Строительство Гротендика

Конструкция Гротендика (названная в честь Александра Гротендика ) - это конструкция, используемая в математической области теории категорий .

Определение [ править ]

Позвольте быть функтором из любой малой категории в категорию малых категорий . Конструкция Гротендик является категорией (также написано , или ), с${\ displaystyle F \ двоеточие {\ mathcal {C}} \ rightarrow \ mathbf {Cat}}$${\ displaystyle F}$${\ Displaystyle \ Gamma (F)}$${\ Displaystyle \ textstyle \ int _ {\ textstyle {\ mathcal {C}}} F}$${\displaystyle \textstyle {\mathcal {C}}\int F}$${\displaystyle F\rtimes {\mathcal {C}}}$

• объекты являются парами , где и ; и${\displaystyle (c,x)}$${\displaystyle c\in \operatorname {obj} ({\mathcal {C}})}$${\displaystyle x\in \operatorname {obj} (F(c))}$
• морфизмы в парах бытий такие, что in и in .${\displaystyle \operatorname {hom} _{\Gamma (F)}((c_{1},x_{1}),(c_{2},x_{2}))}$${\displaystyle (f,g)}$${\displaystyle f:c_{1}\to c_{2}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle g:F(f)(x_{1})\to x_{2}}$${\displaystyle F(c_{2})}$

Состав морфизмов определяется .${\displaystyle (f,g)\circ (f',g')=(f\circ f',g\circ F(f)(g'))}$

Слоган [ править ]

«Конструкция Гротендика берет структурированные табличные данные и сглаживает их, помещая все в одно большое пространство. Затем проекционный функтор должен запоминать, из какого ящика изначально были взяты данные». ^[1]

Пример [ править ]

Если это группа , то ее можно рассматривать как категорию , с одним объектом и все морфизмы обратимы. Позвольте быть функтором, значение которого в единственном объекте является категорией категория, представляющая группу таким же образом. Требование , чтобы функтор затем равносильно заданию гомоморфизм групп , где обозначает группу автоморфизмов в конце концов, строительство Гротендик, приводит к категории с одного объекта, который снова можно рассматривать как группу, и в этом случае, результирующая группа (изоморфна) полупрямому произведению${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{G},}$${\displaystyle F:{\mathcal {C}}_{G}\to \mathbf {Cat} }$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{G}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{H},}$${\displaystyle H}$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \varphi :G\to \operatorname {Aut} (H),}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (H)}$${\displaystyle H.}$${\displaystyle F\rtimes {\mathcal {C}}_{G},}$ ${\displaystyle H\rtimes _{\varphi }G.}$

См. Также [ править ]

• Категория элементов

Ссылки [ править ]

• Мак Лейн, Мурдейк, Пучки в геометрии и логике , с. 44.
• Р. У. Томасон (1979). Гомотопические копределы в категории малых категорий. Математические материалы Кембриджского философского общества, 85, стр. 91–109. DOI: 10.1017 / S0305004100055535.

Специфический

Внешние ссылки [ править ]

• Строительство Гротендика в nLab

Эта статья по теории категорий незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

• v
• t
• e