Изображение (математика)

е является функцией от домена X в кообласть Y . Желтый овал внутри Y - это изображение f .

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальный ортогональный SO ( n ) Унитарный U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В математике , то изображение из функции является множество всех выходных значений оно может произвести.

В более общем плане , оценивая данную функцию п на каждом элементе данного подмножества A своей области производит набор, называемый « образ из А под (или через) F ». Аналогичным образом , прообраз (или прообраз ) данное подмножество B из области значений из F , представляет собой совокупность всех элементов области , что карта для членов B .

Изображение и инверсное изображение также могут быть определены для общих бинарных отношений , а не только для функций.

Определение [ править ]

Слово «изображение» используется тремя взаимосвязанными способами. В этих определениях, F  : X → Y является функцией от множества X на множество Y .

Изображение элемента [ править ]

Если х является членом X , то образ х при е , обозначим е ( х ), ^[1] это значение из F , когда применяется к х. f ( x ) также известен как результат f для аргумента x .

Изображение подмножества [ править ]

Изображение подмножества A ⊆ X при F , обозначаемой , является подмножеством Y , которые могут быть определены с использованием набора-строитель обозначений следующим образом : ^[2]${\ displaystyle f [A]}$

${\ Displaystyle е [А] = \ {е (х) \ середина х \ в А \}}$

Если нет риска путаницы, просто пишется как . Это обычное соглашение; предполагаемое значение должно быть выведено из контекста. Это делает F [.] Функция, домен представляет собой набор мощности из X (множество всех подмножеств из X ), и чей кообласть есть множество сила Y . Подробнее см. § Обозначения ниже.${\ displaystyle f [A]}$${\ displaystyle f (A)}$

Изображение функции [ править ]

Изображение функции является изображением всей его области , также известной как диапазон функции. ^[3]

Обобщение на бинарные отношения [ править ]

Если R - произвольное бинарное отношение на X × Y , то множество {y∈ Y | хКа для некоторых х ∈ Х } называется изображение, или диапазон, в R . Двойственно множество { x ∈ X | хКа для некоторого y∈ Y } называется область R .

Обратное изображение [ править ]

Пусть F является функцией от X до Y . Прообраз или прообраз множества B ⊆ Y при F , обозначаемое , это подмножество X определяется${\ displaystyle f ^ {- 1} [B]}$

${\ displaystyle f ^ {- 1} [B] = \ {x \ in X \, | \, f (x) \ in B \}.}$

Другие обозначения включают f  ⁻¹ ( B ) ^[4] и f  ^- ( B ) . ^[5] Обратный образ одноточечного , обозначим через F  ^-1 [{ у }] , или F  ^-1 [ г ], также называют волокна над у или множества уровня от у . Множество всех слоев над элементами Y представляет собой семейство множеств , индексированных Y .

Например, для функции f ( x ) = x ² прообраз {4} будет {−2, 2}. Опять же, если нет риска путаницы, f  ⁻¹ [ B ] можно обозначить как f  ⁻¹ ( B ), а f  ⁻¹ также можно рассматривать как функцию от набора степеней Y к множеству степеней X . Обозначение f  ⁻¹ не следует путать с обозначением обратной функции , хотя оно совпадает с обычным обозначением для биекций в том, что прообраз B при fявляется образом B при f  ⁻¹ .

Обозначения для изображения и инверсии [ править ]

Традиционные обозначения, использованные в предыдущем разделе, могут сбивать с толку. Альтернативный вариант ^[6] - дать явные имена для изображения и прообраза как функции между наборами степеней:

Обозначение стрелки [ править ]

• ${\ displaystyle f ^ {\ rightarrow}: {\ mathcal {P}} (X) \ rightarrow {\ mathcal {P}} (Y)}$ с ${\ Displaystyle е ^ {\ rightarrow} (А) = \ {е (а) \; | \; а \ в А \}}$
• ${\ displaystyle f ^ {\ leftarrow}: {\ mathcal {P}} (Y) \ rightarrow {\ mathcal {P}} (X)}$ с ${\ Displaystyle е ^ {\ leftarrow} (B) = \ {a \ in X \; | \; f (a) \ in B \}}$

