Проективный объект

В теории категорий понятие проективного объекта обобщает понятие проективного модуля . Проективные объекты в абелевых категориях используются в гомологической алгебре . Двойное понятие проективного объекта является то , что из инъективного объекта .

Определение [ править ]

Объект в категории является проективным , если для любого эпиморфизма и морфизма , существует морфизм такой , что , т.е. следующая диаграмма коммутирует : ${\ displaystyle P}$ ${\mathcal {C}}$ $e:E\twoheadrightarrow X$ $f:P\to X$ ${\overline {f}}:P\to E$ $e\circ {\overline {f}}=f$

То есть каждый морфизм влияет на каждый эпиморфизм . ^[1] $P\to X$ $E\twoheadrightarrow X$

Если С является локально малой , т.е., в частности , представляет собой набор для любого объекта X в C , это определение эквивалентно условию , что Хомы функтор (также известный как corepresentable функтора ) $\operatorname {Hom} _{C}(P,X)$

\operatorname {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set}

сохраняет эпиморфизмы . ^[2]

Проективные объекты в абелевых категориях [ править ]

Если категория C является абелевой категорией, такой как, например, категория абелевых групп , то P проективна тогда и только тогда, когда

\operatorname {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Ab}

- точный функтор , где Ab - категория абелевых групп .

Абелева категория , как говорят, достаточно много проективных , если для каждого объекта из , есть проективный объект из и эпиморфизм Р к А или, что эквивалентно, короткая точная последовательность ${\mathcal {A}}$ $A$ ${\mathcal {A}}$ $P$ ${\mathcal {A}}$

0\to K\to P\longrightarrow A\longrightarrow 0.

Цель этого определения - гарантировать, что любой объект A допускает проективное разрешение , т. Е. (Длинную) точную последовательность

\dots P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0

где объекты проективны. $P_{0},P_{1},\dots$

Проективность по отношению к ограниченным классам [ править ]

Semadeni (1963) обсуждает понятие проективной (и двойственно инъективны) объекты , относящиеся к так называемой бикатегории, который состоит из пары подкатегорий «инъекций» и «сюръекциями» в данной категории C . Эти подкатегории подчиняются определенным формальным свойствам, включая требование, чтобы любая сюръекция была эпиморфизмом. Проективный объект (относительно фиксированного класса сюръекций) тогда является объектом P, так что Hom ( P , -) превращает фиксированный класс сюръекций (в отличие от всех эпиморфизмов) в сюръекции множеств (в обычном смысле).

Свойства [ править ]

Копроизведение двух проективных объектов проективно. ^[3]
Отводной проективного объекта проективен. ^[4]

Примеры [ править ]

Утверждение, что все множества проективны, эквивалентно аксиоме выбора .

Проективные объекты в категории абелевых групп - это свободные абелевы группы .

Позвольте быть кольцо с единицей. Рассмотрим (абелеву) категорию - Mod левых -модулей. Проективные объекты в - Mod - это в точности проективные левые R-модули . Следовательно, сам является проективным объектом в - Mod . Двойственно инъективные объекты в - Mod - это в точности инъективные левые R-модули . $R$ $R$ $R$ $R$ $R$ $R$ $R$

Категория левых (правых) -модулей также имеет достаточно проективов. Это верно , так как для каждого левого (правого) -модуль , мы можем принять , чтобы быть свободным (и , следовательно , проективный) -модуль , порожденный ДГУ для (мы можем на самом деле взять , чтобы быть ). Тогда каноническая проекция является необходимой сюръекцией . $R$ $R$ $M$ $F$ $R$ $X$ $M$ $X$ $M$ $\pi \colon F\to M$

Проективные объекты в категории компактных хаусдорфовых пространств - это в точности экстремально несвязные пространства . Этот результат принадлежит Глисону (1958) с упрощенным доказательством, данным Рейнуотером (1959) .

В категории банаховых пространств и сжатий (т. Е. Функционалов с нормой не больше 1) эпиморфизмы - это в точности отображения с плотным образом . Wiweger (1969) показывает, что нулевое пространство - единственный проективный объект в этой категории. Однако существуют нетривиальные пространства, проективные по отношению к классу сюръективных сжатий. В категории нормированных векторных пространств со сжатиями (и сюръективными отображениями как «сюръекциями») проективные объекты - это в точности -пространства. ^[5] $l^{1}$

l^{1}(S)=\{(x_{s})_{s\in S},\sum _{s\in S}||x_{s}||<\infty \}.

Ссылки [ править ]

^ Awodey (2010 , п.2.1)
↑ Mac Lane (1978 , стр.118)
^ Awodey (2010 , стр. 72)
^ Awodey (2010 , стр. 33)
^ Семадени (1963)

Awodey, Стив (2010), Теория категорий (2-е изд.), Оксфорд: Oxford University Press, ISBN 9780199237180, OCLC 740446073
Глисона, Эндрю М. (1958), "Проекционные топологические пространства", штат Иллинойс Журнал математики , 2 (4A): 482-489, DOI : 10,1215 / IJM / 1255454110 , МР 0121775
Мак-Лейн, Сондерс (1978), Категории для рабочего математика (второе изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York, стр. 114, ISBN 1441931236, OCLC 851741862
Митчелл, Барри (1965). Теория категорий . Чистая и прикладная математика. 17 . Академическая пресса. ISBN 978-0-124-99250-4. Руководство по ремонту 0202787 .
Pothoven, Кеннет (1969), "Проективные и инъективные объекты в категории банаховых пространств", Труды Американского математического общества , 22 (2): 437-438, DOI : 10,2307 / 2037073 , JSTOR 2037073
Дождевая вода, Джон (1959), "Обратите внимание на проективные резолюций", Труды Американского математического общества , 10 (5): 734-735, DOI : 10,2307 / 2033466 , JSTOR 2033466
Семадени, З. (1963), "Проективность, инъективность и двойственность" , Rozprawy Mat. , 36 , MR 0154832

Внешние ссылки [ править ]

' „Проективный объект в nLab“ . ncatlab.org . Проверено 17 октября 2017 .

[1] Awodey (2010 , п.2.1)

[2] Mac Lane (1978 , стр.118)

[3] Awodey (2010 , стр. 72)

[4] Awodey (2010 , стр. 33)

[5] Семадени (1963)

[1]