Дедекиндский домен

В этой статье может быть слишком много ссылок на другие статьи , и может потребоваться очистка для соответствия стандартам качества Википедии . В соответствии с правилами стиля Википедии , пожалуйста, удалите повторяющиеся ссылки и все ссылки, не относящиеся к контексту. ( Сентябрь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В абстрактной алгебре , дедекиндовы домны или дедекиндово кольцо , названные в честь Ричарда Дедекинда , является областью целостности , в котором каждый ненулевой собственном идеале факторов в произведение простых идеалов . Можно показать, что такая факторизация обязательно уникальна до порядка факторов. Есть, по крайней мере, три других характеристики дедекиндовских доменов, которые иногда используются в качестве определения: см. Ниже .

Поле является коммутативным кольцом , в котором нет нетривиальных собственных идеалов, так что любое поле дедекиндовы домны, однако в довольно праздной образом. Некоторые авторы добавляют требование, чтобы домен Дедекинда не был полем. Многие другие авторы формулируют теоремы для дедекиндовских областей с неявным условием, что они могут потребовать тривиальных модификаций для случая полей.

Непосредственным следствием определения является то, что каждая область главных идеалов (PID) является областью Дедекинда. Фактически домен Дедекинда является уникальным доменом факторизации (UFD) тогда и только тогда, когда он является PID.

Предыстория дедекиндовских владений [ править ]

В 19 веке он стал общий метод , чтобы получить представление о целочисленных решений в полиномиальных уравнений с помощью колец из алгебраических чисел более высокой степени. Например, зафиксируйте положительное целое число . В попытке определить , какие целые числа представлены в квадратичной форме , то естественно профакторизовать квадратичную форму в факторизация , происходящий в кольце целых чисел в квадратичном поле . Аналогичным образом , для положительного целого числа от полинома (который имеет отношение для решения уравнения Ферма ) может быть разложен над кольцом${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + мой ^ {2}}$${\ displaystyle (х + {\ sqrt {-m}} y) (x - {\ sqrt {-m}} y)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-m}})}$${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle г ^ {п} -у ^ {п}}$${\ Displaystyle х ^ {п} + у ^ {п} = г ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [\ zeta _ {n}]}$, где - примитивный корень -й степени из единицы .${\ displaystyle \ zeta _ {n}}$ п {\ displaystyle n}

Для нескольких небольших значений и эти кольца алгебраических целых чисел являются PID , и это можно рассматривать как объяснение классических успехов Ферма ( ) и Эйлера ( ). К этому времени процедуры для определения кольца всех ли алгебраических чисел данного квадратичного поля является ПИД был хорошо известен квадратичными формами теоретиков. В частности, Гаусс рассмотрел случай мнимых квадратичных полей : он нашел ровно девять значений, для которых кольцо целых чисел является PID, и предположил${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m = 1, n = 4}$${\ Displaystyle m = 2,3, n = 3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$${\ displaystyle D <0}$что больше не было ценностей. ( Гипотеза Гаусса была доказана более чем сто лет спустя Куртом Хегнером , Аланом Бейкером и Гарольдом Старком .) Однако это было понято (только) на языке классов эквивалентности квадратичных форм, так что, в частности, аналогия между квадратичными формами и уравнение Ферма, кажется, не было воспринято. В 1847 году Габриэль Ламе объявил о решении Великой теоремы Ферма для всех , т. Е. О том, что уравнение Ферма не имеет решений в ненулевых целых числах, но оказалось, что его решение основано на предположении, что круговое кольцо является UFD. Эрнст Куммер${\ displaystyle n> 2}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [\ zeta _ {n}]}$три года назад показал, что это уже не так ( теперь известен полный, конечный список значений, для которых есть UFD). В то же время Куммер разработал новые мощные методы доказательства Великой теоремы Ферма, по крайней мере, для большого класса простых показателей, используя то, что мы теперь понимаем как тот факт, что кольцо является дедекиндовской областью. На самом деле Куммер работал не с идеалами, а с « идеальными числами », и современное определение идеала было дано Дедекиндом.${\ displaystyle n = 23}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [\ zeta _ {n}]}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [\ zeta _ {n}]}$

К 20 веку алгебраисты и теоретики чисел пришли к пониманию, что условие быть PID довольно деликатно, в то время как условие быть дедекиндовской областью довольно устойчиво. Например, кольцо обычных целых чисел является PID, но, как показано выше, кольцо алгебраических целых чисел в числовом поле не обязательно должно быть PID. Фактически, хотя Гаусс также предположил, что существует бесконечно много простых чисел, таких что кольцо целых чисел является PID, по состоянию на 2016 год мы даже не знаем, существует ли бесконечно много числовых полей (произвольной степени) таких, что это PID! С другой стороны, кольцо целых чисел в числовом поле${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$ ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {p}})}$^{[Обновить]}${\ displaystyle K}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$ всегда является дедекиндовым доменом.

