В математике (особенно в теории категорий ) мультикатегория - это обобщение понятия категории, которое допускает морфизмы множественной арности . Если морфизмы в категории рассматриваются как аналог функций , то морфизмы в мультикатегории аналогичны функциям нескольких переменных. Мультикатегории также иногда называют операдами или цветными операдами.
Определение
(Несимметричная) мультикатегория состоит из
- набор (часто соответствующий класс ) объектов ;
- для каждой конечной последовательности объектов (для порядкового номера фон Неймана ) и объект Y , набор морфизмов изк Y ; а также
- для каждого объекта X , специальный тождественный морфизм (с п = 1) из X в X .
Кроме того, существуют операции композиции: заданная последовательность последовательностей объектов, последовательность объектов, а объект Z : если
- для каждого , f j - морфизм изк Y j ; а также
- g - это морфизм изк Z :
то есть составной морфизм из для Z . Это должно удовлетворять определенным аксиомам:
- Если m = 1, Z = Y 0 и g тождественный морфизм для Y 0 , то g ( f 0 ) = f 0 ;
- если для каждого , n j = 1,, а f j - тождественный морфизм для Y j , то; а также
- ассоциативность условие: если для каждого а также , это морфизм из к , тогда идентичные морфизмы из до Z .
Категории
Comcategory (со-мульти-категория) представляет собой упорядоченное множество О объектов, множество из multiarrows с двумя функциями
где О % есть множество всех конечных упорядоченных последовательностей элементов O . Двойственный образ многострелки f можно резюмировать
В категории C также есть мультипродукция с обычным характером операции композиции. C называется ассоциативным, если по отношению к этому оператору верна аксиома множественного произведения.
Любая мультикатегория, симметричная или несимметричная, вместе с полным упорядочением набора объектов, может быть преобразована в эквивалентную категорию.
Multiorder является comcategory , удовлетворяющих следующим условиям.
- Существует не более одной многострелки с указанными головкой и землей.
- У каждого объекта x есть единичная многострелка.
- Многострелка - это единица, если на ее земле есть одна запись.
Мульти порядки являются обобщением частичных порядков (посетов) и впервые были введены (мимоходом) Томом Ленстером. [1]
Примеры
Существует мультикатегория, объектами которой являются (маленькие) множества , где морфизм из множеств X 1 , X 2 , ... и X n в множество Y является n -арной функцией , то есть функцией от декартова произведения X 1 × X 2 × ... × X п до Y .
Существует мультикатегория, объектами которой являются векторные пространства ( скажем, над рациональными числами ), где морфизм векторных пространств X 1 , X 2 , ... и X n в векторное пространство Y является полилинейным оператором , т. Е. линейное преобразование из тензорного произведения Х 1 ⊗ X 2 ⊗ ... ⊗ X п к Y .
В более общем смысле, для любой моноидальной категории C существует мультикатегория, объекты которой являются объектами C , где морфизм из C -объектов X 1 , X 2 , ... и X n в C -объект Y является C -морфизм от моноидального продукта X 1 , X 2 , ..., и Х п к Y .
Операда является multicategory с одним уникальным объектом; за исключением вырожденных случаев, такая мультикатегория не происходит из моноидальной категории.
Примеры множественных порядков включают в себя точечные мультимножества (последовательность A262671 в OEIS ), целочисленные разделы (последовательность A063834 в OEIS ) и комбинаторные разделения (последовательность A269134 в OEIS ). Треугольники (или композиции) любого многопорядка являются морфизмами (не обязательно ассоциативной) категории сжатий и категории разложений . Категория сжатия для мультиупорядоченности мультиминных разделов (последовательность A255397 в OEIS ) является самой простой известной категорией мультимножеств. [2]
Приложения
Мультикатегории часто неправильно считают принадлежащими к теории более высоких категорий , поскольку их первоначальным применением было наблюдение, что операторы и тождества, удовлетворяемые более высокими категориями, являются объектами и множественными стрелками мультикатегории. Изучение n- категорий, в свою очередь, было мотивировано приложениями в алгебраической топологии и попытками описать гомотопическую теорию многомерных многообразий . Однако это в основном выросло из этой мотивации и теперь также считается частью чистой математики. [1]
Соответствие между сжатиями и разложениями треугольников в многопорядке позволяет построить ассоциативную алгебру, называемую ее алгеброй инцидентности . Любой элемент, который не равен нулю на всех единичных стрелках, имеет композиционный обратный, а функция Мёбиуса многопорядка определяется как композиционный обратный дзета-функции (константа-единица) в ее алгебре инцидентности.
История
Мультикатегории впервые были введены под этим именем Джимом Ламбеком в «Дедуктивных системах и категориях II» (1969) [3]. Он упоминает (стр. 108), что ему «сказали, что мультикатегории также изучались [Жаном] Бенабу и [Пьером ] Cartier », и действительно, Ленстер полагает, что« идея могла прийти в голову любому, кто знал, что такое категория и полилинейная карта ». [1] : 63
Рекомендации
- ^ a b Том Ленстер (2004). Высшие операды, высшие категории . Издательство Кембриджского университета. arXiv : math / 0305049 . Bibcode : 2004hohc.book ..... L ., Пример 2.1.7, стр. 37
- ^ Уайзман, Гас. «Категории и мультизаказы» . Документы Google . Дата обращения 9 мая 2016 .
- ^ . Ламбек, Иоахим (1969). «Дедуктивные системы и категории II. Типовые конструкции и закрытые категории». Конспект лекций по математике . 86 . Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. С. 76–122. DOI : 10.1007 / bfb0079385 . ISBN 978-3-540-04605-9. ISSN 0075-8434 .
- Гарнер, Ричард (2008). «Поликатегории через законы псевдораспределения» . Успехи в математике . 218 (3): 781–827. arXiv : math / 0606735 . DOI : 10.1016 / j.aim.2008.02.001 . S2CID 17057235 .