Теорема Дезарга
Обозначим три вершины одного треугольника через a , b и c , а вершины другого через A , B и C. Осевая перспектива означает, что прямые ab и AB пересекаются в одной точке, прямые ac и AC пересекаются во второй точке, а прямые bc и BC пересекаются в третьей точке, и что все эти три точки лежат на общей линии, называемой осью перспективы. . Центральная перспектива означает, что три линии Аа ,Bb и Cc совпадают в точке, называемойцентром перспективы.
Эта теорема о пересечении верна на обычной евклидовой плоскости, но в исключительных случаях необходимо соблюдать особую осторожность, например, когда пара сторон параллельна, так что их «точка пересечения» уходит в бесконечность. Обычно, чтобы устранить эти исключения, математики «завершают» евклидову плоскость, добавляя точки на бесконечности, следуя Жану-Виктору Понселе . Это приводит к проективной плоскости .
Теорема Дезарга верна для реальной проективной плоскости и для любого проективного пространства, определяемого арифметически из поля или тела ; которое включает любое проективное пространство размерности больше двух или в котором выполняется теорема Паппа . Однако существует множество « недезарговских плоскостей », в которых теорема Дезарга неверна.
Дезарг никогда не публиковал эту теорему, но она появилась в приложении, озаглавленном « Универсальный метод М. Дезарга для использования перспективы» ( Manière Universelle de M. Desargues pour practiquer la перспектива ) к практической книге по использованию перспективы, опубликованной в 1648 году. [1] его другом и учеником Авраамом Боссе (1602–1676). [2]
Важность теоремы Дезарга в абстрактной проективной геометрии обусловлена, в частности, тем фактом, что проективное пространство удовлетворяет этой теореме тогда и только тогда, когда оно изоморфно проективному пространству, определенному над полем или телом.
В аффинном пространстве , таком как евклидова плоскость , аналогичное утверждение верно, но только если перечислить различные исключения, связанные с параллельными линиями. Таким образом, теорема Дезарга является одной из простейших геометрических теорем, естественным домом которой является проективное, а не аффинное пространство.