Другая иллюстрация деликатной / прочной дихотомии является тем фактом , что , будучи дедекиндово доменом, среди нетеровских доменов , локальное свойство : нетеры домена является дедекиндово тогда и только тогда для любого максимального идеалом из по локализации является дедекиндовым кольца. Но локальный домен является дедекиндовым кольцом тогда и только тогда это PID тогда и только тогда это кольцо дискретного нормирования (DVR), так же локальная характеристика не может иметь место для PIDs: а, можно сказать , что понятие дедекиндовым кольца является глобализация из что из DVR.${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{M}}$

Альтернативные определения [ править ]

Для области целостности , не являющейся полем , все следующие условия эквивалентны: ^[1]${\displaystyle R}$

(DD1) Каждый ненулевой собственный идеал делится на простые числа.

(DD2) является нетерово и локализация на каждом максимальном идеале это кольцо дискретного нормирования .${\displaystyle R}$

(DD3) Любой ненулевой дробный идеал в обратим.${\displaystyle R}$

(DD4) - это целозамкнутая , нётерова область с размерностью Крулля один (т. Е. Каждый ненулевой простой идеал максимален).${\displaystyle R}$

(DD5) является нетерово , и для любых двух идеалов и в , содержится в тогда и только тогда делит как идеалы, то есть, существует идеал такой , что . Коммутативное кольцо с единицей, удовлетворяющее последнему условию, называется кольцом включения-тела (CDR). ^[2]${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$${\displaystyle J}$${\displaystyle I}$${\displaystyle H}$${\displaystyle I=JH}$

Таким образом, домен Дедекинда - это домен, который либо является полем, либо удовлетворяет любому, а следовательно, всем пяти из (DD1) - (DD5). Следовательно, какое из этих условий принять в качестве определения - дело вкуса. На практике часто проще всего проверить (DD4).

Домена Крулла является многомерным аналогом дедекиндова домена: дедекиндовы домнами , который не является полем является областью Крулла размерности 1. Это понятие может быть использовано для изучения различной характеризации дедекиндова домена. Фактически, это определение дедекиндовской области, используемое в «Коммутативной алгебре» Бурбаки .

Область Дедекинда также может быть охарактеризована в терминах гомологической алгебры : область целостности является областью Дедекинда тогда и только тогда, когда она является наследственным кольцом ; то есть, каждый подмодуль из проективного модуля над ним проективен. Точно так же область целостности является дедекиндовской областью тогда и только тогда, когда каждый делимый модуль над ней инъективен . ^[3]

Некоторые примеры дедекиндовских доменов [ править ]

Все главные идеальные области и, следовательно, все кольца дискретной оценки являются дедекиндовыми областями.

Кольцо из алгебраических чисел в числовом поле К нетерам, целозамкнуто и размерностей одного: чтобы увидеть последнее свойство, заметит , что для любого ненулевого простого идеала I из R , R / I представляет собой конечное множество, напомнит , что конечная область целостности - поле; так что по (DD4) R является дедекиндовым доменом. Как и выше, это включает все примеры, рассмотренные Куммером и Дедекиндом, и послужило мотивирующим случаем для общего определения, и они остаются одними из наиболее изученных примеров.${\displaystyle R={\mathcal {O}}_{K}}$

Другой класс колец Дедекинда, который, возможно, имеет не меньшее значение, исходит из геометрии: пусть C - неособая геометрически целая аффинная алгебраическая кривая над полем k . Тогда координатное кольцо k [ C ] регулярных функций на C является дедекиндовской областью. Это в значительной степени ясно, просто переведя геометрические термины в алгебру: координатное кольцо любого аффинного многообразия по определению является конечно порожденной k -алгеброй, следовательно, нетерово; кроме того, кривая означает размерность один, а невырожденная означает (и в измерении один эквивалентна)нормальный , что по определению означает интегрально замкнутый .

