В математике теорема Паппа о шестиугольнике (приписываемая Паппу Александрийскому ) гласит, что
- учитывая один набор коллинеарных точек, и еще один набор коллинеарных точек , то точки пересечения из линейных пар а также а также а также являются коллинеарны , лежащей на линии хохолка . Эти три точки являются точками пересечения «противоположных» сторон шестиугольника..
Это верно в проективной плоскости над любым полем, но неверно для проективных плоскостей над любым некоммутативным телом . [1] Проективные плоскости, в которых «теорема» верна, называются папповыми плоскостями .
Если ограничить проективную плоскость так, что линия Паппа прямая на бесконечности, получается аффинная версия теоремы Паппа, показанная на второй диаграмме.
Если линия Паппа и линии есть общая точка зрения, получается так называемая маленькая версия теоремы Паппа. [2]
Двойственный эта частота теорема утверждает , что данные один набор параллельных линий , и еще один набор параллельных строк , то строки определяется парами точек, полученными в результате пар пересечений а также а также а также параллельны. ( Параллельный означает, что линии проходят через одну точку.)
Теорема Паппа является частным случаем теоремы Паскаля для коники - предельного случая, когда коника вырождается в 2 прямые. Теорема Паскаля, в свою очередь, является частным случаем теоремы Кэли – Бахараха .
Конфигурации Летучка является конфигурация из 9 строк и 9 точек , что происходит в теореме Паппа, в каждой строке заседание 3 точек и каждой точке встречи 3 линии. В целом линия Паппа не проходит через точку пересечения а также . [3] Эта конфигурация самодвойственная . Так как, в частности, строки иметь свойства линий двойственной теоремы и коллинеарность эквивалентно совпадению , двойственная теорема - это то же самое, что и сама теорема. Граф Леви конфигурации Паппа - это граф Паппа , двудольный дистанционно регулярный граф с 18 вершинами и 27 ребрами.
Доказательство: аффинная форма
Если аффинная форма утверждения может быть доказана, то проективная форма теоремы Паппа доказана, поскольку расширение папповой плоскости до проективной плоскости единственно.
Из-за параллельности в аффинной плоскости следует различать два случая: а также . Ключом к простому доказательству является возможность введения «подходящей» системы координат:
Случай 1: Линии пересекаться в точке .
В этом случае вводятся координаты такие, что (см. диаграмму). иметь координаты .
От параллельности линий один получает и параллельность линий дает . Следовательно, строка имеет наклон и параллельная линия .
Случай 2: (маленькая теорема).
В этом случае координаты выбираются так, чтобы. Из параллельности а также один получает а также соответственно и хотя бы параллельность .
Доказательство с однородными координатами
Выберите однородные координаты с помощью
- .
На линиях , данный возьми очки быть
для некоторых . Три линии находятся , поэтому они проходят через одну и ту же точку если и только если . Условие для трех линий а также с уравнениями пройти через ту же точку является . Таким образом, этот последний набор из трех строк является параллельным, если все остальные восемь наборов являются потому, что умножение коммутативно, поэтому. Эквивалентно, коллинеарны.
Приведенное выше доказательство также показывает, что для выполнения теоремы Паппа для проективного пространства над телом достаточно и необходимо, чтобы тело было (коммутативным) полем. Немецкий математик Герхард Хессенберг доказал, что из теоремы Паппа следует теорема Дезарга . [4] [5] В общем случае теорема Паппа верна для некоторой проективной плоскости тогда и только тогда, когда она является проективной плоскостью над коммутативным полем. Проективные плоскости, в которых теорема Паппа не выполняется, - это дезарговы проективные плоскости над некоммутативными телами и недезарговы плоскости .
Доказательство недействительно, если оказываются коллинеарными. В этом случае может быть предоставлено альтернативное доказательство, например, с использованием другой проективной ссылки.
Двойственная теорема
Из-за принцип двойственности для проективных плоскостей двойственной теоремы Паппа верно:
Если 6 строк выбираются поочередно из двух карандашей с центрами, линии
параллельны, это означает, что они имеют точку в общем.
Левая диаграмма показывает проективную версию, правая - аффинную версию, где точки- бесконечно удаленные точки. Если точка на кону чем получается «двойственная маленькая теорема» теоремы Паппа.
