Проективный модуль

В математике , в частности , в алгебре , то класс из проекционных модулей расширяет класс свободных модулей (то есть, модули с базисными векторами ) над кольцом , сохраняя некоторые из основных свойств свободных модулей. Ниже приведены различные эквивалентные характеристики этих модулей.

Каждый свободный модуль является проективным модулем, но обратное неверно для некоторых колец, таких как кольца Дедекинда , которые не являются областями главных идеалов . Однако каждый проективный модуль является свободным модулем, если кольцо является областью главных идеалов, такой как целые числа , или кольцом многочленов (это теорема Квиллена – Суслина ).

Проективные модули были впервые представлены в 1956 году во влиятельной книге « Гомологическая алгебра » Анри Картана и Самуэля Эйленберга .

Определения [ править ]

Подъемное имущество [ править ]

Обычное теоретико-категориальное определение основывается на свойстве подъема, которое переносится со свободных модулей на проективные: модуль P проективен тогда и только тогда, когда для любого сюръективного гомоморфизма модулей f  : N ↠ M и любого гомоморфизма модулей g  : P → M существует гомоморфизм модулей h  : P → N такой, что f  h = g . (Мы не требуем, чтобы гомоморфизм подъема h был единственным; это не универсальное свойство.)

Преимущество этого определения «проективного» состоит в том, что его можно применять в категориях более общих, чем категории модулей: нам не нужно понятие «свободный объект». Он также может быть дуализирован, что приводит к инъективным модулям . Свойство подъема также можно перефразировать как каждый морфизм из в факторы через каждый эпиморфизм в${\ displaystyle P}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$ . Таким образом, по определению проективные модули - это в точности проективные объекты в категории R -модулей.

Точные последовательности [ править ]

Модуль P проективен тогда и только тогда, когда каждая короткая точная последовательность модулей вида

${\ displaystyle 0 \ rightarrow A \ rightarrow B \ rightarrow P \ rightarrow 0}$

представляет собой последовательность с точностью до разбивки . То есть, для каждого модуля сюръективного гомоморфизма F  : В ↠ Р существует раздел карты , то есть, модуль гомоморфизм ч  : Р → В таким образом, что е  ч = идентификатор _Р . В этом случае, ч ( Р ) является прямым слагаемым из B , ч является изоморфизмом от Р до ч ( Р ) , и ч  е являетсяпроекция на слагаемое h ( P ) . Эквивалентно,

${\ displaystyle B = \ operatorname {Im} (h) \ oplus \ operatorname {Ker} (f) \ \ {\ text {where}} \ operatorname {Ker} (f) \ cong A \ {\ text {and} } \ operatorname {Im} (h) \ cong P.}$

Прямые слагаемые бесплатных модулей [ править ]

Модуль Р проективен тогда и только тогда , когда существует еще один модуль Q таким образом, что прямая сумма из P и Q является свободным модулем.

Точность [ править ]

R - модуль P проективен тогда и только тогда , когда ковариантный функтор Hom ( Р , - ): R - Mod → Ab является точным функтором , где R - Mod является категорией левых R - модулей и Ab является категорией абелева группы . Когда кольцо R коммутативно, Ab предпочтительно заменяется на R -Mod в предыдущем описании. Этот функтор всегда остается точным, но когда Pпроективен, он также точен справа. Это означает, что P проективен тогда и только тогда, когда этот функтор сохраняет эпиморфизмы (сюръективные гомоморфизмы) или если он сохраняет конечные копределы.

Двойная основа [ править ]

Модуль P является проективным тогда и только тогда, когда существуют набор и набор, такие что для каждого x в P , f _i ( x ) отличен от нуля только для конечного числа i , и .${\ displaystyle \ {a_ {i} \ in P \ mid i \ in I \}}$${\ displaystyle \ {f_ {i} \ in \ mathrm {Hom} (P, R) \ mid i \ in I \}}$${\ Displaystyle х = \ сумма f_ {я} (х) а_ {я}}$

Элементарные примеры и свойства [ править ]

Следующие свойства проективных модулей быстро выводятся из любого из приведенных выше (эквивалентных) определений проективных модулей:

• Прямые суммы и прямые слагаемые проективных модулей проективны.
• Если е = е ² является идемпотентной в кольце R , то Re является проективным левым модулем над R .