Обе эти конструкции можно рассматривать как частные случаи следующего основного результата:

Теорема : Пусть R дедекиндово область с Фракцию полем K . Пусть L конечная степень расширения поля из K и обозначим через S целое замыкание из R в L . Тогда S сама является дедекиндовской областью. ^[4]

Применение этой теоремы, когда R сам является PID, дает нам способ построения дедекиндовских доменов из PID. Взяв R = Z , эта конструкция в точности говорит, что кольца целых числовых полей являются дедекиндовыми областями. Взяв R = k [ t ], мы получим рассмотренный выше случай неособых аффинных кривых как разветвленных накрытий аффинной прямой.

Зариски и Самуэль были достаточно увлечены этой конструкцией, чтобы спросить, возникает ли из нее всякая дедекиндова область, т. Е. Начав с ПИД и взяв интегральное замыкание в расширении поля конечной степени. ^[5] Удивительно простой отрицательный ответ дал Л. Клаборн. ^[6]

Если ситуация такая же, как и выше, но расширение L поля K является алгебраическим бесконечной степени, то интегральное замыкание S кольца R в L все еще может быть дедекиндовым доменом, но это не гарантируется. Например, снова возьмем R = Z , K = Q и теперь возьмем L как поле всех алгебраических чисел . Цельное замыкание - не что иное, как кольцо${\displaystyle {\overline {\textbf {Q}}}}$${\displaystyle {\overline {\textbf {Z}}}}$всех алгебраических целых чисел. Поскольку квадратный корень из алгебраического целого числа снова является алгебраическим целым числом, невозможно разложить любое ненулевое неединичное алгебраическое целое число в конечное произведение неприводимых элементов, что означает, что это даже не нётерово! В общем случае интегральное замыкание дедекиндовской области в бесконечном алгебраическом расширении является областью Прюфера ; оказывается, что кольцо целых алгебраических чисел немного более особенное, чем это: это область Безу .${\displaystyle {\overline {\textbf {Z}}}}$

Дробные идеалы и группа классов [ править ]

Пусть R область целостности с Фракцию полем K . Дробный идеал ненулевой R - подмодуль I из К , для которого существует ненулевая х в К такой , что${\displaystyle xI\subset R.}$

Учитывая два дробных идеала I и J , каждый определяет их произведение IJ как множество всех конечных сумм : произведение IJ снова является дробным идеалом. Множество гидроразрыв ( R ) все дробных идеалов , снабженных выше продуктом является коммутативной полугруппой и на самом деле моноид : единичный элемент является дробным идеалом R .${\displaystyle \sum _{n}i_{n}j_{n},\,i_{n}\in I,\,j_{n}\in J}$

Для любого дробного идеала I можно определить дробный идеал

${\displaystyle I^{*}=(R:I)=\{x\in K\mid xI\subset R\}.}$

Значит, тавтологически . Фактически равенство имеет место тогда и только тогда , когда I , как элемент моноида Frac ( R ), обратим. Другими словами, если у меня есть обратное, то и обратное должно быть .${\displaystyle I^{*}I\subset R}$${\displaystyle I^{*}}$

Главным дробный идеал является одним из формы для некоторых ненулевых х в K . Обратите внимание, что каждый главный дробный идеал обратим, а не просто . Обозначим подгруппу главных дробных идеалов через Prin ( R ).${\displaystyle xR}$${\displaystyle xR}$${\displaystyle {\frac {1}{x}}R}$

Область R является PID тогда и только тогда, когда каждый дробный идеал является главным. В этом случае мы имеем гидроразрыва ( R ) = Прин ( R ) = , так как две главные дробные идеалы и равны тогда и только тогда является единицей в R .${\displaystyle K^{\times }/R^{\times }}$${\displaystyle xR}$${\displaystyle yR}$${\displaystyle xy^{-1}}$

Для общей области R имеет смысл взять фактор моноида Frac ( R ) всех дробных идеалов по подмоноиду Prin ( R ) главных дробных идеалов. Однако само это частное обычно является только моноидом. На самом деле легко видеть, что класс дробного идеала I в Frac ( R ) / Prin ( R ) обратим тогда и только тогда, когда сам I обратим.

Теперь мы можем оценить (DD3): в области Дедекинда (и только в области Дедекинда) любой дробный идеал обратим. Таким образом , это именно класс областей , для которых гидроразрыв ( R ) / Прин ( R ) образует группу , тем группа классов идеалов Cl ( R ) от R . Эта группа тривиальна тогда и только тогда, когда R является PID, поэтому ее можно рассматривать как количественную оценку препятствия для общего домена Дедекинда, являющегося PID.

