Теорема о пересечении

В проективной геометрии , теорема пересечения или частота теоремы является утверждением о в инцидентности структуру - состоящую из точек, линий, и , возможно , многомерных объектов и их числа случаев - вместе с парой объектов $А$ и $В$ (например, точке и линия). « Теорема » утверждает, что всякий раз, когда набор объектов удовлетворяет инцидентности ( т.е. может быть идентифицирован с объектами структуры инцидентности таким образом, что инцидентность сохраняется), тогда объекты $A$ и $B$ тоже должно быть инцидентом. Теорема о пересечении не обязательно верна во всех проективных геометриях; это свойство, которому удовлетворяют одни геометрии, а другие нет.

Например, теорема Дезарга может быть сформулирована с использованием следующей структуры инцидентности:

Точки: ${\ displaystyle \ {A, B, C, a, b, c, P, Q, R, O \}}$
Линии: ${\ displaystyle \ {AB, AC, BC, ab, ac, bc, Aa, Bb, Cc, PQ \}}$
Случаи (помимо очевидных, таких как ): ${\ displaystyle (A, AB)}$ ${\ Displaystyle \ {(O, Aa), (O, Bb), (O, Cc), (P, BC), (P, bc), (Q, AC), (Q, ac), (R, AB), (R, ab) \}}$

Тогда подразумевается, что точка $R$ инцидентна прямой $PQ$ . ${\ displaystyle (R, PQ)}$

Известные примеры [ править ]

Дезарг теорема выполняется в проективной плоскости $P$ тогда и только тогда , когда $P$ есть проективная плоскость над некоторым телом (skewfield} $D$ - . Проективная плоскость тогда называется Дезаргово . Теорема Амицура и Бергман гласит , что в контексте дезарговы проективные плоскости, для каждой теоремы о пересечении существует такое рациональное тождество , что плоскость $P$ удовлетворяет теореме о пересечении тогда и только тогда, когда тело $D$ удовлетворяет рациональному тождеству. ${\ Displaystyle P = \ mathbb {P} _ {2} D}$

Теорема Паппа о шестиугольнике верна в дезарговой проективной плоскости тогда и только тогда, когда $D$ - поле ; это соответствует тождеству . ${\ Displaystyle \ mathbb {P} _ {2} D}$ ${\ displaystyle \ forall a, b \ in D, \ quad a \ cdot b = b \ cdot a}$
Аксиома Фано (которая утверждает, что определенного пересечения не происходит) верна в том и только в том случае, если $D$ имеет характеристику ; ему соответствует тождество $a$ $+$ $a$ $= 0$ . ${\ Displaystyle \ mathbb {P} _ {2} D}$ ${\ displaystyle \ neq 2}$

Ссылки [ править ]

Роуэн, Луи Галле, изд. (1980). Полиномиальные тождества в теории колец . Чистая и прикладная математика. 84 . Академическая пресса. DOI : 10.1016 / s0079-8169 (08) x6032-5 . ISBN 9780125998505.
Амицур, С.А. (1966). «Рациональные тождества и приложения к алгебре и геометрии». Журнал алгебры . 3 (3): 304–359. DOI : 10.1016 / 0021-8693 (66) 90004-4 .