Категория запятых

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в основном непроверенным, поскольку в нем отсутствуют соответствующие встроенные ссылки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Март 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , категория запятой (особый случай будучи категории среза ) представляет собой конструкцию , в теории категорий . Он предоставляет другой способ взглянуть на морфизмы : вместо того, чтобы просто связывать объекты категории друг с другом, морфизмы становятся объектами сами по себе. Это понятие было введено в 1963 году FW Ловера (Ловера, 1963 стр. 36), хотя этот метод не ^{[ править ]} стали , как правило , пока не известно много лет спустя. Некоторые математические концепции можно рассматривать как категории с запятыми. Категории запятых также гарантируют наличие некоторых ограничений икопределы . Название происходит от обозначения первоначально используемого Ловера, в котором участвовали запятая знак препинания. Название сохраняется, даже несмотря на то, что стандартные обозначения были изменены, поскольку использование запятой в качестве оператора потенциально сбивает с толку, и даже Ловеру не нравится неинформативный термин «категория запятой» (Lawvere, 1963, p. 13).

Определение [ править ]

Самая общая конструкция категории запятой включает два функтора с одной и той же областью области. Часто один из них будет иметь область 1 (категория одного морфизма с одним объектом). В некоторых статьях теории категорий рассматриваются только эти частные случаи, но термин «запятая категория» на самом деле гораздо более общий.

Общая форма [ править ]

Предположим, что , и - категории, а и (для источника и цели) - функторы :${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T}$

Мы можем сформировать категорию запятых следующим образом:${\displaystyle (S\downarrow T)}$

• Все объекты представляют собой тройки с объектом внутри , объектом внутри и морфизмом внутри .${\displaystyle (A,B,h)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle h:S(A)\rightarrow T(B)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
• Морфизмы из в - это все пары, где и являются морфизмами в и, соответственно, такие, что следующая диаграмма коммутирует :${\displaystyle (A,B,h)}$${\displaystyle (A',B',h')}$${\displaystyle (f,g)}$${\displaystyle f:A\rightarrow A'}$${\displaystyle g:B\rightarrow B'}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Морфизмы состоят из взятия « быть» , когда последнее выражение определено. Морфизм идентичности на объекте есть .${\displaystyle (f',g')\circ (f,g)}$${\displaystyle (f'\circ f,g'\circ g)}$${\displaystyle (A,B,h)}$${\displaystyle (\mathrm {id} _{A},\mathrm {id} _{B})}$

Категория среза [ править ]

Первый частный случай возникает, когда функтор является функтором тождества и (категория с одним объектом и одним морфизмом). Затем для какого-то объекта в .${\displaystyle {\mathcal {C}}={\mathcal {A}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathcal {B}}={\textbf {1}}}$${\displaystyle *}$${\displaystyle T(*)=A_{*}}$${\displaystyle A_{*}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

В этом случае категория запятой пишется , и часто называют категорию среза над или категорию объектов более . Объекты можно упростить до пар , где . Иногда обозначается как . Затем морфизм из в в категории срезов можно упростить до стрелки, которая коммутирует следующую диаграмму:${\displaystyle ({\mathcal {A}}\downarrow A_{*})}$${\displaystyle A_{*}}$${\displaystyle A_{*}}$${\displaystyle (A,*,h)}$${\displaystyle (A,h)}$${\displaystyle h:A\rightarrow A_{*}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \pi _{A}}$${\displaystyle (f,\mathrm {id} _{*})}$${\displaystyle (A,\pi _{A})}$${\displaystyle (A',\pi _{A'})}$${\displaystyle f:A\rightarrow A'}$

Категория Coslice [ править ]

Двойная концепция к категории ломтика категория coslice. Здесь , есть домен и является тождественным функтором.${\displaystyle {\mathcal {C}}={\mathcal {B}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\textbf {1}}}$${\displaystyle T}$