Обозначение звезд [ править ]

• ${\ displaystyle f _ {\ star}: {\ mathcal {P}} (X) \ rightarrow {\ mathcal {P}} (Y)}$ вместо ${\displaystyle f^{\rightarrow }}$
• ${\displaystyle f^{\star }:{\mathcal {P}}(Y)\rightarrow {\mathcal {P}}(X)}$ вместо ${\displaystyle f^{\leftarrow }}$

Другая терминология [ править ]

• Альтернативная обозначение F [ ] используется в математической логике и теории множеств является F  " A . ^{[7] [8]}
• Некоторые тексты относятся к образу е в пределах е , но это использование следует избегать , так как слова «диапазон» также часто используется для обозначения кообласти о е .

Примеры [ править ]

1. f : {1, 2, 3} → { a, b, c, d } определено${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}a,&{\mbox{if }}x=1\\a,&{\mbox{if }}x=2\\c,&{\mbox{if }}x=3.\end{matrix}}\right.}$
   Изображение множества {2, 3} при F является F ({2, 3}) = { а, с }. Изображение функции F является { а, с }. Прообразом из является F  ^-1 ({ }) = {1, 2}. Прообраз из { а, Ь } также {1, 2}. Прообраз { b , d } - это пустое множество {}.
2. f : R → R определяется как f ( x ) = x ² .
   Изображения из {-2, 3} при F является F ({-2, 3}) = {4, 9}, и изображение из F является R ⁺ . Прообразом из {4, 9} при F является F  ^-1 ({4, 9}) = {-3, -2, 2, 3}. Прообраз множества N = { n ∈ R | n <0} под f - это пустой набор, потому что отрицательные числа не имеют квадратных корней в наборе действительных чисел.
3. f : R ² → R определяется как f ( x , y ) = x ² + y ² .
   Эти волокна F  ^-1 ({ }) являются концентрические круги о происхождении , самого происхождения, и пустое множество , в зависимости от того , > 0, в = 0, или в <0, соответственно.
4. Если М является многообразием и π : ТМ → М является канонической проекцией из касательного расслоения ТМ на М , то волокна из П являются касательные пространства Т _х ( М ) для х ∈ M . Это также пример пучка волокон .
5. Фактор-группа - это гомоморфный образ.

Свойства [ править ]

Общие [ править ]

Для каждой функции и всех подмножеств и выполняются следующие свойства:${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle B\subseteq Y}$

Изображение	Прообраз
${\displaystyle f(X)\subseteq Y}$	${\displaystyle f^{-1}(Y)=X}$
${\displaystyle f(f^{-1}(Y))=f(X)}$	${\displaystyle f^{-1}(f(X))=X}$
${\displaystyle f(f^{-1}(B))\subseteq B}$ (равно, если , например , сюръективно) [9] [10]${\displaystyle B\subseteq f(X)}$${\displaystyle f}$	${\displaystyle f^{-1}(f(A))\supseteq A}$ (равно, если инъективно) [9] [10]${\displaystyle f}$
${\displaystyle f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)}$	${\displaystyle (f\vert _{A})^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B)}$
${\displaystyle f(f^{-1}(f(A)))=f(A)}$	${\displaystyle f^{-1}(f(f^{-1}(B)))=f^{-1}(B)}$
${\displaystyle f(A)=\varnothing \Leftrightarrow A=\varnothing }$	${\displaystyle f^{-1}(B)=\varnothing \Leftrightarrow B\subseteq Y\setminus f(X)}$
${\displaystyle f(A)\supseteq B\Leftrightarrow \exists C\subseteq A:f(C)=B}$	${\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq A\Leftrightarrow f(A)\subseteq B}$
${\displaystyle f(A)\supseteq f(X\setminus A)\Leftrightarrow f(A)=f(X)}$	${\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq f^{-1}(Y\setminus B)\Leftrightarrow f^{-1}(B)=X}$
${\displaystyle f(X\setminus A)\supseteq f(X)\setminus f(A)}$	${\displaystyle f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)}$[9]
${\displaystyle f(A\cup f^{-1}(B))\subseteq f(A)\cup B}$[11]	${\displaystyle f^{-1}(f(A)\cup B)\supseteq A\cup f^{-1}(B)}$[11]
${\displaystyle f(A\cap f^{-1}(B))=f(A)\cap B}$[11]	${\displaystyle f^{-1}(f(A)\cap B)\supseteq A\cap f^{-1}(B)}$[11]