Отметим, что для произвольной области группу Пикара Pic ( R ) можно определить как группу обратимых дробных идеалов Inv ( R ) по модулю подгруппы главных дробных идеалов. Для дедекиндовской области это, конечно, то же самое, что и идеальная группа классов. Однако в более общем классе областей, включая нётеровы области и области Крулля , группа классов идеалов строится другим способом, и существует канонический гомоморфизм

Pic ( R ) → Cl ( R )

что, однако, обычно не является ни инъективным, ни сюръективным . Это аффинный аналог различия между дивизорами Картье и дивизорами Вейля на особом алгебраическом многообразии.

Замечательная теорема Л. Claborn (Claborn 1966) утверждает , что для любой абелевой группы G бы то ни было, существует дедекиндово домен R , чей класс идеальной группы изоморфно с G . Позже CR Leedham-Green показал, что такое Rможет быть построено как интегральное замыкание ПИД в квадратичном расширении поля (Leedham-Green 1972). В 1976 году М. Розен показал, как реализовать любую счетную абелеву группу как группу классов дедекиндовской области, которая является подкольцом поля рациональных функций эллиптической кривой, и предположил, что такая «эллиптическая» конструкция должна быть возможна для общая абелева группа (Rosen 1976). Гипотеза Розена была доказана в 2008 году П.Л. Кларком (Clark 2009).

Напротив, одна из основных теорем алгебраической теории чисел утверждает, что группа классов кольца целых чисел числового поля конечна; его мощность называется числом классов, и это важный и довольно загадочный инвариант, несмотря на тяжелую работу многих ведущих математиков от Гаусса до наших дней.

Конечно-генерируемые модули над дедекиндовым доменом [ править ]

Ввиду хорошо известной и чрезвычайно полезной структурной теоремы для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов (PID) естественно попросить соответствующую теорию для конечно порожденных модулей над дедекиндовской областью.

Кратко напомним структурную теорию в случае конечно порожденного модуля над ПИД . Определим кручение подмодуль быть множество элементов из таких , что для некоторого ненулевого в . Потом:${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T}$${\displaystyle m}$${\displaystyle M}$${\displaystyle rm=0}$${\displaystyle r}$${\displaystyle R}$

(М1) можно разложить в прямую сумму из циклических торсионных модулей, каждый из формы для некоторого ненулевого идеала из . По китайской теореме об остатке каждый может быть разложен в прямую сумму подмодулей вида , где - степень простого идеала. Это разложение не обязательно должно быть уникальным, но любые два разложения${\displaystyle T}$${\displaystyle R/I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R/I}$${\displaystyle R/P^{i}}$${\displaystyle P^{i}}$

${\displaystyle T\cong R/P_{1}^{a_{1}}\oplus \cdots \oplus R/P_{r}^{a_{r}}\cong R/Q_{1}^{b_{1}}\oplus \cdots \oplus R/Q_{s}^{b_{s}}}$

различаются только порядком факторов.

(М2) Кручение подмодуль является прямым слагаемым: то есть, существует дополнительный подмодуль из таких , что .${\displaystyle P}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M=T\oplus P}$

(M3PID), изоморфный для однозначно определенного неотрицательного целого числа . В частности, является конечно порожденным свободным модулем.${\displaystyle P}$${\displaystyle R^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P}$

Пусть теперь - конечно порожденный модуль над произвольной дедекиндовской областью . Тогда (M1) и (M2) сохраняются дословно. Однако из (M3PID) следует, что конечно порожденный модуль без кручения над PID свободен. В частности, он утверждает, что все дробные идеалы являются главными, утверждение, которое ложно, если не является PID. Другими словами, нетривиальность группы классов Cl (R) вызывает сбой (M3PID). Примечательно, что дополнительная структура в конечно порожденных модулях без кручения над произвольной дедекиндовской областью точно контролируется группой классов, как мы сейчас объясним. Над произвольной дедекиндовской областью${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle P}$${\displaystyle R}$

(M3DD) изоморфна прямой сумме ранга одного проекционных модулей : . Более того, для любого проективного модуля ранга один выполняется${\displaystyle P}$${\displaystyle P\cong I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r}}$${\displaystyle I_{1},\ldots ,I_{r},J_{1},\ldots ,J_{s}}$

${\displaystyle I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r}\cong J_{1}\oplus \cdots \oplus J_{s}}$

если и только если

${\displaystyle r=s}$

и

${\displaystyle I_{1}\otimes \cdots \otimes I_{r}\cong J_{1}\otimes \cdots \otimes J_{s}.\,}$

Проективные модули первого ранга можно отождествить с дробными идеалами, а последнее условие можно перефразировать как

