Представимый функтор

В математике , особенно в теории категорий , представимый функтор - это определенный функтор из произвольной категории в категорию множеств . Такие функторы представляют абстрактную категорию в терминах известных структур (то есть множеств и функций ), позволяя использовать, насколько это возможно, знания о категории множеств в других параметрах настройки.

С другой точки зрения, представимых функторов для категории С являются функторы данные с C . Их теория является обширным обобщением верхних множеств в множествах и теоремы Кэли в теории групп .

Определение [ править ]

Пусть C - локально малая категория, а Set - категория множеств . Для каждого объекта A из C пусть Hom ( A , -) будет гом-функтором, который отображает объект X на множество Hom ( A , X ).

Функтор F  : C → Set называется представима , если она естественно изоморфна к Hom ( A , -) для некоторого объекта А из С . Представление о F представляет собой пару ( , Φ) , где

Φ: Hom ( A , -) → F

является естественным изоморфизмом.

Контравариантный функтор G из C в Set это то же самое , как функтор G  : C ^оп → Набор и обычно называется Предпучок . Предпучок представим , когда она естественно изоморфна контравариантным Хомы -функтор Хомы (-, ) для некоторого объекта А из С .

Универсальные элементы [ править ]

Согласно лемме Йонеды , естественные преобразования из Hom ( A , -) в F находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами F ( A ). Для естественного преобразования Φ: Hom ( A , -) → F соответствующий элемент u ∈ F ( A ) задается формулой

${\ displaystyle u = \ Phi _ {A} (\ mathrm {id} _ {A}). \,}$

Наоборот, для любого элемента u ∈ F ( A ) мы можем определить естественное преобразование Φ: Hom ( A , -) → F с помощью

${\ Displaystyle \ Phi _ {X} (е) = (Ff) (и) \,}$

где f - элемент Hom ( A , X ). Чтобы получить представление F, мы хотим знать, когда естественное преобразование, индуцированное u, является изоморфизмом. Это приводит к следующему определению:

Универсальный элемент из функтора F  : С → Набор представляет собой пару ( , у ) , состоящий из объекта A из C и элемента U ∈ F ( A ) такой , что для каждой пары ( X , v ) с V ∈ F ( X ) существует единственный морфизм f  : A → X такой, что ( Ff ) u = v .

Универсальный элемент может рассматриваться в качестве универсального морфизма из одной точки множества {•} к функтору F или в качестве исходного объекта в категории элементов из F .

Естественное преобразование , индуцированное элементом U ∈ F ( A ) является изоморфизмом тогда и только тогда , когда ( , у ) является универсальным элементом F . Поэтому мы делаем вывод , что представления F находятся во взаимно однозначном соответствии с универсальными элементами F . По этой причине универсальные элементы ( A , u ) принято называть представлениями.

Примеры [ править ]

• Рассмотрим контравариантный функтор P  : Set → Set, который отображает каждый набор в свой набор мощности и каждую функцию в свою карту обратного изображения . Чтобы представить этот функтор, нам нужна пара ( A , u ), где A - множество, а u - подмножество A , то есть элемент P ( A ), такой, что для всех множеств X гом-множество Hom ( X , A ) изоморфна P ( X ) посредством Φ _X ( f ) = ( Pf) u = f ⁻¹ ( u ). Возьмем A = {0,1} и u = {1}. Учитывая подмножество S ⊆ X соответствующую функцию из X в A является характеристической функцией из S .
• Забывчивые функторы для Set очень часто можно представить. В частности, забывчивый функтор представлен ( A , u ) всякий раз, когда A является свободным объектом над одиночным набором с генератором u .
  • Забывающий функтор Grp → Set в категории групп представлен как ( Z , 1).
  • Забывающий функтор Ring → Set в категории колец представлен ( Z [ x ], x ), кольцом многочленов от одной переменной с целыми коэффициентами .
  • Забывающий функтор Vect → Set в категории вещественных векторных пространств представлен как ( R , 1).
  • Забывающий функтор Top → Set в категории топологических пространств представлен любым одноэлементным топологическим пространством с его уникальным элементом.
• Группа G можно рассматривать как категорию (даже группоидом ) с одним объектом , который мы обозначим через •. Тогда функтор из G в Set соответствует G -множеству . Единственный гом-функтор Hom (•, -) из G в Set соответствует каноническому G -множеству G с действием умножения слева. Стандартные аргументы из теории групп показывают, что функтор из G в Set представим тогда и только тогда, когда соответствующее G -множество просто транзитивно (т. Е. G -торсор или куча). Выбор представления сводится к выбору идентификатора для кучи.
• Пусть C - категория CW-комплексов с морфизмами, заданными гомотопическими классами непрерывных функций. Для каждого натурального числа n существует контравариантный функтор H ⁿ  : C → Ab, который ставит в соответствие каждому CW-комплексу его n- ^ю группу когомологий (с целыми коэффициентами). Комбинируя это с функтором забывчивости, мы получаем контравариантный функтор от C до Set . Теорема Брауна о представимости в алгебраической топологии утверждает, что этот функтор представлен CW-комплексом K ( Z ,n ) называется пространством Эйленберга – Маклейна .
• Пусть R - коммутативное кольцо с единицей, и пусть R - Mod - категория R -модулей. Если М и N являются унитарными модулями над R , есть ковариантный функтор B : R - Mod → Набор , который назначает каждый R - модуля P множество из R -bilinear отображает M × N → P и в каждую R - модуль гомоморфизм F  : P → Q функцияБ ( е ): В ( Р ) → B ( Q ) , который посылает каждый билинейное отображение г  : М × N → P к карты билинейной й ∘ г  : М × N → Q . Функтор B представлен R - модуля М ⊗ _R N . ^[1]