двойственная теорема: проективная форма
двойственная теорема: аффинная форма
Если в аффинной версии двойственной «малой теоремы» точка тоже точка на бесконечности, можно получить теорему Томсена , утверждение о 6 точках на сторонах треугольника (см. диаграмму). Фигура Томсена играет важную роль в координации аксиоматически определенной проективной плоскости. [6] Доказательство замыкания фигуры Томсена покрывается приведенным выше доказательством «маленькой теоремы». Но существует и простое прямое доказательство:
Поскольку в формулировке теоремы Томсена (замыкание рисунка) используются только термины соединять, пересекать и параллельно , это утверждение аффинно инвариантно, и можно ввести такие координаты, что(см. диаграмму справа). Отправной точкой последовательности аккордов является Нетрудно проверить координаты точек, приведенные на диаграмме, которая показывает: последняя точка совпадает с первой точкой.
Фигура Томсена (баллы треугольника ) как двойственную теорему малой теоремы Паппа ( тоже на бесконечности!).
Фигура Томсена: доказательство
Другие утверждения теоремы
В дополнение к приведенным выше характеристикам теоремы Паппа и двойственной к ней теоремы эквивалентны следующие утверждения:
- Если шесть вершин шестиугольника лежат попеременно на двух прямых, то три точки пересечения пар противоположных сторон лежат на одной прямой. [7]
- Расположенный в матрице из девяти точек (как на рисунке и в описании выше) и рассматриваемый как оценка перманента , если первые две строки и шесть «диагональных» триад коллинеарны, то третья строка коллинеарна.
- То есть, если являются прямыми, то теорема Паппа утверждает, что должна быть линия. Также обратите внимание, что та же матричная формулировка применяется к двойственной форме теоремы, когда и т. д. представляют собой тройки параллельных строк. [8]
- Учитывая три различные точки на каждой из двух различных линий, соедините каждую точку на одной из линий с точкой на другой линии, тогда соединения непарных точек будут встречаться (противоположными) парами в точках вдоль линии. [9]
- Если два треугольника имеют перспективу по крайней мере с двух разных точек зрения, то они перспективны с трех сторон. [4]
- Если а также параллельны и а также параллельны, то а также параллельны. [8]
Происхождение
В своей самой ранней известной форме теорема Паппа - это предложения 138, 139, 141 и 143 книги VII собрания Паппа . [10] Это леммы XII, XIII, XV и XVII в части книги VII, состоящей из лемм к первой из трех книг « Поризмов» Евклида .
Леммы доказываются в терминах того, что сегодня известно как перекрестное отношение четырех коллинеарных точек. Используются три предыдущие леммы. Первая из них, лемма III, имеет приведенную ниже диаграмму (в которой используются буквы Паппа: G для Γ, D для Δ, J для и L для Λ).
Здесь три параллельные прямые AB, AG и AD пересекаются двумя линиями JB и JE, которые пересекаются в J. Также KL проводится параллельно AZ. потом
- KJ: JL :: (KJ: AG и AG: JL) :: (JD: GD и BG: JB).
Сегодня эти пропорции можно записать в виде уравнений: [11]
- KJ / JL = (KJ / AG) (AG / JL) = (JD / GD) (BG / JB).
Последнее сложное соотношение (а именно JD: GD и BG: JB) - это то, что сегодня известно как перекрестное отношение коллинеарных точек J, G, D и B в указанном порядке; сегодня он обозначается (J, G; D, B). Итак, мы показали, что это не зависит от выбора конкретной прямой JD, которая пересекает три прямые, совпадающие в точке A. В частности
- (J, G; D, B) = (J, Z; H, E).
Неважно, с какой стороны от A падает прямая JE. В частности, ситуация может быть такой, как на следующей диаграмме, которая является диаграммой для леммы X.
Как и раньше, имеем (J, G; D, B) = (J, Z; H, E). Папп не доказывает это явно; но лемма X обратная, а именно, что если эти два поперечных отношения одинаковы и прямые BE и DH пересекаются в A, то точки G, A и Z должны быть коллинеарны.
То, что мы показали изначально, можно записать как (J, ∞; K, L) = (J, G; D, B), где ∞ занимает место (несуществующего) пересечения JK и AG. Папп показывает это в лемме XI, диаграмма которой, однако, имеет другие буквы:
Папп показывает DE.ZH: EZ.HD :: GB: BE, которое мы можем записать как
- (D, Z; E, H) = (∞, B; E, G).