Связь с другими теоретико-модульными свойствами [ править ]

Связь проективных модулей со свободными и плоскими модулями представлена ​​в следующей диаграмме свойств модуля:

Импликации слева направо верны для любого кольца, хотя некоторые авторы определяют модули без кручения только над областью. Импликации справа налево верны для колец, маркирующих их. Могут быть и другие кольца, по которым они верны. Например, импликация, обозначенная как «локальное кольцо или PID», также верна для колец многочленов над полем: это теорема Квиллена – Суслина .

Проективные и бесплатные модули [ править ]

Любой свободный модуль проективен. Обратное верно в следующих случаях:

• если R - поле или тело : в этом случае любой модуль свободен.
• если кольцо R - область главных идеалов . Например, это относится к R = Z ( целым числам ), поэтому абелева группа проективна тогда и только тогда, когда она является свободной абелевой группой . Причина в том, что любой подмодуль свободного модуля над областью главных идеалов свободен.
• если кольцо R - локальное кольцо . Этот факт лежит в основе интуиции «локально свободный = проективный». Этот факт легко доказать для конечно порожденных проективных модулей. В основном это связано с Капланским (1958) ; см . теорему Капланского о проективных модулях .

В общем, проективные модули не обязательно должны быть бесплатными:

• Над прямым произведением колец R × S, где R и S ненулевые кольца, и R × 0, и 0 × S являются несвободными проективными модулями.
• В области Дедекинда неглавный идеал всегда является проективным модулем, который не является свободным модулем.
• Над кольцом матриц M _n ( R ) естественный модуль R ⁿ проективен, но не свободен. В более общем плане , над любым полупростым кольцом , каждый модуль является проективным, но нулевой идеалом и само кольцо являются только свободными идеалами.

Различие между свободными и проективными модулями в некотором смысле измеряется группой алгебраической K -теории K ₀ ( R ), см. Ниже.

Проективные и плоские модули [ править ]

Каждый проективный модуль плоский . ^[1] Обратное, вообще говоря, неверно: абелева группа Q является Z -модулем, который является плоским, но не проективным. ^[2]

Наоборот, конечно связанный плоский модуль проективен. ^[3]

Говоры (1965) и Лазар (1969) доказал , что модуль М является плоским , если и только если она является прямым пределом из конечно-порожденных свободных модулей .

В общем, точное соотношение между плоскостностью и проективностью было установлено Рейно и Грусоном (1971) (см. Также Дринфельд (2006) и Браунлинг, Гроехениг и Вольфсон (2016) ), которые показали, что модуль M проективен тогда и только тогда, когда он удовлетворяет следующие условия:

• М ровная,
• M - прямая сумма счетно порожденных модулей,
• M удовлетворяет определенному условию типа Миттаг-Леффлера.

Категория проективных модулей [ править ]

Подмодули проективных модулей не обязательно должны быть проективными; кольцо R, для которого каждый подмодуль проективного левого модуля проективен, называется наследственным слева .

Факторы проективных модулей также не обязательно должны быть проективными, например Z / n является частным Z , но не без кручения, следовательно, не плоский и, следовательно, не проективный.

Категория конечно порожденных проективных модулей над кольцом является точной категорией . (См. Также алгебраическую K-теорию ).

Проективные разрешения [ править ]

Учитывая модуль, M , A проективного разрешения на М является бесконечной точной последовательностью модулей

··· → P _n → ··· → P ₂ → P ₁ → P ₀ → M → 0,

со всеми проективными P _i . Каждый модуль обладает проективной резольвентой. Фактически существует свободное разрешение (разрешение бесплатными модулями ). Точная последовательность проективных модулей иногда может быть сокращена до P ( M ) → M → 0 или P _• → M → 0 . Классический пример проективного разрешения задаются Кошуля комплекс из регулярной последовательности , которая является свободным разрешением идеала , порожденной последовательностью.

Длина конечного разрешения является индексом п такое , что Р _п равно нулю , а Р _я = 0 для I больше , чем п . Если M допускает конечную проективную резольвенту, минимальная длина среди всех конечных проективных резольвент M называется его проективной размерностью и обозначается pd ( M ). Если M не допускает конечной проективной резольвенты, то по соглашению проективная размерность называется бесконечной. В качестве примера рассмотрим модуль M такой, что pd ( M ) = 0. В этой ситуации точность последовательности 0 → P ₀ → M → 0 означает, что стрелка в центре является изоморфизмом, а значит, сама M проективна.