Свойства [ править ]

Уникальность [ править ]

Представления функторов единственны с точностью до единственного изоморфизма. То есть, если ( A ₁ , Φ ₁ ) и ( A ₂ , Φ ₂ ) представляют один и тот же функтор, то существует единственный изоморфизм φ: A ₁ → A ₂ такой, что

${\displaystyle \Phi _{1}^{-1}\circ \Phi _{2}=\mathrm {Hom} (\varphi ,-)}$

как естественные изоморфизмы из Hom ( A ₂ , -) в Hom ( A ₁ , -). Этот факт легко следует из леммы Йонеды .

В терминах универсальных элементов: если ( A ₁ , u ₁ ) и ( A ₂ , u ₂ ) представляют один и тот же функтор, то существует единственный изоморфизм φ: A ₁ → A ₂ такой, что

${\displaystyle (F\varphi )u_{1}=u_{2}.}$

Сохранение лимитов [ править ]

Представимые функторы естественно изоморфны функторам Hom и, следовательно, обладают своими свойствами. В частности, (ковариантные) представимые функторы сохраняют все пределы . Отсюда следует, что любой функтор, не сохраняющий некоторого предела, непредставим.

Контравариантные представимые функторы доводят копределы до пределов.

Левый смежный [ править ]

Любой функтор K  : C → Set с сопряженным слева F  : Set → C представлен как ( FX , η _X (•)), где X = {•} - одноэлементное множество, а η - единица присоединения.

И наоборот, если К представлена парой ( A , U ) и всех малых copowers из А существует в С , то К имеет левый сопряженный F , который посылает каждый набор I к I - й костепени из A .

Следовательно, если C - категория со всеми малыми копровыми степенями, функтор K  : C → Set представим тогда и только тогда, когда он имеет левый сопряженный.

Связь с универсальными морфизмами и сопряженными [ править ]

Категорные понятия универсальных морфизмов и присоединенных функторов могут быть выражены с помощью представимых функторов.

Пусть G  : D → C функтор , и пусть Х быть объектом C . Тогда ( A , φ) является универсальным морфизмом из X в G тогда и только тогда, когда ( A , φ) является представлением функтора Hom _C ( X , G -) из D в Set . Отсюда следует, что G имеет сопряженную слева F тогда и только тогда, когда Hom _C ( X , G -) представима для всех X в C. Естественный изоморфизм Φ _X  : Hom _D ( FX , -) → Hom _C ( X , G -) влечет сопряженность; то есть

${\displaystyle \Phi _{X,Y}\colon \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(FX,Y)\to \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,GY)}$

биекция при всех X и Y .

Двойственные утверждения также верны. Пусть F  : C → D функтор , и пусть Y быть объектом D . Тогда ( A , φ) является универсальным морфизмом из F в Y тогда и только тогда, когда ( A , φ) является представлением функтора Hom _D ( F -, Y ) из C в Set . Отсюда следует, что F имеет сопряженную справа G тогда и только тогда, когда Hom _D ( F -, Y ) представима для всех Y вD .

См. Также [ править ]

• Классификатор подобъектов
• Теорема плотности

Ссылки [ править ]

• Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика . Тексты для выпускников по математике 5 (2-е изд.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.