Диаграмма леммы XII такова:
Схема для леммы XIII такая же, но расширенные BA и DG пересекаются в N. В любом случае, если считать прямые, проходящие через G, разрезанными тремя прямыми, проходящими через A, (и принимая, что уравнения взаимных отношений остаются в силе после перестановка элементов,) по лемме III или XI
- (G, J; E, H) = (G, D; ∞ Z).
Рассматривая прямые, проходящие через D, разрезанные тремя прямыми, проходящими через B, мы имеем
- (L, D; E, K) = (G, D; ∞ Z).
Таким образом, (E, H; J, G) = (E, K; D, L), поэтому по лемме X точки H, M и K лежат на одной прямой. То есть точки пересечения пар противоположных сторон шестиугольника ADEGBZ лежат на одной прямой.
Леммы XV и XVII заключаются в том, что если точка M определяется как пересечение HK и BG, то точки A, M и D лежат на одной прямой. То есть точки пересечения пар противоположных сторон шестиугольника БЕКХЗГ лежат на одной прямой.
Заметки
- ^ Косетер, стр. 236-7
- ^ Rolf Lingenberg: Grundlagen дер Geometrie , BI-Taschenbuch, 1969, стр. 93
- ^ Однако это происходит, когда а также в перспективе , то есть а также параллельны.
- ^ а б Кокстер 1969 , стр. 238
- ^ Согласно ( Дембовски 1968 , стр. 159, сноска 1), первоначальное доказательство Гессенберга Hessenberg (1905) не является полным; он проигнорировал возможность того, что в конфигурации Дезарга могли произойти некоторые дополнительные инциденты. Полное доказательство обеспечивается Cronheim 1953 .
- ^ В. Бляшке: Projektive Geometrie , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3034869320 , С. 190
- ^ Кокстер, стр. 231
- ^ a b Кокстер, стр. 233
- ^ Whicher, глава 14
- ^ Хит (Том II, стр. 421) цитирует эти предложения. Последние два можно понимать как противоположность первых двух. Клайн (стр. 128) цитирует только предложение 139. Нумерация предложений такая, как определено Хульчем.
- ^ Причина использования приведенных выше обозначений заключается в том, что для древних греков соотношение - это не число или геометрический объект. Сегодня мы можем думать о соотношении как о классе эквивалентности пар геометрических объектов. Кроме того, равенство для греков - это то, что мы сегодня можем назвать конгруэнтностью. В частности, отдельные линейные сегменты могут быть одинаковыми. В этом смыслесоотношения не равны ; но они могут быть одинаковыми.
Рекомендации
- Кокстер, Гарольд Скотт Макдональд (1969), Введение в геометрию (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50458-0, Руководство по ремонту 0123930
- Cronheim, A. (1953), "Доказательство теоремы Хессенберга в", Труды Американского математического общества , 4 (2): 219-221, DOI : 10,2307 / 2031794 , JSTOR 2031794
- Дембовский, Питер (1968), Конечная геометрия , Берлин: Springer Verlag
- Хит, Томас (1981) [1921], История греческой математики , Нью-Йорк: Дувр
- Хессенбергова, Gerhard (1905), "Beweis де Desarguesschen Satzes AUS DEM Pascalschen", Mathematische Annalen , Berlin / Heidelberg: Springer, 61 (2): 161-172, DOI : 10.1007 / BF01457558 , ISSN 1432-1807
- Hultsch, Fridericus (1877), Pappi Alexandrini Collectionis Quae Supersunt , Берлин
- Клайн, Моррис (1972), Математическая мысль от древних до наших дней , Нью-Йорк: Oxford University Press
- Памбуччиан, Виктор; Шахт, Селия (2019), «Аксиоматическая судьба теорем Паппа и Дезарга», в Dani, SG; Пападопулос А. (ред.), Геометрия в истории , Springer, стр. 355–399, ISBN 978-3-030-13611-6
- Whicher, Olive (1971), проективная геометрия , Rudolph Steiner Press, ISBN 0-85440-245-4
Внешние ссылки
- Теорема Паппа о шестиугольнике в разрубании узла
- Двойственный к теореме Паппа о шестиугольнике при разрубании узла
- Теорема Паппа: девять доказательств и три варианта