Проективные модули над коммутативными кольцами [ править ]

Проективные модули над коммутативными кольцами обладают хорошими свойствами.

Локализация проективного модуля является проективным модулем над локализованным кольцом. Проективный модуль над локальным кольцом свободен. Таким образом, проективный модуль локально свободен (в том смысле, что его локализация в каждом первичном идеале свободна над соответствующей локализацией кольца).

Обратное верно для конечно порожденных модулей над нётеровыми кольцами : конечно порождённый модуль над коммутативным нётеровым кольцом локально свободен тогда и только тогда, когда он проективен.

Однако есть примеры конечно порожденных модулей над нётеровым кольцом, которые локально свободны и не проективны. Например, булево кольцо имеет все его локализации, изоморфные F ₂ , полю из двух элементов, поэтому любой модуль над булевым кольцом локально свободен, но есть некоторые непроективные модули над булевыми кольцами. Одним из примеров является R / I , где R представляет собой прямое произведение счетного числа копий F ₂ и Я есть прямая сумма счетного числа копий F ₂ внутри R . R - модуль R /I локально свободен, поскольку R является булевым (и он конечно порожден как R -модуль с остовным множеством размера 1), но R / I не является проективным, поскольку I не является главным идеалом. (Если фактор-модуль R / I для любого коммутативного кольца R и идеала I является проективным R -модулем, то I является главным.)

Однако верно, что для конечно представленных модулей M над коммутативным кольцом R (в частности, если M - конечно порожденный R -модуль и R нётеров) следующие утверждения эквивалентны. ^[4]

1. ${\ displaystyle M}$ плоский.
2. ${\ displaystyle M}$ проективно.
3. ${\ displaystyle M _ {\ mathfrak {m}}}$свободен как -модуль для любого максимального идеала из R .${\ displaystyle R _ {\ mathfrak {m}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$
4. ${\ Displaystyle М _ {\ mathfrak {p}}}$свободен как -модуль для любого простого идеала из R .${\ Displaystyle R _ {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$
5. Существуют такие порождающие единичный идеал, который свободен как -модуль для каждого i .${\ displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {n} \ in R}$${\displaystyle M[f_{i}^{-1}]}$${\displaystyle R[f_{i}^{-1}]}$
6. ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$является локально свободным пучком на (где - связанный с M пучок ).${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$${\displaystyle {\widetilde {M}}}$

Более того, если R - нётерова область целостности, то по лемме Накаямы эти условия эквивалентны

• Размерность -векторного пространства является одинаковой для всех простых идеалов из R, где представляет собой остаток поле в . ^[5] То есть M имеет постоянный ранг (как определено ниже).${\displaystyle k({\mathfrak {p}})}$${\displaystyle M\otimes _{R}k({\mathfrak {p}})}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle k({\mathfrak {p}})}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Пусть A - коммутативное кольцо. Если B является (возможно , некоммутативным) алгебра , что конечно порожденным проективным - модуля , содержащим А в качестве подкольца, то является прямым фактором B . ^[6]

Ранг [ править ]

Пусть Р конечно порожденный проективный модуль над коммутативным кольцом R и Х является спектр из R . Ранг из P на простой идеал в X есть ранг свободного -модуль . Это локально постоянная функция на X . В частности, если X связно (то есть, если R не имеет других идемпотентов, кроме 0 и 1), то P имеет постоянный ранг.${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle P_{\mathfrak {p}}}$

Векторные пакеты и локально бесплатные модули [ править ]

Основная мотивация теории состоит в том, что проективные модули (по крайней мере, над некоторыми коммутативными кольцами) являются аналогами векторных расслоений . Это можно уточнить для кольца непрерывных вещественнозначных функций на компактном хаусдорфовом пространстве , а также для кольца гладких функций на гладком многообразии (см. Теорему Серра – Свана, в которой говорится о конечно порожденном проективном модуле над пространством гладкие функции на компактном многообразии - это пространство гладких сечений гладкого векторного расслоения).

Векторные пучки локально бесплатны . Если есть какое-то понятие «локализация», которое может быть перенесено на модули, например обычная локализация кольца , можно определить локально свободные модули, и тогда проективные модули обычно совпадают с локально свободными модулями.