Также:

• ${\displaystyle f(A)\cap B=\varnothing \Leftrightarrow A\cap f^{-1}(B)=\varnothing }$

Множественные функции [ править ]

Для функций и с подмножествами и выполняются следующие свойства:${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle g:Y\rightarrow Z}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle C\subseteq Z}$

• ${\displaystyle (g\circ f)(A)=g(f(A))}$
• ${\displaystyle (g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))}$

Множественные подмножества домена или кодомена [ править ]

Для функции и подмножеств и выполняются следующие свойства:${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle A_{1},A_{2}\subseteq X}$${\displaystyle B_{1},B_{2}\subseteq Y}$

Изображение	Прообраз
${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\Rightarrow f(A_{1})\subseteq f(A_{2})}$	${\displaystyle B_{1}\subseteq B_{2}\Rightarrow f^{-1}(B_{1})\subseteq f^{-1}(B_{2})}$
${\displaystyle f(A_{1}\cup A_{2})=f(A_{1})\cup f(A_{2})}$[11] [12]	${\displaystyle f^{-1}(B_{1}\cup B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cup f^{-1}(B_{2})}$
${\displaystyle f(A_{1}\cap A_{2})\subseteq f(A_{1})\cap f(A_{2})}$[11] [12] (равно, еслиинъективно [13] )${\displaystyle f}$	${\displaystyle f^{-1}(B_{1}\cap B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cap f^{-1}(B_{2})}$
${\displaystyle f(A_{1}\setminus A_{2})\supseteq f(A_{1})\setminus f(A_{2})}$[11] (равно, еслиинъективно [13] )${\displaystyle f}$	${\displaystyle f^{-1}(B_{1}\setminus B_{2})=f^{-1}(B_{1})\setminus f^{-1}(B_{2})}$[11]
${\displaystyle f(A_{1}\triangle A_{2})\supseteq f(A_{1})\triangle f(A_{2})}$ (равно, если является инъективным)${\displaystyle f}$	${\displaystyle f^{-1}(B_{1}\triangle B_{2})=f^{-1}(B_{1})\triangle f^{-1}(B_{2})}$

Результаты, связывающие изображения и прообразы с ( булевой ) алгеброй пересечения и объединения, работают для любого набора подмножеств, а не только для пар подмножеств:

• ${\displaystyle f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f(A_{s})}$
• ${\displaystyle f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f(A_{s})}$
• ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}(B_{s})}$
• ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}(B_{s})}$

(Здесь S может быть бесконечным, даже бесконечно бесконечным .)

Относительно алгебры подмножеств, описанной выше, функция обратного изображения является решеточным гомоморфизмом , в то время как функция изображения является только полурешеточным гомоморфизмом (т. Е. Она не всегда сохраняет пересечения).

См. Также [ править ]

• Биекция, инъекция и сюръекция
• Изображение (теория категорий)
• Ядро функции
• Установить инверсию

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Артин, Майкл (1991). Алгебра . Прентис Холл. ISBN 81-203-0871-9.
• Блит, Т.С. (2005). Решетки и упорядоченные алгебраические структуры . Springer. ISBN 1-85233-905-5..
• Долецкий, Шимон ; Майнард, Фредерик (2016). Основы сходимости топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917 .
• Халмос, Пол Р. (1960). Теория наивных множеств . Университетская серия по математике. Компания ван Ностранд. Zbl  0087.04403 .
• Келли, Джон Л. (1985). Общая топология . Тексты для выпускников по математике . 27 (2-е изд.). Birkhäuser. ISBN 978-0-387-90125-1.
• Мункрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Верхний Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260 .

Эта статья включает в себя материал из Fiber on PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .