Категория элементов

В теории категорий , если C - категория и многозначный функтор , категорией элементов F (также обозначаемой ∫ ^C F) является категория, определяемая следующим образом:${\ displaystyle F: C \ to \ mathbf {Set}}$${\ displaystyle \ mathop {\ rm {el}} (F)}$

• Объекты - это пары где и .${\ Displaystyle (А, а)}$${\ Displaystyle A \ in \ mathop {\ rm {Ob}} (C)}$${\ displaystyle a \ in FA}$
• Стрелка - это стрелка в C, такая что .${\ Displaystyle (А, а) \ к (В, Ь)}$${\ displaystyle f: от A \ до B}$${\ displaystyle (Ff) a = b}$

Более краткий способ сформулировать это так: категория элементов F - это категория с запятой , где - одноточечный набор. Категория элементов F имеет естественную проекцию, которая отправляет объект (A, a) в A, а стрелку - в нижележащую стрелку в C.${\ displaystyle \ ast \ downarrow F}$${\ displaystyle \ ast}$${\ displaystyle \ mathop {\ rm {el}} (F) \ to C}$${\ Displaystyle (А, а) \ к (В, Ь)}$

Категория элементов предпучка [ править ]

В некоторых текстах (например, Mac Lane, Moerdijk) категория элементов используется для предварительных пучков. Мы формулируем это явно для полноты. Если является предпучком , категорией элементов P (снова обозначаемой , или, чтобы пояснить различие в приведенном выше определении, ∫ _C P = ∫ ^{C op} P) является категория, определяемая следующим образом:${\ displaystyle P \ in {\ hat {C}}: = \ mathbf {Set} ^ {C ^ {op}}}$${\ displaystyle \ mathop {\ rm {el}} (P)}$

• Объекты - это пары где и .${\ Displaystyle (А, а)}$${\ Displaystyle A \ in \ mathop {\ rm {Ob}} (C)}$${\ Displaystyle а \ в Р (А)}$
• Стрелка - это стрелка в C, такая что .${\ Displaystyle (А, а) \ к (В, Ь)}$${\ displaystyle f: от A \ до B}$${\ Displaystyle (Pf) Ь = а}$

Как видим, направление стрелок обратное. Можно, еще раз, сформулировать это определение более кратко: только что определенная категория есть не что иное, как . Следовательно, в духе добавления «со» перед названием конструкции для обозначения ее противоположности, эту категорию лучше называть категорией коэффициентов P.${\ displaystyle (\ ast \ downarrow P) ^ {\ rm {op}}}$

Для малых C эта конструкция может быть расширена до функтора ∫ _C from to , категории малых категорий . Фактически, используя лемму Йонеды, можно показать, что _C P , где - вложение Йонеды. Этот изоморфизм естественен в P, а значит, функтор ∫ _C естественно изоморфен .${\ displaystyle {\ hat {C}}}$${\ displaystyle \ mathbf {Кошка}}$${\displaystyle \cong \mathop {\textbf {y}} \downarrow P}$${\displaystyle \mathop {\textbf {y}} :C\to {\hat {C}}}$${\displaystyle \mathop {\textbf {y}} \downarrow -:{\hat {C}}\to {\textbf {Cat}}}$

Категория элементов алгебры операд [ править ]

Для данной (цветной) операды и функтора, также называемого алгеброй, получается новая операда, называемая категорией элементов и обозначаемая , обобщая приведенную выше историю для категорий. Он имеет следующее описание: ${\displaystyle O}$${\displaystyle A\colon O\to \mathbf {Set} }$${\displaystyle \textstyle {\int }^{O}A}$

• Объекты - это пары где и .${\displaystyle (o,x)}$${\displaystyle o\in \mathrm {Ob} (O)}$${\displaystyle x\in A(o)}$
• Стрелка стрелка , в таким образом, что${\displaystyle (o_{1},x_{1})\to (o_{2},x_{2})}$${\displaystyle f\colon o_{1}\to o_{2}}$${\displaystyle O}$${\displaystyle A(f)(x_{1})=x_{2}.}$

См. Также [ править ]

• Строительство Гротендика

Ссылки [ править ]

• Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика . Тексты для выпускников по математике 5 (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8.
• Мак Лейн, Сондерс; Moerdijk, Ieke (1992). Пучки в геометрии и логике . Университекст (исправленное ред.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-97710-4.

Внешние ссылки [ править ]

• Категория элементов в nLab