Проективные модули над кольцом многочленов [ править ]

Теорема Квиллена – Суслина , которая решает проблему Серра, является еще одним глубоким результатом : если K - поле или, в более общем смысле, область главных идеалов , а R = K [ X ₁ , ..., X _n ] - кольцо многочленов над K , то всякий проективный модуль над R свободен. Эта проблема была впервые поднята Серром с К.поле (и конечно порожденные модули). Басс решил это для неконечно порожденных модулей, а Квиллен и Суслин независимо друг от друга и одновременно рассмотрели случай конечно порожденных модулей.

Поскольку каждый проективный модуль над областью главных идеалов свободен, можно задать следующий вопрос: если R - коммутативное кольцо такое, что каждый (конечно порожденный) проективный R -модуль свободен, то является ли каждый (конечно порожденный) проективным R [ X ] -модуль бесплатный? Ответ отрицательный . Встречается контрпример, когда R равно локальному кольцу кривой y ² = x ³ в начале координат. Таким образом, теорема Квиллена-Суслина никогда не могла быть доказана простой индукцией по числу переменных.

См. Также [ править ]

В Коммутативной алгебре Викибука есть страница по темам: Модули без кручения, плоские, проективные и свободные модули.

• Проективное покрытие
• Лемма Шануэля
• Теорема подавления басов
• Теория модульного представления

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Уильям А. Адкинс; Стивен Х. Вайнтрауб (1992). Алгебра: подход через теорию модулей . Springer. Раздел 3.5.
• Иэн Т. Адамсон (1972). Элементарные кольца и модули . Университетские математические тексты. Оливер и Бойд. ISBN 0-05-002192-3.
• Николя Бурбаки , Коммутативная алгебра, гл. II, §5
• Браунлинг, Оливер; Groechenig, Майкл; Вольфсон, Джесси (2016), «Объекты Тейт в точных категориях», Моск. Математика. J. , 16 (3), Arxiv : 1402.4969v4 , DOI : 10,17323 / 1609-4514-2016-16-3-433-504 , МР  3510209
• Пол М. Кон (2003). Дальнейшая алгебра и приложения . Springer. ISBN 1-85233-667-6.
• Владимир Дринфельд (2006), "Бесконечномерные векторные расслоения в алгебраической геометрии: введение", в книге Павла Этингофа; Владимир Ретах; И. М. Сингер (ред.), Единство математики , Birkhäuser Boston, стр. 263–304, arXiv : math / 0309155v4 , doi : 10.1007 / 0-8176-4467-9_7 , ISBN 978-0-8176-4076-7, Руководство по ремонту  2181808
• Говоров В. Е. О плоских модулях (1965), Сиб. Матем. J. , 6 : 300–304
• Hazewinkel, Michiel ; Губарени, Надия ; Кириченко, Владимир В. (2004). Алгебры, кольца и модули . Springer Science . ISBN 978-1-4020-2690-4.
• Капланский, Ирвинг (1958), "Проективные модули", Ann. математики. , 2, 68 (2): 372-377, DOI : 10,2307 / 1970252 , ЛВП : 10338.dmlcz / 101124 , JSTOR  1970252 , МР  0100017
• Ланг, Серж (1993). Алгебра (3-е изд.). Аддисон-Уэсли . ISBN 0-201-55540-9.
• Лазар, Д. (1969), "Autour de la platitude", Bulletin de la Société Mathématique de France , 97 : 81–128, doi : 10.24033 / bsmf.1675
• Милн, Джеймс (1980). Этальные когомологии . Princeton Univ. Нажмите. ISBN 0-691-08238-3.
• Дональд С. Пассман (2004) Курс теории колец , особенно глава 2 «Проективные модули», стр. 13–22, AMS Chelsea, ISBN 0-8218-3680-3 . 
• Рейно, Мишель; Gruson, Laurent (1971), "Critères de platitude et de projectivité. Методы" platification "d'un module", Invent. Математика. , 13 : 1–89, Bibcode : 1971InMat..13 .... 1R , doi : 10.1007 / BF01390094 , MR  0308104
• Пауло Рибенбойм (1969) Кольца и модули , §1.6 Проективные модули, стр. 19–24, Interscience Publishers .
• Чарльз Вейбель , K-книга: Введение в алгебраическую K-теорию