). ^[4] Был использован специальный символ, чтобы показать, что точки X и Y связаны перспективностью; В этих обозначениях, чтобы показать, что центром перспективы является P , напишите${\displaystyle \ell }$${\displaystyle m}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle m}$${\displaystyle X\doublebarwedge Y.}$${\displaystyle X\ {\overset {P}{\doublebarwedge }}\ Y.}$

Наличие перспективы означает, что соответствующие точки находятся в перспективе . Двойное понятие, осевая перспективность , является соответствием между линиями двух пучков , определяемых проективным диапазонем.

Проективность [ править ]

Сочетание двух перспектив - это вообще не перспектива. Перспективность или композиция двух или более перспектив называется проективностью ( проективное преобразование , проективная коллинеация и гомография - синонимы ).

Есть несколько результатов, касающихся проекций и перспективностей, которые справедливы в любой папповой проективной плоскости: ^[5]

Теорема: любая проективность между двумя различными проективными диапазонами может быть записана как композиция не более чем двух перспектив.

Теорема: любая проективность от проективного диапазона к самой себе может быть записана как композиция трех перспективностей.

Теорема: проекция между двумя различными проективными диапазонами, фиксирующая точку, является перспективностью.

Многомерные перспективы [ править ]

Биективное соответствие между точками на двух прямых на плоскости, определяемой точкой этой плоскости, не лежащей ни на одной прямой, имеет многомерные аналоги, которые также будут называться перспективностями.

Пусть S _m и T _m - два различных m -мерных проективных пространства, содержащихся в n -мерном проективном пространстве R _n . Пусть P _{n - m −1} - ( n  -  m  - 1) -мерное подпространство в R _n, не имеющее общих точек ни с S _m, ни с T _m . Для каждой точки X из S _m пространство L, натянутое на X и P _{n -m -1} пересекает T _m в точке Y = f _P ( X ) . Это соответствие f _P также называется перспективностью. ^[6] Описанная выше центральная перспектива имеет место при n = 2 и m = 1 .

Коллинеации перспективы [ править ]

Пусть S ₂ и T ₂ - две различные проективные плоскости в проективном 3-пространстве R ₃ . Поскольку O и O * не являются точками R ₃ ни в одной из плоскостей, используйте построение последней секции для проецирования S ₂ на T ₂ с помощью перспективы с центром O с последующей проекцией T ₂ обратно на S ₂ с перспективностью с центром О *. Эта композиция является биективным отображением точек S ₂на себя, который сохраняет коллинеарные точки и называется перспективной коллинеацией ( центральная коллинеация в более современной терминологии). ^[7] Пусть ф перспективный коллинеация S ₂ . Каждая точка линии пересечения S ₂ и T ₂ будет фиксироваться посредством φ, и эта линия называется осью φ. Пусть точка P пересечение линии OO * с плоскостью S ₂ . Р также фиксируется ф и каждая строка S ₂ , который проходит через Рстабилизируется по φ (фиксировано, но не обязательно поточечно фиксировано). P называется центром φ. Ограничение ф на любую линию S ₂ , не проходящие через Р является центральной перспективностью в S ₂ с центром P между этой линией и линией , которая является его образом при ф.

См. Также [ править ]

• Перспективная проекция

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Андерсен, Кирсти (1992), Работа Брука Тейлора о линейной перспективе , Springer, ISBN 0-387-97486-5
• Кокстер, Гарольд Скотт Макдональд (1969), Введение в геометрию (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50458-0, Руководство по ремонту  0123930
• Фишбэк, В. Т. (1969), проективная и евклидова геометрия , John Wiley & Sons
• Педо, Дэн (1988), Геометрия / Комплексный курс , Дувр, ISBN 0-486-65812-0
• Янг, Джон Уэсли (1930), проективная геометрия , The Carus Mathematical Monographs (# 4), Математическая ассоциация Америки

Внешние ссылки [ править ]

• Кристофер Купер Перспективы и перспективы .
• Джеймс К. Морхед младший (1911) Перспективная и проективная геометрии: сравнение от Университета Райса .
• Проективная геометрия Джона Тейлора из Брайтонского университета .