В этом случае часто пишется категория через запятую , где находится объект, выбранный пользователем . Это называется категорией coslice по отношению к или категорией объектов под . Объекты находятся в паре с . Учитывая и , морфизм в категории кослиц - это отображение, которое коммутирует следующую диаграмму:${\displaystyle (B_{*}\downarrow {\mathcal {B}})}$${\displaystyle B_{*}=S(*)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle B_{*}}$${\displaystyle B_{*}}$${\displaystyle (B,\iota _{B})}$${\displaystyle \iota _{B}:B_{*}\rightarrow B}$${\displaystyle (B,\iota _{B})}$${\displaystyle (B',\iota _{B'})}$${\displaystyle g:B\rightarrow B'}$

Категория стрелки [ править ]

${\displaystyle S}$и являются тождественными функторами на (so ).${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}={\mathcal {C}}}$

В данном случае категория "запятая" - это категория стрелки . Его объекты - это морфизмы , а его морфизмы - коммутирующие квадраты в . ^[1]${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\rightarrow }}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Другие варианты [ править ]

В случае категории среза или среза тождественный функтор может быть заменен каким-либо другим функтором; это дает семейство категорий, особенно полезных при изучении сопряженных функторов . Например, если это функтор забывчивости, отображающий абелеву группу в ее базовое множество , и некоторый фиксированный набор (рассматриваемый как функтор из 1 ), то категория запятой имеет объекты, которые отображаются в набор, лежащий в основе группы. Это относится к левому сопряженному к , функтору, отображающему набор в свободную абелеву группу, имеющую это множество в качестве своей основы. В частности,${\displaystyle T}$${\displaystyle s}$${\displaystyle (s\downarrow T)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle T}$исходный объект из является канонической инъекцией , где есть свободная группа , порожденная .${\displaystyle (s\downarrow T)}$${\displaystyle s\rightarrow T(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle s}$

Объектом называется морфизм от до или -структурированная стрелка с доменом . ^[1] Объектом называется морфизм от до или a -структурированная стрелка с содоменом . ^[1]${\displaystyle (s\downarrow T)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle s}$${\displaystyle (S\downarrow t)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle t}$${\displaystyle S}$${\displaystyle t}$

Другой частный случай возникает, когда оба и являются функторами с доменом . Если и , то запятая категория записывается как дискретная категория , объекты которой являются морфизмами из в .${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\textbf {1}}}$${\displaystyle S(*)=A}$${\displaystyle T(*)=B}$${\displaystyle (S\downarrow T)}$${\displaystyle (A\downarrow B)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

Категория вставки является (не полной) подкатегорией категории разделителей , где и требуется. Категория запятая также может рассматриваться как средство для вставки и , где и - два проекционных функтора из категории продукта .${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}}$${\displaystyle f=g}$${\displaystyle S\circ \pi _{1}}$${\displaystyle T\circ \pi _{2}}$${\displaystyle \pi _{1}}$${\displaystyle \pi _{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\times {\mathcal {B}}}$

Свойства [ править ]

Для каждой категории запятой есть забывчивые функторы от нее.

• Функтор домена , который отображает:${\displaystyle S\downarrow T\to {\mathcal {A}}}$
  • объекты :;${\displaystyle (A,B,h)\mapsto A}$
  • морфизмов: ;${\displaystyle (f,g)\mapsto f}$
• Функтор кодомена , который отображает:${\displaystyle S\downarrow T\to {\mathcal {B}}}$
  • объекты :;${\displaystyle (A,B,h)\mapsto B}$
  • морфизмов: .${\displaystyle (f,g)\mapsto g}$
• Функтор стрелки , который отображает:${\displaystyle S\downarrow T\to C^{\rightarrow }}$
  • объекты :;${\displaystyle (A,B,h)\mapsto h}$
  • морфизмов: ;${\displaystyle (f,g)\mapsto (Sf,Tg)}$

Примеры использования [ править ]

Некоторые известные категории [ править ]

Несколько интересных категорий имеют естественное определение в терминах категорий запятых.

