Гомологические гипотезы коммутативной алгебры

В математике , гомологичные домыслы были в центре внимания научно - исследовательской деятельности в коммутативной алгебре с начала 1960 - х годов. Они касаются ряда взаимосвязанных (иногда неожиданно) гипотез, связывающих различные гомологические свойства коммутативного кольца с его внутренней кольцевой структурой, особенно с его размерностью Крулля и глубиной .

Следующий список, данный Мелвином Хохстером , считается окончательным для этой области. В дальнейшем, и относятся к нётеровым коммутативным кольцам ; будет локальным кольцом с максимальным идеалом , и - конечно порожденные -модули.${\ displaystyle A, R}$${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle m_ {R}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle R}$

1. Теорема о делителе нуля. Если имеет конечную проективную размерность и не является делителем нуля на , то не является делителем нуля на .${\ displaystyle M \ neq 0}$${\ displaystyle r \ in R}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle R}$
2. Вопрос Басса. Если имеет конечную инъективную резольвенту, то является кольцом Коэна – Маколея .${\ displaystyle M \ neq 0}$${\ displaystyle R}$
3. Теорема о пересечении. Если имеет конечную длину, то размерность Крулля из N (т.е. размерности R по модулю аннуляторные из N ) является самым большим проективным измерением из М .${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N \ neq 0}$
4. Новая теорема о пересечении. Пусть обозначает конечный комплекс свободных R - модулей таким образом, что имеет конечную длину , но не 0. Тогда (Крулль) .${\ Displaystyle 0 \ к G_ {n} \ к \ cdots \ к G_ {0} \ to 0}$${\displaystyle \bigoplus \nolimits _{i}H_{i}(G_{\bullet })}$${\displaystyle \dim R\leq n}$
5. Усовершенствованная гипотеза о новом пересечении. Пусть обозначает конечный комплекс свободных R - модулей таким образом, что имеет конечную длину и имеет минимальный генератор , который погибает от степени максимального идеала R . Тогда .${\displaystyle 0\to G_{n}\to \cdots \to G_{0}\to 0}$${\displaystyle H_{i}(G_{\bullet })}$${\displaystyle i>0}$${\displaystyle H_{0}(G_{\bullet })}$${\displaystyle \dim R\leq n}$
6. Гипотеза прямого слагаемого. Если является модульно-конечным кольцевым расширением с регулярным R (здесь R не обязательно должен быть локальным, но проблема сразу сводится к локальному случаю), то R является прямым слагаемым в S как R -модуль. Гипотеза была доказана Ивом Андре с помощью теории перфектоидных пространств . ^[1]${\displaystyle R\subseteq S}$
7. Гипотеза о каноническом элементе. Пусть быть система параметров для R , пусть быть свободным R -Разрешение из поля вычетов из R с , и пусть Обозначим Кошуля комплекс из R относительно . Поднимите карту идентичности на карту комплексов. Тогда независимо от того, какая система параметров выбрана или лифтинг, последняя карта не равна 0.${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{d}}$${\displaystyle F_{\bullet }}$${\displaystyle F_{0}=R}$${\displaystyle K_{\bullet }}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{d}}$${\displaystyle R=K_{0}\to F_{0}=R}$${\displaystyle R=K_{d}\to F_{d}}$
8. Гипотеза о существовании сбалансированных больших модулей Коэна – Маколея. Там существует (не обязательно конечно порожденный) R - модуль W таким образом, что м _R Вт ≠ Вт и каждая система параметров для R является регулярная последовательность на W .
9. Гипотеза Коэна-Маколея о прямых слагаемых. Если R - прямое слагаемое регулярного кольца S как R -модуля, то R - Коэна – Маколея ( R не обязательно должен быть локальным, но результат сразу сводится к случаю, когда R локально).
10. Гипотеза об исчезновении карт Tor. Пусть - гомоморфизмы, где R не обязательно локально (однако можно свести к этому случаю), с регулярными A, S и конечно порожденным R как A -модуль. Пусть W - любой A -модуль. Тогда карта равна нулю для всех .${\displaystyle A\subseteq R\to S}$${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{A}(W,R)\to \operatorname {Tor} _{i}^{A}(W,S)}$${\displaystyle i\geq 1}$
11. Сильная гипотеза прямого слагаемого. Пусть - карта полных локальных областей, и пусть Q - лежащий над ним простой идеал высоты S , где R и оба регулярны. Тогда является прямым слагаемым из Q рассматривать как R - модули.${\displaystyle R\subseteq S}$${\displaystyle xR}$${\displaystyle R/xR}$${\displaystyle xR}$
12. Гипотеза о существовании слабо функциональной большой алгебры Коэна-Маколея. Пусть - локальный гомоморфизм полных локальных областей. Тогда существует R -алгебра B _R, которая является сбалансированной большой алгеброй Коэна – Маколея для R , S -алгебра, которая является сбалансированной большой алгеброй Коэна-Маколея для S , и гомоморфизм B _R → B _S такой, что естественный квадрат заданные этими картами коммутирует.${\displaystyle R\to S}$${\displaystyle B_{S}}$
13. Гипотеза Серра о кратностях. (ср . гипотезы Серра о множественности . ) Предположим, что R регулярна размерности d и имеет конечную длину. Тогда , определяемая как чередующаяся сумма длин модулей, равна 0, если , и положительна, если сумма равна d . (NB Жан-Пьер Серр доказал, что сумма не может превышать d .)${\displaystyle M\otimes _{R}N}$${\displaystyle \chi (M,N)}$${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,N)}$${\displaystyle \dim M+\dim N<d}$
14. Гипотеза о малых модулях Коэна – Маколея. Если R является полным, то существует конечно порожденный R - модуля таким образом, что некоторая ( что эквивалентно каждому) система параметров для R является регулярной последовательностью на М .${\displaystyle M\neq 0}$

Ссылки [ править ]

• Гомологические гипотезы, старые и новые , Мелвин Хохстер , Иллинойсский журнал математики, том 51, номер 1 (2007), 151–169.
• О гипотезе прямого слагаемого и ее производном варианте Бхаргав Бхатт.