${\displaystyle [I_{1}\cdots I_{r}]=[J_{1}\cdots J_{s}]\in Cl(R).}$

Таким образом, конечно порожденный модуль без кручения ранга может быть выражен как , где - проективный модуль ранга один. Класс Штейниц для P над R является класс из в Cl (R): она однозначно определяется. ^[7] Следствием этого является:${\displaystyle n>0}$${\displaystyle R^{n-1}\oplus I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle [I]}$${\displaystyle I}$

Теорема. Пусть R - дедекиндова область. Тогда , где K ₀ ( R ) - группа Гротендика коммутативного моноида конечно порожденных проективных R модулей.${\displaystyle K_{0}(R)\cong \mathbb {Z} \oplus Cl(R)}$

Эти результаты были установлены Эрнстом Стейницем в 1912 году.

Дополнительным следствием этой структуры, которое не подразумевается в предыдущей теореме, является то, что если два проективных модуля над областью Дедекинда имеют один и тот же класс в группе Гротендика, то они фактически абстрактно изоморфны.

Локально Дедекиндовские кольца [ править ]

Существуют целые области, которые являются локально, но не глобально, дедекиндовыми: локализация на каждом максимальном идеале - это дедекиндово кольцо (эквивалентно, DVR ), но сама по себе не является дедекиндовым. Как упоминалось выше, такое кольцо не может быть нётерским. Похоже, что первые примеры таких колец были построены Н. Накано в 1953 году. В литературе такие кольца иногда называют «собственными почти дедекиндовыми кольцами».${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

См. Также [ править ]

• Группа идеального класса
• Постоянная Давенпорта

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бурбаки, Николас (1972), коммутативная алгебра , Аддисон-Уэсли
• Claborn, Luther (1965), "Дедекиндовы области и кольца частных" , Pacific J. Math. , 15 : 59-64, DOI : 10,2140 / pjm.1965.15.59
• Claborn, Luther (1966), "Каждая абелева группа является группой классов" , Pacific J. Math. , 18 (2): 219-222, DOI : 10,2140 / pjm.1966.18.219
• Кларк, Пит Л. (2009), «Переосмысление эллиптических дедекиндовских доменов» (PDF) , L'Enseignement Mathématique , 55 (3): 213–225, arXiv : math / 0612469 , doi : 10.4171 / lem / 55-3-1
• Кон, Пол М. (2003). Дальнейшая алгебра и приложения . Springer. ISBN 1-85233-667-6.
• Fröhlich, A .; Тейлор, MJ (1991), «II. Дедекиндовы области», теория алгебраических чисел , Кембриджские исследования по высшей математике, 27 , Cambridge University Press , стр. 35–101, ISBN 0-521-36664-X, Zbl  0744,11001
• Гомес-Рамирес, Дэнни (2015), «Концептуальное смешение как творческий мета-генератор математических концепций: основные идеалы и дедекиндовы домены как смесь», В: TR Besold, KU Kühnberger, M. Schorlemmer, A. Smaill (eds. ) Труды 4-го Международного семинара по вычислительному творчеству, концептуальным изобретениям и общему интеллекту (C3GI) PICS , 2[1]
• Лидхэм-Грин, CR (1972), "Группа классов дедекиндовских областей", Trans. Амер. Математика. Soc. , 163 : 493-500, DOI : 10,2307 / 1995734 , JSTOR  1995734
• Милн, Дж. С. (2008), Алгебраическая теория чисел (v3.00)
• Накано, Нобуру (1953), "Idealtheorie in einem speziellen unendlichen algebraischen Zahlkörper", J. Sci. Hiroshima Univ. Сер. А. , 16 : 425–439
• Розен, Майкл (1976), "Эллиптические кривые и дедекиндовы области", Proc. Амер. Математика. Soc. , 57 (2): 197-201, DOI : 10,2307 / 2041187 , JSTOR  2041187
• Steinitz, E. (1912), "Rechteckige Systeme und Moduln в алгебраической Zahlkörpern" , Math. Анна. , 71 (3): 328-354, DOI : 10.1007 / BF01456849
• Зариски, Оскар ; Сэмюэль, Пьер (1958), коммутативная алгебра, том I , D. Van Nostrand Company

Дальнейшее чтение [ править ]

• Эдвардс, Гарольд М. (1990), теория делителей , Бостон: Birkhäuser Verlag, ISBN 0-8176-3448-7, Zbl  0689,12001

Внешние ссылки [ править ]

• "Кольцо Дедекинда" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]