• Категория отмеченных множеств - это категория с запятыми, где (функтор выбирает) любое одноэлементное множество и (тождественный функтор) категория множеств . Каждый объект этой категории представляет собой набор вместе с функцией, выбирающей какой-либо элемент набора: «базовую точку». Морфизмы - это функции на множествах, которые отображают базовые точки в базовые точки. Аналогичным образом можно сформировать категорию точечных пространств .${\displaystyle \scriptstyle {(\bullet \downarrow \mathbf {Set} )}}$${\displaystyle \scriptstyle {\bullet }}$${\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {Set} }}$ ${\displaystyle \scriptstyle {(\bullet \downarrow \mathbf {Top} )}}$
• Категория ассоциативных алгебр над кольцом является категорией кослиц , так как любой гомоморфизм колец индуцирует структуру ассоциативной -алгебры на , и наоборот. Морфизмы - это карты, которые коммутируют диаграмму.${\displaystyle R}$${\displaystyle \scriptstyle {(R\downarrow \mathbf {Ring} )}}$${\displaystyle f:R\to S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle h:S\to T}$
• Категория графов - с функтором, принимающим набор в . Затем объекты состоят из двух наборов и функции; представляет собой набор индексации, представляет собой набор узлов и выбирает пары элементов для каждого ввода из . То есть выбирает определенные ребра из набора возможных ребер. Морфизм в этой категории состоит из двух функций, одна из которых относится к набору индексации, а другая - к набору узлов. Они должны «согласиться» в соответствии с приведенным выше общим определением, что означает, что они должны удовлетворять . Другими словами, край, соответствующий определенному элементу набора индексирования, при преобразовании должен быть таким же, как край для переведенного индекса.${\displaystyle \scriptstyle {(\mathbf {Set} \downarrow D)}}$${\displaystyle \scriptstyle {D:\,\mathbf {Set} \rightarrow \mathbf {Set} }}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s\times s}$${\displaystyle (a,b,f)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle f:a\rightarrow (b\times b)}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle b\times b}$${\displaystyle (g,h):(a,b,f)\rightarrow (a',b',f')}$${\displaystyle f'\circ g=D(h)\circ f}$
• Многие операции «расширения» или «маркировки» могут быть выражены в терминах категорий, запятых. Пусть будет функтором, переводящим каждый граф в набор его ребер, и пусть будет (выбирающий функтор) некоторый конкретный набор: тогда это категория графов, чьи ребра помечены элементами из . Эту форму категории запятых часто называют над объектами - она ​​тесно связана с упомянутым выше словом «над объектами ». Здесь каждый объект принимает форму , где - график и функция от краев до . Узлы графа могут быть помечены практически таким же образом.${\displaystyle S}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (S\downarrow A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle S}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (B,\pi _{B})}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \pi _{B}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$
• Категория называется локально декартово замкнутой, если каждый ее срез декартово замкнут (см. Выше понятие среза ). Локально декартовы замкнутые категории являются классификационными категориями из теорий зависимого типа .

Пределы и универсальные морфизмы [ править ]

Пределы и двоеточия в категориях запятых могут быть «унаследованы». Если и есть полные , является непрерывным функтором , а еще один функтор (не обязательно непрерывным), то категория запятой производится завершена, ^[2] и проекция функторы и является непрерывной. Аналогичным образом , если и являются cocomplete, и это cocontinuous , то есть cocomplete, а проекция функторы cocontinuous.${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle S\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$${\displaystyle T:{\mathcal {B}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$${\displaystyle (S\downarrow T)}$${\displaystyle (S\downarrow T)\rightarrow {\mathcal {A}}}$${\displaystyle (S\downarrow T)\rightarrow {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle S:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$${\displaystyle (S\downarrow T)}$

Например, обратите внимание, что в приведенной выше конструкции категории графов как категории запятых категория множеств полна и коколонна, а тождественный функтор непрерывен и коконепрерывен. Таким образом, категория графов полна и коколонна.

Понятие универсального морфизма до определенного копредела или от предела может быть выражено в терминах категории запятой. По сути, мы создаем категорию, объектами которой являются конусы, а ограничивающим конусом - конечный объект ; тогда каждый универсальный морфизм для предела - это просто морфизм конечного объекта. Это работает в двойном случае, когда категория коконов имеет исходный объект. Пусть , например, категория с функтором , принимая каждый объект к и каждой стрелку на . Универсальный морфизм от до состоит, по определению, из объекта и морфизма с универсальным свойством, которое для любого морфизма${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle (c,c)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (f,f)}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (c,c)}$${\displaystyle \rho :(a,b)\rightarrow (c,c)}$${\displaystyle \rho ':(a,b)\rightarrow (d,d)}$есть уникальный морфизм с . Другими словами, это объект в категории запятой, имеющий морфизм к любому другому объекту в этой категории; это изначально. Это служит для определения копроизведения в , когда он существует.${\displaystyle \sigma :c\rightarrow d}$${\displaystyle F(\sigma )\circ \rho =\rho '}$${\displaystyle ((a,b)\downarrow F)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Дополнения [ править ]

Ловер показал, что функторы и являются сопряженными тогда и только тогда, когда категории запятых и , с и тождественные функторы на и соответственно изоморфны, а эквивалентные элементы в категории запятой могут быть спроецированы на один и тот же элемент . Это позволяет описывать дополнения без привлечения множеств, и фактически было первоначальной мотивацией для введения категорий запятых.${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}$${\displaystyle G:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$${\displaystyle (F\downarrow id_{\mathcal {D}})}$${\displaystyle (id_{\mathcal {C}}\downarrow G)}$${\displaystyle id_{\mathcal {D}}}$${\displaystyle id_{\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}}$

Природные преобразования [ править ]

Если области равны, то диаграмма, определяющая морфизмы в с , идентична диаграмме, которая определяет естественное преобразование . Разница между этими двумя понятиями состоит в том, что естественное преобразование - это конкретный набор морфизмов типа формы , в то время как объекты категории запятой содержат все морфизмы типа такой формы. Функтор категории запятая выбирает этот конкретный набор морфизмов. Это описано кратко путем наблюдения С.А. Huq ^[3] , что естественное преобразование с , соответствует функтор , который отображает каждый объект с и отображает каждый морфизм в${\displaystyle S,T}$${\displaystyle S\downarrow T}$${\displaystyle A=B,A'=B',f=g}$ ${\displaystyle S\to T}$${\displaystyle S(A)\to T(A)}$${\displaystyle \eta :S\to T}$${\displaystyle S,T:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}\to (S\downarrow T)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (A,A,\eta _{A})}$${\displaystyle f=g}$${\displaystyle (f,g)}$. Это взаимно однозначное соответствие между естественными преобразованиями и функторами, которые являются сечениями обоих забывчивых функторов из .${\displaystyle S\to T}$${\displaystyle {\mathcal {A}}\to (S\downarrow T)}$${\displaystyle S\downarrow T}$

Ссылки [ править ]

• Категория запятых в nLab
• Ловер, Вт (1963). «Функториальная семантика алгебраических теорий» и «Некоторые алгебраические проблемы в контексте функциональной семантики алгебраических теорий». http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/5/tr5.pdf

Внешние ссылки [ править ]

Использование внешних ссылок в этой статье может не соответствовать политикам или рекомендациям Википедии . Пожалуйста, улучшите эту статью , удалив лишние или неприемлемые внешние ссылки и преобразовав полезные ссылки, где это необходимо, в сноски . ( Июль 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

• Дж. Адамек, Х. Херрлих, Г. Штеккер, Абстрактные и конкретные категории - радость кошек
• WildCats - это пакет теории категорий для Mathematica . Манипулирование и визуализация объектов, морфизмов , категорий, функторов , естественных преобразований , универсальных свойств .
• Интерактивная веб-страница, которая генерирует примеры категориальных конструкций в категории конечных множеств.